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2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测:3.4.1基本不等式1


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不等式

3.4

a+b 基本不等式: ab≤ 2

3.4.1

基本不等式(一)

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1.通过实例探究抽象基本不等式,体会数学来源于生 活.

2.推导并掌握基本不等式,并从不同角度探索不等式
a+b ab≤ 2 的证明过程.

3.理解基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等 号“≤”取等号的条件是:当且仅当这两个正数相等. 4.熟练掌握基本不等式 用基本不等式证明不等式. 金品质?高追求 我们让你更放心!
a+b ab≤ 2 (a,b∈R+),会

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基础梳理 1.两个正数的算术平均数与几何平均数.设a,b是任 意两个正数,称 a+b 为a,b的__________;称 ab 为a,b 2 的__________. 1和9的算术平均数是:____,而1和9的几何平均数是: ____. 2.重要不等式:设a,b∈R,∵a2+b2-2ab=(a- b)2≥0,

∴________________.当且仅当________时,等号成立.
答案:1.算术平均数 几何平均数 练习1:5 3 2.a2+b2≥2ab a=b 金品质?高追求 我们让你更放心!

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3.基本不等式: 设a,b是任意两个正数,那么
a+b ab≤ 2 .

当且仅当______时,等号成立.基本不等式可叙述为: 两个正数的____________________.

a+b 如果把 看作是正数a,b的等差中项, ab 看作 2 是正数a,b的等比中项,那么基本不等式也可以叙述为:
两个正数的__________________. 4.基本不等式
a+b ab≤ 2 几何意义是:________.

答案:3.a=b 算术平均数不小于它们的几何平均数 等差中项不小于它们的等比中项

4.“半径不小于半弦” 金品质?高追求 我们让你更放心!

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5.已知x,y都是正数, (1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和______有最 小值__________; (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积______有 最大值______________.

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x+y 证明:∵x,y∈R ,∴ ≥ xy. 2 x+y (1)当 xy=P(定值)时, ≥ P, 2 ∴x+y≥2 P,当且仅当 x=y 时,上式取“=”, ∴当 x=y 时,(x+y)min=2 P.


S 1 2 (2)当 x+y=S(定值)时, xy≤ ∴xy≤ S , 2 4 当且仅当 x=y 时,上式取“=”, 1 2 ∴当 x=y 时,(xy)max= S . 4 1 2 答案:(1)x+y 2 P (2)xy S 4
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(3)已知x,y都是正数, ①如果xy=15,则x+y的最小值是________; ②如果x+y=15,则xy的最大值是________.

解析:(1)因为 x,y 都是正数,且 xy=15, 由基本不等式得 x+y≥2 xy=2 15, 当且仅当 x=y= 15时,取等号. (2)因为 x,y 都是正数,且 x+y=15, x+y?2 ?15?2 225 ? 由基本不等式得 xy≤ = 2 = , 4 ? 2 ? ? ? 当且仅当 x=y=7.5 时,取等号. 225 答案:2 15 4
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6.求函数最值的两个基本步骤:

(1)先证y≥m(m是与自变量无关的常数)或y≤M(M是
与自变量无关的常数); (2)再证存在定义域中的x0,使f(x0)=m 或f(x0)=M. 有了这两步就可以下结论:y=f(x)的最小值是m或 y=f(x)的最大值是M.

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自测自评 1.下列函数中,能取到最小值2的是( C ) 1 A.y=x+ (x<0) x 2 sin x B.y= + sin x 2 1 C.y= x+ex(x∈R) e x2+3 D.y= 2 x +2

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2.如果a2+b2=4,则ab的最________值是 ________;如果ab=2,则a2+b2的最________值是 ________.

b a 3.如果a>0,b>0,则 + 的最小值是 a b b a ________;如果ab>0,则 + 的范围是________. a b
答案:2.大 2 3. 2 [2,+∞) 小 4

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不等式的证明

y x 已知 x,y 都是正数,求证: + ≥2. x y
x y 证明:∵x,y 都是正数,∴ >0, >0, y x x y xy 由基本不等式有 + ≥2 ·=2, y x yx x y 当且仅当 = 即 x=y 时“=”成立. y x x y 即 + ≥2. y x

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◆数学?必修5?(配人教A版)◆ 跟踪训练 1.已知x,y都是正数,
求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. a+b 分析:用基本不等式 ab≤ 时,注意条件a,b均 2 为正数,并结合不等式的性质,进行推证.

证明: ∵x,y都是正数,
∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0,由基本不等式有 x+y≥2>0,x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0.

再由不等式的性质有(x+y)(x2+y2)(x3+y3)
≥2· 2· 2=8x3y3. 即 (x + y)(x2 + y2)(x3 + y3)≥8x3y3.( 当 且 仅 当 x = y 时 取 “=”). 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

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利用基本不等式求最值 (1)若x>0,求f(x)= +3x的最小值;

(2)已知x>2,求x+

的最小值.

解析:(1)∵x>0,由基本不等式得 12 12 f(x)= +3x≥2 · 3x x x =2 36=12. 12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时, x f(x)取最小值 12.
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(2)∵x>2,∴x-2>0, 4 4 ∴x+ =x-2+ +2 x-2 x-2 4 ≥2 ?x-2?· +2=6. x-2 4 当且仅当 x-2= , x-2 即 x=4 时,等号成立. 4 所以 x+ 的最小值为 6. x-2
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◆数学?必修5?(配人教A版)◆ 跟踪训练 2.(1)已知0<x<
(2)已知x>1,求y= (3)已知x>0,y>0, ,求函数y=x(1-3x)的最大值; 的最小值; =1,求2x+3y的最小值.

1 解析:(1)∵0<x< ,∴1-3x>0, 3 1 ∴y=x(1-3x)= · 3x(1-3x) 3 1?3x+?1-3x??2 1 ≤ = , 3? 2 ? 12 1 当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时,等号成立. 6 1 1 ∴当 x= 时,函数取最大值 . 6 12

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x - 1 +1 x2 1 (2)y= = =x+1+ x-1 x-1 x-1 1 =x-1+ +2≥2+2=4, x-1 1 当且仅当 =x-1, x-1 即(x-1)2=1 时,等式成立, ∵x>1,∴当 x=2 时,ymin=4. 1 6? ? 2 x + 3 y ( )=?x+y?(2x+3y) (3)2x+3y=1· 3y 12x =2+ + +18≥2+2 36+18 x y =2+12+18=32, 1 6 当且仅当 y=2x 取等号,且 + =1, x y 即 x=4,y=8 时成立, ∴2x+3y 的最小值为 32.
2

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利用基本不等式解决应用问题

某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到 车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距 离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和 y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓 库应建在离车站多少公里处? 20 解析:由已知 y1= ;y2=0.8x(x 为仓库与车站距离), x

20 20 费用之和 y=y1+y2=0.8x+ ≥2 0.8x· =8. x x 20 当且仅当 0.8x= 即 x=5 时“=”成立. x 答:仓库应建在离车站 5 公里处.
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跟踪训练 3.一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达 B市.已知两地路线长400 km,为了安全,两列货车的间距

不得小于 ?20?2 km(货车长度忽略不计),那么这批货物全部运 ? ? 到B市最快需要多少小时? 解析:这批货物从A市全部运到B市的时间至少为
t= = v + ≥2 400 400 16v 等号成立的条件是 v = ,即 v=100. 400 v v ?2 ? 400+16 20 ? ? 400 16v 400 16v =8(h), v · 400

?v?

故这批货物全部运到B市最快需要8小时. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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一、选择填空题

1.已知x,y均为正数,xy=8x+2y,则xy有(
A.最大值64 B.最大值

)

C.最小值64

D.最小值

解析:∵x、y 均为正数, ∴xy=8x+2y≥2 8x· 2y=8 xy, 当且仅当 8x=2y 时等号成立. ∴xy≥64. 答案:C
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2.若 a>b>0,则下列不等式成立的是( ) a+b a+b A.a>b> > ab B.a> > ab>b 2 2 a+b a+b C.a> >b> ab D.a> ab> >b 2 2
解析:主要是理解算术平均数和几何平均数的意义, 作差比较即可.

答案:B

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1.基本不等式的左式为和结构,右式为积的形式,该不 等式表明两正数a,b的和与两正数a,b的积之间的大小关系,

运用该不等式可作和与积之间的不等变换.
2.“当且仅当a=b时,等号成立”的含义:

(1)当a=b时等号成立的含意是:a=b?

a+b ; = ab 2

a+b (2)仅当a=b时等号成立的含意是: 2 = ab ?a=b ;

综合起来,其含意是:

a+b ?a=b. = ab 2

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2 2 a + b 3.设 a,b∈R,不等式 a2+b2≥2ab?ab≤ ? 2 a+b?2 ? ab≤ . 2 ? ? 1 4.基本不等式的几种变式:设 a>0,b>0,则 a+ ≥2, a b a a2 + ≥2, ≥2a-b. a b b

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