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三角函数总结经典例题


第三章

三角函数

3.1 任意角三角函数
一、知识导学 1.角:角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是:顶点、始边、 终边.角可以任意大小,按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2.弧度制:任一已知角 ? 的弧度数的绝对值 ? ?

l ,其中 l 是以 ? 作为圆心角时所对圆弧的长, r 为圆的半径.规定: r
?

正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.

? 180? ? ? 0.1745 rad ;1 rad ? ? 3.弧度与角度的换算: 360 ? 2?rad ; 1 ? ? ? 57.30 .用弧度为单位表示角的 180 ? ? ?
?
?

?

大小时,弧度(rad)可以省略不写.度 4.弧长公式、扇形面积公式: l ?

? ? 不可省略.
?

? r, S 扇形= lr ?

1 2

1 | ? | r 2 ,其中 l 为弧长, r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是 2

弧长公式和扇形面积公式中当 ? ? 2? 时的情形. 5.任意角的三角函数定义:设 ? 是一个任意大小的角,角 ? 终边上任意一点 P 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是

r (r ? 0) , 那 么 角 ? 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 、 余 切 、 正 割 、 余 割 分 别 是

s i? n ?

y x y x r r ,c o ?? s ,t a ?n ? ,c o ?? t ,s e ?c ? ,c s ?c ? .这六个函数统称为三角函数. r r x y x y

6.三角函数的定义域 三角函数 定义域 R R

y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x y ? cot x
y ? sec x
y ? csc x

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?x x ? k? , k ? Z?
? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?x x ? k? , k ? Z?

7.三角函数值的符号:各三角函数值在第个象限的符号如图所示(各象限注明的函数为 正,其余为负值) 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析 1.在直角坐标系内讨论角 (1)角的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就称这个角是第 几象限角(或说这个角属于第几象限) .它的前提是“角的顶点为原点,角的始边为 x 轴 的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上,就说这个角不 属于任何象限. (2)与 ? 角终边相同的角的集合表示.

?? ? ? k ? 360

?

? ? , k ? Z ,其中 ? 为任意角.终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角有无
?

?

数多个,它们相差 360 整数倍. 2.值得注意的几种范围角的表示法

? ? ? ? ? ? ? ? “0 ~ 90 间的角”指 0 ? ? ? 90 ; “第一象限角”可表示为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z ; “小于 90 的 ? 角”可表示为 ? ? ? 90 .

?

?

?

?

3.在弧度的定义中

l 与所取圆的半径无关,仅与角的大小有关. r

4.确定三角函数的定义域时,主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点 P 坐标中必有一个 为 0. 5.根据三角函数的定义可知: (1)一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关,即角 ? 与 ? ? k ? 360 (k ? Z ) 的
?

同名三角函数值相等; (2) x ? r, y ? r ,故有 cos? ? 1, sin ? ? 1,这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6.在计算或化简三角函数关系式时,常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此,在解答此 类问题时要注意: (1)角的范围是什么?(2)对应角的三角函数值是正还是负?(3)与此相关的定义、性质或公式 有哪些? 三、经典例题导讲 [例 1] 若 A、B、C 是 ?ABC 的三个内角,且 A ? B ? C (C ?

①. sin A ? sin C ②. cot A ? cot C A.1 B.2 C.3

? ) ,则下列结论中正确的个数是( 2 ③. tan A ? tan C ④. cos A ? cos C
D.4



正解:法 1? A ? C 在 ?ABC 中,在大角对大边,? c ? a, ? sin C ? sin A 法 2 考虑特殊情形,A 为锐角,C 为钝角,故排除 B、C、D,所以选 A . [例 2]已知 ? , ? 角的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系为 正解:∵ ? , ? 角的终边关于 y 轴对称 .



? ??
2

?

?
2

? k? , (k ? Z ) 即 ? ? ? ? ? ? 2k? , (k ? z )

说明: (1)若 ? , ? 角的终边关于 x 轴对称,则 ? 与 ? 的关系为 ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) (2)若 ? , ? 角的终边关于原点轴对称,则 ? 与 ? 的关系为 ? ? ? ? (2k ? 1)? , (k ? Z ) (3)若 ? , ? 角的终边在同一条直线上,则 ? 与 ? 的关系为 ? ? ? ? k? , (k ? Z ) [例 4]已知角 ? 的终边经过 P(?4a,3a)(a ? 0) ,求 sin ? , cos? , tan? , cot? 的值. 正解:若 a ? 0 ,则 r ? 5a ,且角 ? 在第二象限

? sin ? ?

3a 3 ? 4a 4 3a 3 ? 4a 4 ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? , cot ? ? ?? 5a 5 5a 5 ? 4a 4 3a 3 若 a ? 0 ,则 r ? ?5a ,且角 ? 在第四象限 3a 3 ? 4a 4 3a 3 ? 4a 4 ? sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? ? , cot ? ? ?? ? 5a 5 ? 5a 5 ? 4a 4 3a 3
[例 5] (1)已知 ? 为第三象限角,则 (2)若 ? ? ?4 ,则 ? 是第

? 是第 2

象限角, 2? 是第

象限角;

象限角.

解: (1)?? 是第三象限角,即 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?

? k? ?

?
2

?

?

3 ?,k ? Z 2

? 为第二象限角 2 ? 当 k 为奇数时, 为第四象限角 2
当 k 为偶数时,

3 ? k? ? ? , k ? Z , 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? , k ? Z 2 4

而 2? 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上. (2)因为 ?

3? ? ?4 ? ?? ,所以 ? 为第二象限角. 2

点评: ? 为第一、二象限角时,

? ? 为第一、三象限角, ? 为第三、四象限角时, 为第二、四象限角,但是它们在 2 2

以象限角平分线为界的不同区域. . [例 7]已知 ? 是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? 。 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2 sin ? 解:原式= = ? ? cos? cos? 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ?
又 ? 是第三象限角,? cos ? ? 0 所以,原式= ?

2 sin ? ? ?2 tan ? 。 cos ?

点评:三角函数化简一般要求是: (1)尽可能不含分母; (2)尽可能不含根式; (3)尽可能 使三角函数名称最少; (4)尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式,进行化简. [例 8] A.一 解: ? 若角 ? 满足条件 sin 2? ? 0, cos? ? sin ? ? 0 ,则 ? 在第( B.二 C.三 )象限 D.四

?sin 2? ? 0 ?sin ? cos? ? 0 ?sin ? ? 0 ?? ?? ? ? 角在第二象限.故选 B. ?cos? ? sin ? ? 0 ?cos? ? sin ? ?cos? ? 0

四、典型习题导练 1.已知钝角 ? 的终边经过点 P?sin 2? , sin 4? ? ,且 cos ? ? 0.5 ,则 ? 的值为 A. arctan ?? )

? 1? ?? 1? ? B. arctan ? 2?

C. ? ? arctan )

1 2

D.

3? 4

2.角α 的终边与角β 的终边关于 y 轴对称,则β 为( A.-α B.л -α C.(2kл +1)л -α (k∈Z) 3.若 sinα tgα ≥0,k∈Z,则角α 的集合为( ) A.[2k ? -

D.kл -α (k∈Z)

? ? ? ? ,2k ? + ] B.( 2k ? - ,2k ? + ) 2 2 2 2 ? ? C.( 2k ? - ,2k ? + )∪ ?2k? ? ? ? D.以上都不对 2 2 4.当 0<x< ? 时,则方程 cos ( ? cosx)=0 的解集为( )
?? 5? ? , ? ?6 6 ? ?? 2? ? , ? ?3 3 ?

A. ?

B. ?

C. ?

?? ? ? ?3 ?
.

D. ?

? 2? ? ? ?3 ?

6.已知 x∈(0,

? ),则下面四式: 中正确命题的序号是 2
②sin(cosx)<cosx<cos(sinx) ④cos(sinx)<sin(cosx)<cosx

①sinx<x<tgx ③sin3x+cos3x<1

7. 有以下四组角: (1)k ? +

π π π π ; (2)k ? - ; (3)2k ? ± ; (4)-k ? + (k∈z)其中终边相同的是 ( 2 2 2 2 B.(1)、(2)和(3) D.(1)、(2)、(3)和(4)




A.(1)和(2) C.(1)、(2)和(4) 1 A. 2 1 B.- 2

8 . 若 角 α 的 终 边 过 点 (sin30° , -cos30° ), 则 sin α 等 于 (

3 C.- 2

3 D.- 3

9.函数 y= 2 cos(?x ? ) ? 1 的定义域是______,值域是______. 3

?

3.2 三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识导学 1.同角三角函数的基本关系式
2 2 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 ;商数关系: tan ? ?

sin ? ;倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 cos ?

同角三角函数的基本关系式可用图表示 (1)三个阴影部分三角形上底边平方和等于 1 的平方; (2)对角为倒数关系; (3)每个三角函数为相邻两函数的积. 2.诱导公式( k ? z ) 角 函数 正弦 余弦 记忆口诀 函数名不变 符号看象限

2k? ? ?

? ?? ?? ? ??
??

2? ? ?

sin ? - sin ? - sin ? sin ? - sin ?

?
2

cos?

cos? - cos? cos? - cos? cos? sin ?

?
2

??

cos?
- cos? - cos?

sin ?
- sin ?

函数名不变 符号看象限

3? ?? 2 3? ?? 2

sin ?

诱导公式可将“负角正化,大角小化,钝角锐化”. 3.诱导公式解决常见题型 (1)求值:已知一个角的某个三角函数,求这个角其他三角函数; (2)化简:要求是能求值则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母. 二、疑难知识导析 1.三角变换的常见技巧 “1”的代换; sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 三个式子,据方程思想知一可求其二(因为其间隐 含着平方关系式 sin ? ? cos ? ? 1 ) ;
2 2

2.在进行三角函数化简和三角等式证明时,细心观察题目的特征,灵活恰当地选用公式,一般思路是将切割化弦.尽 量化同名,同次,同角; 3.已知角 ? 的某个三角函数值,求角 ? 的其余 5 种三角函数值时,要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方 关系并要开方时,要根据角的范围来确定符号,常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时,要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲 [例 1]已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,? ? (0,?),则 cot ? ? __________ 5

正解: sin ? ? cos ? ?

1 ,? ? (0,?), 5 12 1 ? 0与 sin ? ? cos ? ? 联立, 两边同时平方,有 sin ? ? cos ? ? ? 25 5 4 3 3 cos ? ? ? , 求出 sin ? ? , ∴ cot ? ? ? 5 5 4

[例 2]若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B 为锐角且 a>1,0<b<1,求 tanA 的值 正解:由 ?

?sin A ? a sin B  ① ?cos A ? b cos B  ②
a2 ?1 ∴cos B= 2 a ? b2
2

①2+②2 得 a2sin2B+b2cos2B=1

1 ? b2 ∴sin B= 2 a ? b2
2

1? b2 ∴tan 2B= 2 a ?1

∵B 为锐角 ∴tan B=

1 ? b2 a2 ?1

a ① a 1 ? b2 得 tan A= tan B= b ② b a2 ?1
[例 4]已知 tan (1) tan(? ?

?
2

=2,求 (2)

?

4

) 的值;

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

? 2 tan ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; 解: (1)∵ tan =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 ? ? ?1 tan ? ? tan ? 1 4 ? tan ? ? 1 = 3 所以 tan(? ? ) ? ?? ; ? 4 4 1 ? tan ? tan 1 ? tan ? 1 ? 7 4 3 4 6(? ) ? 1 4 7 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 (2)由(I), tanα=- , 所以 = = ? . 4 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3
点评:本题设计简洁明了,入手容易,但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用,运算准确. [例 5]化简: sin(

4n ? 1 4n ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ??) 4 4

(n ? z )

正解:原式 ? sin[ n? ? (

?

4

? ? )] ? cos[ n? ? (

?

4

? ? )]

(1)当 n ? 2k ? 1(k ? z ) ,时 原式 ? sin[ 2k? ? ? ? (

?
4

? ? )] + cos[ 2k? ? ? ? (

?
4

? ? )]

? sin(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) =0

(2)当 n ? 2k (k ? z ) ,时 原式 ? sin[ 2k? ? (

?
4

? ? )] + cos[ 2k? ? (

?
4

? ? )]

? ? sin(

?
4

? ? )] + cos(

?
4

? ? ) =0


[例 6]若 sin ? A. ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ?
B. ?

7 9

1 3

C.

1 3

D.

7 9

正解: cos? =— cos(

? ? 2? ? ? 2? ? = cos[ ? ? ( ? 2? )] 3 ? 3 ?
? 2? ) =—1+2 sin 2 (

?
3

?
6

? ? ) =—

7 .故选 A. 9
) D. ?

四、典型习题导练 1. 当 0<x<л 时,则方程 cos (л cosx)=0 的解集为( A. ? ,

л ? ?л 5 ? ?6 6 ?

B. ? ,

л ? ?л 2 ? ?3 3 ?

C. ?

?л ? ? ?3 ?

?2 л ? ? ?3 ?

2.在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B ? 1

A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin A ? sin B ?

2

2 2 ③ sin A ? cos B ? 1

2 2 2 ④ cos A ? cos B ? sin C

其中正确的是 A.①③

B.②④

C.①④

D.②③

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则

4 2 1 ? ? 4 . 曲线 y ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ) 和直线 y ? 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 2 4 4
次记为 P1,P2,P3,?,则|P2P4|等于( ) A. ? B .2 ? C.3 ? 5.已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (1) 求 f( D.4 ?

A. 0 ? x ? ?

B.

?
4

?x?

7? 4

C.

?

?x?

5? 4

D.

?

?x?

3? 2

? )的值; 4

(2) 设 ? ∈(0, ? ),f(

? 2 )= ,求 sin ? 的值. 2 2

6.已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,

sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小.

3.3 三角函数的恒等变换 一、知识导学 1.两角和、差、倍、半公式 (1) 两角和与差的三角函数公式

s i n? ( ? ?) ? s i n ?sin ? ?co? s cos ? cos ?( ? ? ) ? c o ? s cos ? ?sin ?sin ?

t an ?(? ? ) ?

t an ??t an ? 1? t a n ?t an ?

(2) 二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? tan 2

(3) 半角公式

sin 2

1 ? cos ? 1? c o s ? 2 ? ? , cos , 2 2 2 2 ? sin ? 1 ? cos ? tan ? ? 2 1 ? cos ? sin ? ?

?

?
2

?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形,常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除 等式两边的差异,有目的地化繁为简,使左右相等,常用方法为: (1)从一边开始证得它等于另一边,一般由繁到简; (2)证明左右两边都等于同一个式子(或数值). 二、疑难知识导析 1.两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律,常用于解决求值、化简和证明题. 2.倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如 sin 2? ? 2 sin ? cos ? 成立的条件是“ ? 是任意角, 2?是? 的 2 倍角” ,精髓体现在角的“倍数”关系上. 3.公式使用过程中(1)要注意观察差异,寻找联系,实现转化,要熟悉公式的正用逆用和变形使用,也要注意公式

? ? ? )(1 ? tan? tan ? ) 、 sin ? ? 成立的条件.例 tan? ? tan ? ? tan(
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 、 cos ? ? 等. 2 2

4. 三角公式由角的拆、凑很灵活.如 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 ? ? (? ? ? ) ? ? 、

??

???
2

?

???
2



???
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ) 等,注意到倍角的相对性.

5.化为三角函数式,常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次,切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等. 6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式

(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口. (2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等 求证. 三、典型例题导讲 [例 1] 在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则?C 的大小应为( A. 正解:A [例 2] 已知 tan? tan?是方程 x +3 3 x+4=0 的两根,若?,??(2

)

? 6

B.

? 3

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

? 2? 或 3 3

? ?

, ),则?+?=( 2 2



A.

? 3

B.

? 2 或- ? 3 3

C.-

? 2 或 ? 3 3

2 D.- ? 3

正解:D. [例 3] △ABC 中,已知 cosA= A.

16 65

B.

56 65

5 3 ,sinB= ,则 cosC 的值为( ) 5 13 16 56 16 C. 或 D. ? 65 65 65

正解:A [例 4] 已知 sin ? ? A、

4 ? 2m m?3

m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ( ?? ?? ) ,则 tan ? ? ( ) m?5 m?5 2 m?3 5 3 5 B、 ? C、 ? D、 ? 或 ? 4 ? 2m 12 4 12

正解:C 四、典型习题导练 1.已知集合 M= y y ? sin x ? cos x, x ? R A.M B.N C.ф ) C.-1 ) D.-2

?

?,N= ?y y ? ? sin x cos x, x ? R ?则 MUN 等于(
D. y ? 2 ? y ? 2



?

?

2.若 sinα +cosα = 2 ,则 tanα +cotα =( A.1 3.已知 B.2

л 4 α <α <л <,sinα = ,则 cos 的值为( 2 5 2
B.-

A.

5 5 或2 5

5 5

C.

5 5

D.以上都不对 .

л θ 4 θ θ 4 θ ? 3tan tan = ,则 tan ? tan 5 3 3 3 3` 13 л л 5.计算 sin sin = . 10 10
4.已知θ =

6.已知 tanA· tanB=tanA+tanB+1,则 cos(A+B)的值是( A. ?



2 2

B.

2 2 C. ? 2 2

D. ?

1 2

7.已知角 A 是△ABC 的一个内角,且 sin A ? cos A ? A.锐角三角形 B.钝角三角形

2 ,则△ABC 是( 3
D.形状不确定



C.直角三角形

3.4 三角函数的图像与性质 一、知识导学 1.三角函数线.设角 ? 的终边与单位圆交于点 P ,过点 P 做 PM ? x 轴于 M ,过点 A(1,0) 做单位圆的切线,与 角 ? 的终边或终边的反向延长线相交于点 T ,则有向线段 MP, OM , AP 分别叫做角 ? 的正弦线,余弦线,正切线. 2.三角函数的图像 (1) y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x, y ? cot x 四种图像 (2)函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像 ①“五点作图法” ②图像变化规律 3.三角函数的定义域、值域及周期 4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析 1. y ? A sin(?x ? ? ) + B( A ? 0, ? ? 0) 中, A, B, ? 及 ? ,对正弦函数 y ? sin x 图像的影响,应记住图像变换是 对自变量而言.

? ? ? 个单位,应得 y ? sin 2( x ? ) ,而不是 y ? sin( 2 x ? ) 6 6 6 ? 3? ,2? 来求相应的 x 2.用“五点法”作 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 图时,将 ?x ? ? 看作整体,取 0, ,? , 2 2
如: y ? sin 2 x 向右平移 值及对应的 y 值,再描点作图. 3. y ? sin x, y ? cos x, y ? A sin(?x ? ? ) 的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形.而 y ? tan x 图像只是中心 对称图形,掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征,充分利用特征求出中 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的 各个参数. 4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式(组).要考虑到分母不为 零,偶次根式被开方数不小于零,对数的真数大于零、底数大于零且不等于 1,同时还要考虑到函数本身的定义域. 可用三角函数图像或三角函数线解不等式(组). 5.求三角函数的值域是常见题型.一类是 y ? a sin x ? b cos x 型,这要变形成 y ?

a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ;二是含有

三角函数复合函数,可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.

6. y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 单 调 性 的 确 定 , 基 本 方 法 是 将 ?x ? ? 看 作 整 体 , 如 求 增 区 间 可 由

2 k? ?

?
2

? ? x ? ? ? 2 k? ?

?
2

( k ? z ) 解出 x 的范围.若 x 的系数为负数,通常先通过诱导公式处理.

7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数. 三、典型例题导讲 [例 1] 为了得到函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??
? 3

? 的图像,可以将函数 y ? cos2 x 的图像( 6?
C 向左平移



A 向右平移 正解:B

? 6

B 向右平移

? 6

D 向左平移

? 3
) 个.

[例 2]下列四个函数 y=tan2x,y=cos2x,y=sin4x,y=cot(x+ A.1 正解:D [例 3]函数 y ? 2 sin( A. [0, B.2 C. 3

? ? ),其中以点( ,0)为中心对称的三角函数有( 4 4 D. 4

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是 (

)

? ] 3

B. [

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

正解: C

3.5 解三角形及三角函数的应用 一、知识导学 1.解三角形的的常用定理: (1) 内角和定理: A ? B ? C ? ? 结合诱导公式可减少角的个数. (2) 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( R 指△ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C 1 1 1 ( S ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B) 2 2 2
a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? c 2 及其变形.

(3) 余弦定理: (4) 勾股定理:

Rt?ABC中a 2 ? b 2 ? c 2

三、经典例题导讲
2 [例 1]已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? ,

且? 、 ? ? ? ? 正解:? a ? 1

? ?? ? ? ?? , ? ,则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?

? ?t an ? ? ?4a ? 0 , tan? ? tan? ? 3a ? 1 ? o ?t an

? tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan

?? ? ? ? =

tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ?? ? ?2. = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

[例 2]函数 f(x)= 正解: ??

sin x cos x 的值域为______________. 1 ? sin x ? cos x

? ?

? ? 2 1 2 1? ? ? 1, ? ,?1? ? ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ?

[例 4] cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? = 解: cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40?



cot 200 cos100 3 sin 100 sin 700 ? ? 2 cos400 sin 200 cos700 cos200 cos100 ? 3 sin 100 cos200 ? 2 cos400 0 sin 20



cos 200 (cos100 ? 3 sin100 ) ? 2 cos 400 0 sin 20 0 2 cos 20 (cos100 sin 300 ? sin100 cos 300 ) ? ? 2 cos 400 0 sin 20 0 0 2 cos 20 sin 40 ? 2sin 200 cos 400 ? sin 200 ?2 ?
[例 3] 在锐角△ABC 中,A<B<C,且 B=60°,

(1 ? cos2 A)(1 ? cos2C) =

3 ?1 ,求证:a+ 2b ? 2c. 2
1 2
∵锐角△ABC 中,cosA>0,cosC>0,

解:∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=又由已知 2 cos A ? 2 cos C =
2 2

3 ?1 2 3 ?1 4

∴cosAcosC=

3 ?1 4

sinAsinC=

∴cos(C-A)= ∴A=45°

3 2
B=60°

即 C-A=30° C=75°

∴a+ 2 b=2R(sin45°+ 2 sin60°)=2·2R 四、典型习题导练

2? 6 =2·2Rsin75°=2c 4
B A A )-sin cos 2 2 2
B.有最大值

1.在 Rt△ABC 中,C=90°,则 sinAcos2(45°- A.有最大值

1 和最小值 0 4

C.即无最大值也无最小值

1 但无最小值 4 1 D.有最大值 但无最小值 2
) D.向左平移

2.要得到 y=sin2x 的图像,只需将 y=cos(2xA.向右平移

л 8 A B C 1 4.在△ABC 中,sin sin sin = ,则△ABC 的形状为 2 2 2 8
B.向左平移 5.直角三角形的周长为定值 2l,则斜边的最小值是

л 8

л )的图像 ( 4 л C.向右平移 4

л 4


.

6.在 ?ABC中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a ? c ? 2b,A ? C ?

?
3

,求 sinB 的值.


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