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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量章末测评 北师大版必修4


第二章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.以下说法中不正确的是( A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 解析:只有 C 是错误的,平行向量有方向相同与相反两种情况. 答案:C 2.已知向量 a=(4,x),b=(-4,4),若 a∥b,则 x 的值为( A.0 答案:C 3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( A.-a+b C.a-b B.a-b D.-a+b ) B.4 C.-4 ) D.±4 )

解析:依题意,得 4?4=(-4)?x,所以 x=-4.

解析:设 c=xa+yb,因此, 解得因此,c=a-b. 答案:B 4.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的射影为( A. 答案:A 5.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. B. C.2 D.10 解析:由 a⊥c 得 a?c=2x-4=0,所以 x=2, 由 b∥c 得 1?(-4)=2y,所以 y=-2, 于是 a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1), 从而|a+b|=. 答案:B 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若=2+λ ,则 λ =( A. 答案:A 7.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若向量+2=3,则的值为( ) B. C.D.解析:∵=2,∴=2=2(),即得,由已知条件+λ 可得 λ =. ) ) B. C. ) D.

解析:设 a,b 的夹角为 θ ,则 a 在 b 方向上的射影为|a|cos θ =.

1

A. 答案:A

B.

C.

D.

解析:+2=3=2-2=2,所以的值为. 8.在△ABC 中,∠ACB=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足=2,则=( A.2 解析: B.3 C.4 D.6 )

如图,

∵ =) =, ∴|2 =?0+?32=3.
答案:B 9.(2015 重庆高考)若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为( A.
2

)

B.
2

C.
2 2 2

D.π
2

解析:由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)?(3a+2b)=0,即 3|a| -a?b-2|b| =0.设 a 与 b 的夹角为 θ ,所以 3|a| -|a||b|cos θ -2|b| =0,即 3?|b| cos θ -2|b| =0,整理,得 cos θ =,故 θ =. 答案:A 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),点 C 在第二象限内,∠AOC=,且||=2,若=λ +μ , 则 λ ,μ 的值是( A.,1 答案:D 11.若点 O 为平面内任意一点,且(-2)?()=0,则△ABC 是( A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 解析:由(-2)?()=0 得()?()=0,∴=0,即||=||. ) ) B.1, C.-1, D.-,1

解析:根据平面向量的基本定理并结合图形求出分量即可.

∴AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形.由题意不能判定△ABC 为直角三角形.
答案:C 12. 导学号 03070121 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足||=||==2,则点集 {P|=λ +μ ,|λ |+|μ |≤1,λ ,μ ∈R}所表示的区域的面积是( A.2 解析: B.2 C.4 D.4 )

2

以为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使 A,B 两点关于 x 轴对称,由已知

||=||==2,可得出∠AOB=60°,点 A(,1),点 B(,-1),点 D(2,0).
现设 P(x,y),则由=λ +μ 得(x,y)=λ (,1)+μ (,-1), 即由于|λ |+|μ |≤1,λ ,μ ∈R,可得

画出动点 P(x,y)满足的区域为如图阴影部分,故所求区域的面积为 2?2=4. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则等于 解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n), a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1). 由 ma+nb 与 a-2b 共线知,

.

∴n-2m=12m+8n.∴=-.
答案:14.已知向量 a,b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= 解析:由|2a-b|=可得,4|a| -4a?b+|b| =10, 所以 4-4?1?|b|?cos 45°+|b| =10, 即|b| -2|b|-6=0,解得|b|=3. 答案:3 15.(2016 陕西宝鸡高三模拟)函数 y=tan 的部分图像如下图所示,则()?=
2 2 2 2

.

.

解析:依题意知 A(2,0),B(3,1),∴=(3,1),=(2,0),=(1,1),∴()?=4. 答案:4 16.

3

如图,在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则?()的最小值是 解析:如题中图,设=a,则|a|=2. 因为 O 为中线 AM 上的动点, 所以=t=ta(0≤t≤1), 故=(1-t)a. 因为 M 是 BC 的中点, 所以=2=-2ta. 所以?()=(1-t)a?(-2ta)

.

=-2t(1-t)|a|2=8t2-8t=8-2.
所以,当 t=∈[0,1]时,最小值为-2. 答案:-2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.

(10 分)如图,在平行四边形 OADB 中,设=a,=b,.试用 a,b 表示. 解:由题意知,在平行四边形 OADB 中,)=(a-b)=a-b, 则=b+a-b=a+b. )=(a+b), 则(a+b)-a-b=a-b. 18.(12 分)已知非零向量 a,b 满足|a|=1,且(a-b)?(a+b)=. (1)求|b|; (2)当 a?b=时,求向量 a 与 b 的夹角 θ 的值. 解:(1)因为(a-b)?(a+b)=,即 a -b =. 所以|b| =|a| -=1-,故|b|=. (2)因为 cos θ =,又 0°≤θ ≤180°,故 θ =45°. 19.(12 分)已知向量 a,b 不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D 三点共线. (2)求实数 k,使 ka+b 与 2a+kb 共线. 解:(1)因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b), 所以=5a+5b=5,因此共线. 又点 B 为的公共点, 所以 A,B,D 三点共线.
2 2 2 2

4

(2)因为 ka+b 与 2a+kb 共线, 则存在实数 λ 使 ka+b=λ (2a+kb), 所以所以 k=±. 20.(12 分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系,x 轴指向东,y 轴指向北.一个单位长 度表示实际路程 100 米,一人步行从广场入口处 A(2,0)出发,始终沿一个方向匀速前进,6 分钟时路 过少年宫 C,10 分钟后到达科技馆 B(-3,5). (1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度(用坐标表示). (2)求少年宫 C 点相对于广场中心所在的位置. 解:(1)依题意知=(-3,5)-(2,0)=(-5,5).

||==5,∠xAB=135°.所以此人沿北偏西 45°方向走了 500 米.
因为 t=小时,所走的实际距离 s=||?100=500(米),所以|v|==3 000(米/时)=30(百米/时), 所以|v|cos 135°=-30,|v|sin 135°=30,所以 v=(-30,30). (2)因为,

=(2,0)+(-5,5)=(-1,3),
所以||=,又 tan∠COy=,所以∠COy=18°26', 即少年宫 C 位于距离广场中心 100 米,且在北偏西 18°26'处. 21.(12 分)已知向量 a,b 满足|a|=|b|=1,|ka+b|=|a-kb|(k>0,k∈R). (1)求 a?b 关于 k 的解析式 f(k); (2)若 a∥b,求实数 k 的值; (3)求向量 a 与 b 夹角的最大值. 解:(1)由已知|ka+b|=|a-kb|, 有|ka+b| =(|a-kb|) ,
2 2

k2a2+2ka?b+b2=3a2-6ka?b+3k2b2.
又因为|a|=|b|=1,得 8ka?b=2k +2, 所以 a?b=,即 f(k)=(k>0). (2)因为 a∥b,k>0,所以 a?b=>0,则 a 与 b 同向. 因为|a|=|b|=1,所以 a?b=1, 即=1,整理得 k -4k+1=0, 所以 k=2±,所以当 k=2±时,a∥b. (3)设 a,b 的夹角为 θ ,则 cos θ ==a?b=. 当,即 k=1 时,cos θ 取最小值,又 0≤θ ≤π ,所以 θ =,即向量 a 与 b 夹角的最大值为. 22.(12 分) 导学号 03070122 设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 P0B=AB,且对于边 AB 上任一点 P,恒 有,求证:AC=BC. 证明:
2 2

5

设=t(0≤t≤1),

∴=t, ∴=(t)?(t)=t2+t.
由题意, 即 t +t
2

=,
即当 t=取得最小值. 由二次函数的性质可知-, 即-,

∴=0.
取 AB 中点 M,则,

∴=0,即 AB⊥MC. ∴AC=BC.

6


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