当前位置:首页 >> 数学 >>

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.2.1 几个常用函数的导数]


选修 2-2

第一章

1.2

1.2.1

一、选择题 1.若函数 f(x)= x,则 f ′(1)等于( A.0 C.2 [答案] D 1 [解析] f ′(x)=( x)′= , 2 x 1 1 所以 f ′(1)= = ,故应选 D. 2× 1 2 1 2.抛物线 y= x2 在点(2,1

)处的切线方程是( 4 A.x-y-1=0 C.x-y+1=0 [答案] A 1 [解析] ∵f(x)= x2, 4 1 ∴f ′(2)= x|x=2=1. 2 ∴切线方程为 y-1=x-2.即 x-y-1=0. 3.已知 f(x)=x3,则 f ′(2)=( A.0 C.8 [答案] D [解析] f ′(2)= lim →
3 Δx 0

) 1 B.- 2 1 D. 2

)

B.x+y-3=0 D.x+y-1=0

) B.3x2 D.12

?2+Δx?3-23 Δx

?Δx? +6?Δx?2+12Δx = lim = lim ((Δx)2+6Δx+12)=12,故选 D. Δx Δx→0 Δx→0 4.已知 f(x)=xα,若 f ′(-1)=-2,则 α 的值等于( A.2 C.3 [答案] A [解析] 若 α=2,则 f(x)=x2, B.-2 D.-3 )

∴f ′(x)=2x,∴f ′(-1)=2×(-1)=-2 适合条件.故应选 A. 5.一个物体的运动方程为 s(t)=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体 在 3 秒末的瞬时速度是( A.7 米/秒 C.5 米/秒 [答案] C [解析] v(t)=s′(t)=-1+2t, ∴v(3)=-1+2×3=5(米/秒),故选 C. 1 6.(2014· 北京东城区联考)曲线 y= x3 在 x=1 处切线的倾斜角为( 3 A.1 π C. 4 [答案] C 1 π [解析] ∵y= x3,∴y′|x=1=1,∴切线的倾斜角 α 满足 tanα=1,∵0≤α<π,∴α= . 3 4 二、填空题 7.已知①y=f(x),②y=g(x),③y=h(x)都是路程 y 关于时间 x 的函数,且 f ′(x)=1, g′(x)=2,h′(x)=3,则运动速度最快的是________(填序号). [答案] ③ [解析] 由导数的几何意义知,y=f(x)的瞬时速度为 1,y=g(x)的瞬时速度为 2,y=h(x) 的瞬时速度为 3,且都是匀速运动,故最快的是③. 8.若曲线 y=x3 的某一切线与直线 y=12x+6 平行,则切点坐标是________. [答案] (2,8)或(-2,-8) [解析] 设切点坐标为(x0,x3 0),
2 因为 y′=3x2,所以切线的斜率 k=3x2 0,又切线与直线 y=12x+6 平行,所以 3x0=12,

) B.6 米/秒 D.8 米/秒

)

π B.- 4 5π D. 4

解得 x0=± 2,故切点为(2,8)或(-2,-8). 9.(2014· 枣阳一中、襄州一中、宜城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线 y= x在点 P(a, a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则实数 a 的值是________. [答案] 4 [解析] y′= 1 1 ,切线方程为 y- a= (x-a), 2 x 2 a a , 2

令 x=0 得,y=

令 y=0 得,x=-a,

1 a 由题意知 · · a=2,∴a=4. 2 2 三、解答题 10.求抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离. [解析] 平移直线 x-y-2=0 与抛物线 y=x2 相切, 设切点为 P(x0,y0), 1 1 y′|x=x0=2x0=1,∴x0= ,y0= , 2 4 由点到直线的距离公式,得最短距离

d=

?1-1-2? ?2 4 ? 7 2
2 = 8

.

一、选择题 3 11.已知物体的运动方程为 s=t2+ (t 是时间,s 是位移),则物体在时刻 t=2 时的速度 t 为( ) 19 A. 4 15 C. 4 [答案] D 3 3 13 [解析] ∵s′=2t- 2,∴s′|t=2=4- = ,故选 D. t 4 4 1 12.(2013· 山西省太原五中月考)已知曲线 y=x3-1 与曲线 y=3- x2 在 x=x0 处的切线 2 互相垂直,则 x0 的值为( A. 3 3 ) 3 B. 3 3 9 3 17 B. 4 13 D. 4

3 C. 3 [答案] D D.

[解析] 由导数的定义容易求得,曲线 y=x3-1 在 x=x0 处切线的斜率 k1=3x2 0,曲线 y 1 =3- x2 在 x=x0 处切线的斜率为 k2=-x0, 由于两曲线在 x=x0 处的切线互相垂直, ∴3x2 (- 0· 2 3 x0)=-1,∴x0= 9 ,故选 D. 3

3 13.曲线 y= x上的点 P(0,0)处的切线方程为( A.y=-x C.y=0 [答案] B 3 [解析] ∵y= x, 3 3 ∴Δy= x+Δx- x = x+Δx-x 3 3 3 ? x+Δx?2+ x?x+Δx?+? x?2 Δx ? x+Δx? + x?x+Δx?+? x? ∴ 3
2

)

B.x=0 D.不存在



3

, 3
2

Δy 1 = , Δx 3 3 3 2 2 ? x+Δx? + x?x+Δx?+? x?
Δx 0

∴y′=li m →

Δy 1 = . Δx 2 3x 3

∴曲线在点 P(0,0)处切线的斜率不存在, ∴切线方程为 x=0. 4 14.质点作直线运动的方程是 s= t,则质点在 t=3 时的速度是( A. 1 4 4 33 1 B. 1 3 4 34 1 4 3 43 )

C.

3 2 34

D.

[答案] A t+Δt- t 4 4 [解析] Δs= t+Δt- t= 4 4 t+Δt+ t = t+Δt-t 4 4 ? t+Δt+ t?? t+Δt+ t? Δt 4 4 ? t+Δt+ t?? t+Δt+ t?
Δt 0



∴li m →

Δs 1 1 = = , Δt 4 4 3 2 t· 2 t 4 t

∴s′(3)= 二、填空题

1 4 3 4
3

.故应选 A.

15.在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,当斜率最小时,切线方程为________. [答案] 3x-y-11=0 [解析] 设切点 P(x0,y0),则过 P(x0,y0)的切线斜率为 y′|x=x0,它是 x0 的函数,求 出其最小值.
2 设切点为 P(x0,y0),过点 P 的切线斜率 k=y′|x=x0=3x2 0+6x0+6=3(x0+1) +3.当 x0

=-1 时 k 有最小值 3,此时 P 的坐标为(-1,-14),其切线方程为 3x-y-11=0. 16.函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k ∈N*,若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. [答案] 21
2 [解析] ∵y′=2x,∴在点(ak,a2 k )的切线方程为 y-ak =2ak(x-ak),又该切线与 x 轴的

1 1 交点为(ak+1,0),所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列,首项 a1=16,其公比 q= ,∴a3 2 2 =4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 三、解答题 1 17.已知曲线 C:y= 经过点 P(2,-1),求 t-x (1)曲线在点 P 处的切线的斜率. (2)曲线在点 P 处的切线的方程. (3)过点 O(0,0)的曲线 C 的切线方程. [解析] (1)将 P(2,-1)代入 y= 1 ∴y= . 1-x 1 1 - Δy f?x+Δx?-f?x? 1-?x+Δx? 1-x ∴ = = Δx Δx Δx = 1 , ?1-x-Δx??1-x?
Δx 0

1 中得 t=1, t-x

∴ lim →

Δy 1 = , Δx ?1-x?2 1 =1. ?1-2?2

∴曲线在点 P 处切线的斜率为 k=y′|x=2=

(2)曲线在点 P 处的切线方程为 y+1=1×(x-2),即 x-y-3=0. (3)∵点 O(0,0)不在曲线 C 上,设过点 O 的曲线 C 的切线与曲线 C 相切于点 M(x0,y0),

y0 1 则切线斜率 k= = , x0 ?1-x0?2 1 1 1 1 由于 y0= ,∴x0= ,∴切点 M( ,2),切线斜率 k=4,切线方程为 y-2=4(x- ), 2 2 2 1-x0 即 y=4x. 1 18.求曲线 y= 与 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积. x 1 ? ?x=1, ?y=x, ? [解析] 两曲线方程联立得? 解得? ? ?y=1. ? ?y=x2,

1 ∴k1=- 2|x=1=-1,k2=2x|x=1=2, x ∴两切线方程为 x+y-2=0,2x-y-1=0,所围成的图形如上图所示. 1 ∵两直线与 x 轴交点分别为(2,0),( ,0). 2 1? 3 1 ∴S= ×1×? ?2-2?=4. 2


相关文章:
...2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.2.1 综合...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.2.1 综合法与分析法]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选...
...(人教A版,选修2-2)练习:1.1.3 导数的概念]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.1.3 导数的概念]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:1.1.1命题]_数学...不完整的句子. 2.若 a>1,则函数 f(x)=ax 是增函数( A.不是命题 C....
...版,选修2-2)练习:2.1.1 第1课时 合情推理]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.1.1 第1课时...[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都...
...2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.1.2 演绎...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.1.2 演绎推理...是三角函数, 2. (2013· 华池一中高二期中)“三角函数是周期函数, y=tanx, ...
...版,选修2-2)练习:1.3.2 函数的极值与导数]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.3.2 函数的极值与导数]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:1.2.1 第1课时 排列1]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选...
...版,选修2-2)练习:2.1.1 第2课时 类比推理]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.1.1 第2课时 类比推理]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版...
...,选修2-2)练习:1.3.1 函数的单调性与导数]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.3.1 函数的单调性与导数]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.1.2求曲线的方程]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-...
更多相关标签: