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高中数学复习专题讲座(第30讲)排列、组合的应用问题


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高中数学复习专

题系列讲座

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新疆奎屯市第一高级中学 王新敞

题目 高中数学复习专题讲座 排列、组合的应用问题 高考要求 排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每 年都有 1~2 道排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力 重难点归纳 1 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件 的应用问题 解决这类问题通常有三种途径 (1)以元素为主,应先满足特 殊元素的要求,再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置 的要求,再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数, 再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法,后一种方 式叫间接(剔除)解法 2 在求解排列与组合应用问题时,应注意 (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答 3 解排列与组合应用题常用的方法有 直接计算法与间接(剔除)计算 法;分类法与分步法;元素分析法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种 4 经常运用的数学思想是 ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想 典型题例示范讲解 例 1 在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点,在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点 外),连同 O 点共 m+n+1 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的 三角形有( )
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A.C C.C

1 2 Cn m ?1 1 m 2

? C n ?1 C m
1 2 1 1

1

2

B .C m C n ? C n C m D.C
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1

2

1

2

C n ? C nC m ? C mC n
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1 m

C n ?1 ? C m ?1 C n

2

2

1

命题意图 知识依托 错解分析

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考查组合的概念及加法原理 法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合
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A 中含有构不成三角形的组合,如

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C 1 ? 1 C 2 中,包括 O、 m n

Bi、Bj;C 1 ? 1 C 2 中,包含 O、Ap、Aq,其中 Ap、Aq,Bi、Bj 分别表示 OA、OB n m 边上不同于 O 的点;B 漏掉△AiOBj;D 有重复的三角形 △AiOBj,C 2 ? 1 C 1 中也有△AiOBj m n 技巧与方法
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如 C 1 C 2 ? 1 中有 n m

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分类讨论思想及间接法

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高中数学复习专题系列讲座

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解法一

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第一类办法

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从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上
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(不包括 O)中任取两点,可构造一个三角形,有 C 1 C 2 个;第二类办法 m n

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OA 边上(不包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点, O 点可 与 构造一个三角形,有 C 2 C 1 个;第三类办法 m n
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从 OA 边上(不包括 O)任取一

点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C 1 C 1 m n 个
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由加法原理共有 N=C 1 C 2 +C 2 C 1 +C 1 C 1 个三角形 m n m n m n 解法二
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从 m+n+1 中任取三点共有 C 3 ? n ? 1 个,其中三点均在射线 m
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OA(包括 O 点),有 C 3 ? 1 个,三点均在射线 OB(包括 O 点),有 C 3 ? 1 个 n m 以,个数为 N=C 3 ? n ? 1 -C 3 ? 1 -C 3 ? 1 个 n m m
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答案 C 例 2 四名优等生保送到三所学校去, 每所学校至少得一名, 则不同的保 送方案的总数是_________ 命题意图 本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用 上述概念处理数学问题的能力 知识依托 排列、组合、乘法原理的概念 错解分析 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安
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排每学校一人,而后将剩的一人送到一所学校,故有 3A 3 种 4
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忽略此种办

法是 将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序,分为两种方案, 而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的 技巧与方法 解法一,采用处理分堆问题的方法 解法二,分两次安 排优等生,但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的
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分两步

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先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C 2 种;而 4
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后,对三组学生安排三所学校,即进行全排列,有 A33 种 有 N=C 2 A 3 =36(种) 4 3 解法二
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依乘法原理,共

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从每个学校至少有一名学生,每人进一所学校,共

有 A 3 种;而后,再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校,有 3 种 4
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值得注意的是
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同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的
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因此,共有 N=
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1 2

A 3 ·3=36(种) 4

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答案 36 例 3 有五张卡片,它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同 的三位数?
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解法一(间接法)

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任取三张卡片可以组成不同三位数 C 3 ·23·A 3 (个), 5 3

其中 0 在百位的有 C 2 ·22·A 2 (个),这是不合题意的,故共有不同三位 4 2 数
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C 3 ·23·A 3 -C 2 ·22·A 2 =432(个) 5 3 4 2 解法二 (直接法)
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第一类
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0 与 1 卡片放首位,可以组成不同三位数 0 与 1 卡片不放首位,可以组成不同三位
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有 C 42 2 2 A22 ? 48 (个); 第二类

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1 数有 ( C 4 2)( C 42 2 2 A22 ) ? 8 ? 48 ? 384 (个)

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故共有不同三位数 48+384=432(个) 学生巩固练习 1 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条(用 数值表示) 2 圆周上有 2n 个等分点(n>1), 以其中三个点为顶点的直角三角形的 个数为_________ 3 某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花 色的 A,有 5 次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多 少种不同的出牌方法? 4 二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0, 1,2,3,4}中选取 3 个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物 线多少条? 5 有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数 (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置 (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边 (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起 (4)全体排成一行,男、女各不相邻 (5)全体排成一行,男生不能排在一起 (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变 (7)排成前后二排,前排 3 人,后排 4 人
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(8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人 6 20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中,要求每 个盒内的球数不小于它的编号数,求不同的放法种数 7 用五种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分 (1) (3) 涂色,每部分涂一色,相邻部分涂不同色,则涂色的方法共 (2) (4) 有几种? 8 甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一、 乙不值周六,则可排出不同的值班表数为多少?
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参考答案 解析 因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数 中任取 2 个作为 A、B 两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数
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2 为 A 6 =30

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答案 2
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30
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解析

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2n 个等分点可作出 n 条直径,从中任选一条直径共有 C 1n 种

方法;再从以下的(2n-2)个等分点中任选一个点,共有 C 12 n ? 2 种方法,根据 乘法原理
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直角三角形的个数为

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C 1n ·C 12 n ? 2 =2n(n-1)个

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答案 2n(n-1) 3 解 出牌的方法可分为以下几类
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(1)5 张牌全部分开出,有 A 5 种方法; 5
2 (2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法;

4 (3)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法;

2 (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A 3 种方法; 5

(5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A 3 种方法; 5
2 4 (6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A 5 种方法
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2 4 2 2 4 因此,共有不同的出牌方法 A 5 +A 5 +A 5 +A 3 A 3 +A 3 +C 3 A 5 =860 种 5 5 5

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4

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由图形特征分析,a>0,开口向上,坐标原点在内部 ? f(0)=c
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<0;a<0,开口向下,原点在内部 ? f(0)=c>0,所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲,原点在其内部 ? af(0)=ac<0,则确定抛物线时,可先定一正一负的 a 和 c,再确定 b,故满足题设的抛物线共有 C 13 C 14 A 2 A 16 =144 条 2 5
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(1)利用元素分析法,甲为特殊元素,故先安排甲左、右、中共
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三个位置可供甲选择 得 A 13 A 6 =2160 种 6
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有 A 13 种,其余 6 人全排列,有 A 6 种 6

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由乘法原理

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(2)位置分析法

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先排最右边,除去甲外,有 A 16 种,余下的 6 个位置全
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排有 A 6 种, 但应剔除乙在最右边的排法数 A 15 A 5 种 6 5 有 A 16 A 6 -A 15 A 5 =3720 种 6 5 (3)捆绑法 排列
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则符合条件的排法共

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将男生看成一个整体,进行全排列
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再与其他元素进行全

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共有 A 3 A 5 =720 种 3 5
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(4)插空法 A 3 A 4 =144 种 3 4 (5)插空法
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先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有

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先排女生,然后在空位中插入男生,共有 A 4 A 3 =1440 种 4 5
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(6)定序排列

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第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为

N,第二步,对甲、乙、丙进行全排列,则为七个人的全排列,因此 A 7 =N 7 ×A 3 ,∴N= 3
A A
7 7 3 3

= 840 种

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?

(7)与无任何限制的排列相同,有 A 7 =5040 种 7

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(8)从除甲、 乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、 乙中间的排法有 A 3 种, 甲、 5
2 乙和其余 2 人排成一排且甲、乙相邻的排法有 A 3 A 3 3
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最后再把选出的 3
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人的排列插入到甲、乙之间即可 6
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共有 A 3 ×A 2 ×A 3 =720 种 5 2 3

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首先按每个盒子的编号放入 1 个、2 个、3 个小球,然后将剩
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余的 14 个小球排成一排,如图,|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有 15 个 空档,其中“O”表示小球, “|”表示空档 将求小球装入盒中的方案数, 可转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数 对应关系是 以插入两个空 档的小盒之间的“O”个数,表示右侧空档上的小盒所装有小球数 最左侧 的空档可以同时插入两个小盒 而其余空档只可插入一个小盒,最右侧空
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2 档必插入小盒,于是,若有两个小盒插入最左侧空档,有 C 3 种;若恰有一

个小盒插入最左侧空档, C 1 C 1 种; 有 3 3 若没有小盒插入最左侧空档, C 13 种 有 2
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2 2 由加法原理,有 N= C 3 ? C 1 C 1 ? C 13 =120 种排列方案,即有 120 种放法 3 13

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7 分类
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按排列中相邻问题处理

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(1)(4)或(2)(4)

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可以涂相同的颜色

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若(1)(4)同色,有 A 3 种,若(2)(4)同色,有 A 3 种,若(1)(2)(3)(4)均不 5 5
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4 同色,有 A 5 种

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4 由加法原理,共有 N=2A 3 +A 5 =240 种 5

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8

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2 每人随意值两天, 共有 C 6 C 2 C 2 个; 甲必值周一, C 15 C 2 C 2 有 4 2 4 2

个;乙必值周六,有 C 15 C 2 C 2 个;甲必值周一且乙必值周六,有 C 14 C 13 C 2 4 2 2 个
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所以每人值两天,且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数,有
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2 N=C 6 C 2 C 2 -2C 15 C 2 C 2 + C 14 C 13 C 2 =90-2×5×6+12=42 个 4 2 4 2 2

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课前后备注

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