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湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)


湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第二次月考数学 (理)试题(解析版)
得分: ____________ 【试卷综析】本试卷是高三月考理科试卷,是一次摸底考试,也是一次模拟考试,命题模式 与高考一致,考查了高考考纲上的诸多热点问题,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生 基本数学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规,也有综合性较强的问题,试题必做部 分重点考查:函数、三角函数、数列、立体几何、概率、解析几何等,涉及到的基本数学思 想有数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等,试题难度适中,兼达到高考关于区 分度的要求,适合高三学生模拟考试使用。 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,没小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.“ x ? 0 ”是“ ln ? x ? 1? ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 【知识点】充分、必要条件的判断 A2 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案解析】B 解析: x ? 0 时, x ? 1 ? 1 ,则 ln ? x ? 1? ? 0 ? ?1 ? x ? 0时 ? 或 ln ? x ? 1? 不 存在 ? x ? ?1时 ? ,所以“ x ? 0 ”是“ ln ? x ? 1? ? 0 ”的不充分条件;

ln ? x ? 1? ? 0 时, 0 ? x ?1 ? 1 , 即 ?1 ? x ? 0 , 则 x ? 0 成立, 所以 “x?0” 是 “ ln ? x ? 1? ? 0 ”
的必要条件。 【思路点拨】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论。 2.已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c ?
3

A.-2 或 2 C.-1 或 1 【知识点】导数与极值 B12

B.-9 或 3 D.-3 或 1
2

【答案解析】A 解析:求导函数可得 y ' ? 3 x ? 3 ? 3 ? x ? 1?? x ? 1? 令 y ' ? 0 ,可得 x ? ?1或x ? 1 ;令 y ' ? 0 ,可得 ?1 ? x ? 1 ; ∴函数在 ? ??, ?1? , ?1, ?? ? 上单调增,在 ? ?1,1? 上单调递减 ∴函数在 x ? ?1 处取得极大值,在 x ? 1 处取得极小值 ∵函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点
3

∴极大值等于 0 或极小值等于 0

∴ 1 ? 3 ? c ? 0或 ? 1 ? 3 ? c ? 0 ∴ c ? 2或c ? ?2 故选 A. 【思路点拨】求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数 y ? x ? 3 x ? c
3

的图象与 x 轴恰有两个公共点,可得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值

3.已知函数 f ( x) ? sin ? x 在 ? 0, 的一个值可以是 A.

3 ? ?? 上单调递增且在这个区间上的最大值为 ,则实数 ? ? 2 ? 4?
4 3 10 3

2 3

B.

8 3

C.

D.

【知识点】函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ? 的性质 C4 【答案解析】C 解析: 函数 f ( x) ? sin ? x 在 ? 0,

? ?? 上单调递增且在这个区间上的最大 ? 4? ?

值为

3 ? ? 3 ? ? 4 ,? f ( ) ? sin ? ? ,? ? ? ,? ? ? , 2 4 4 2 4 3 3

故选:C 【思路点拨】由增函数的意义可知: sin

?
4

??

3 ,从而可求 ? 的一个值。 2

4.已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积” ,且 a ? b 是一个向量,它的 长度 a ? b ? a b sin ? ,若 ? ? ? 2, 0 ? , ? ? ? ? ?1, ?3? ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? A, 4 3 B. 3 C. 6 D. 2 3

【知识点】平面向量的数量积的运算 F3 【答案解析】D 解析:由题意知: ? ? ? ? ( ? ? ? ) ? 1, 3 ,则 ? ? ? ? 3, 3 ,

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 6, ? ? ? ? 32 ? ? cos ? ? , ? ? ? ??

? 3?

2

? 2 3, ? ? 2

? ? ?? ? ? ?
? ? ??
1 2

6 3 ? 2 2? 2 3

得sin ? ? , ? ? ? ??

由“向量积”的定义知: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? , ? ? ? ?? 2 ? 2 3 ?

1 ?2 3 2

故选:D 【思路点拨】利用数量积运算和向量的夹角公式可得 cos ? ? , ? ? ? ??

? ? (? ? ? ) ,再利 ? ? ??

用同角三角函数基本关系式得到 sin ? ? , ? ? ? ? ,利用新定义即可求出 ? ? ? ? ? ? ? 的值。 5.一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球 O 的球面上,球 O 的表面积是

A. 2? B. 4? C. 6? D. 16? 【知识点】由三视图求表面积、体积 G2 【答案解析】C 解析:由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直, 高为 2,底面为等腰直角三角形,如图:

SA⊥平面 ABC,SA=2,AD 的中点为 D, 在等腰直角三角形 SAC 中,取 O 为 SC 的中点, ∴OS=OC=OA=OB, ∴O 为三棱锥外接球的球心, R ? ∴外接球的表面积 S ? 4? R 2 ? 8? 故选:C 【思路点拨】几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为等腰直角三角形, 取 O 为 SC 的中点,可证 OS=OC=OA=OB,由此求得外接球的半径,代入球的表面积公式计 算。

2,

6.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l //? , 则? //? C. 若l ? ? , l //? , 则? //? B. 若l ? ? ,l ? ? ,则? //? D. 若? ? ? , l //? , 则l ? ?

【知识点】空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系 G3 G4 G5 【答案解析】B 解析:若 l //? , l //? , 则平面 ? , ? 可能相交,此时交线与 l 平行,故 A 错误; 若 l⊥α,l⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得 B 正确; 若 l⊥α,l∥β,则存在直线 m? β,使 l∥m,则 m⊥α,故此时 α⊥β,故 C 错误; 若 α⊥β,l∥α,则 l 与 β 可能相交,可能平行,也可能线在面内,故 D 错误; 故选:B 【思路点拨】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断 A; 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断 B; 根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断 C; 根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断 D.

7.已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,下列选项中不可能是关于 ? n, S n ? 的图像的是

【知识点】等差数列的前 n 项和 D2 【答案解析】D 解析:∵ S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, ∴可设 S n ? an 2 ? bn(a, b为常数, n ? N * ) , 它表示过原点的一条曲线,当 a ? 0 时,是直线,如选项 C, 当 a ? 0 时,是抛物线,如选项 A、B; 选项 D 的曲线不过原点,不合题意. 故选:D.

【思路点拨】根据等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ? an 2 ? bn(a, b为常数, n ? N * ) ,它表示 过原点的一条曲线,对每一个选项进行判定即可 8.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对于任意自然数 n ,都有 an ?1 ? an ? n ? 2n ,则 a15 ? A. 14 2 ? 2
15

B. 13 214 ? 2

C. 14 215 ? 3 D1 D4

D. 13 215 ? 3

【知识点】数列的递推公式;数列的求和 【答案解析】D 解析:

an ?1 ? an ? n ? 2n ,

? a2 ? a1 ? 1? 21 a3 ? a2 ? 2 ? 22 a4 ? a3 ? 3 ? 23 an ?1 ? an ? 2 ? ? n ? 2 ? 2n ? 2 an ? an ?1 ? ? n ? 1? 2n ?1
累加得: an ? a1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
1 2 3

? ? n ? 1? ? 2n ?1 ①


又 2(an ? a1 ) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?
2 3 4

? ? n ? 1? ? 2 n

①-②得:

?an ? a1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? 2 ?1 ? 2n ?1 ? 1? 2

? 2n ?1 ? ? n ? 1? 2n

? ? n ? 1? 2n ? ? 2 ? n ? ? 2n ? 2

? an ? ? n ? 2 ? ? 2n ? 3 ? a15 ? 13 ? 215 ? 3
故选:D 【思路点拨】在数列递推式中依次取 n ? 1, 2,3, 错位相减法求解 an ,则答案可求。 9.我国古代数学名著《九章算术》中 “开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所 得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近 似公式 d ?
3

, n ? 1 .得到 n ? 1 个等式,累加后再利用

16 V ,人们还用过一些类似的近似公式.根据 π=3.14159…判断,下列近似公 9

式中最精确的一个是

A. d ?

3

16 V 9

B. d ?

3

2V

C. d ?

3

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

【知识点】球的体积公式 G8

6V 4 ?d ? 【答案解析】D 解析:由 V ? ? ? ? ,得 d ? 3 , ? 3 ?2?
a 6b ,则 ? ? , b a 6?9 6 选项 A 代入得 ? ? ? 3.375 ;选项 B 代入得 ? ? ? 3 ; 16 2 6 ?157 11? 6 选项 C 代入得 ? ? ? 3.14 ;选项 D 代入得 ? ? ? 3.142857 , 300 21
设选项中的常数为 由于 D 的值最接近 π 的真实值 故选 D. 【思路点拨】根据球的体积公式求出直径,然后设选项中的常数为 选项逐一代入,求出最接近真实值的那一个即可。 10.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 13 ,则满足 ak ? ak ?1 ? A.有 3 个 B.有 2 个 C.有 1 个 【知识点】数列的概念及简单表示法,数列的和 D1 D4 【答案解析】B 解析: an ? n ? 13 ? ? 若 k ? 13, 则ax ? k ? 13 ,

3

a ,表示出 ? ,将四个 b

? ak ?19 ? 102 的整数 k
D.不存在

?n ? 13, n ? 13 , ?13 ? n,1 ? n ? 13

ak ? ak ?1 ?

? ak ?19 ?

k ? 13 ? ? k ? 13 ? 19 ? ? 20 ? ? 2k ? 7 ? ? 10 ? 102 , 2

这与 k ? N * 矛盾,

?1 ? k ? 13 ,
ak ? ak ?1 ? ? ? ak ?19 ? ?13 ? k ? ? ?12 ? k ? ? ? 0 ?1? ? ? k ? 6?


13 ? k 7?k ? ?14 ? k ? ? ? ? k ? 6 ? ? 102 2 2

解得: k ? 2或k ? 5 , 故选:B 【 思 路点 拨】 根 据数 列的 通 项公 式, 去 绝对 值符 号 ,因 此对 k 进 行 讨 论, 进 而求 得

ak ? ak ?1 ?

? ak ?19 的表达式,解方程即可求得结果。

选择题答题卡
题 号 答 案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 11.复数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分

2 ? 2i ? ____________ 1? i
L4

【知识点】复数的除法运算 【答案解析】 ?2i 解析:

2 ? 2i ? 2 ? 2i ??1 ? i ? 2 ? 4i ? 2i 2 ? ? ? ?2i , 1? i 2 ?1 ? i ??1 ? i ?

故答案为: ?2i 【思路点拨】运用复数的除法法则化简即可。 12.已知圆柱 ? 的吗,母线长为 l ,底面半径为 r , O 是上底面圆心, A, B 是下底面圆周上 两个不同的点,BC 是母线, 如图, 若直线 OA 与 OB 所成角的大小为

?
6

, 则

1 ? __________ r

【知识点】异面直线及其所成角 G3 【答案解析】 3 解析:如图,过 A 作与 BC 平行的母线 AD,连接 OD,则∠OAD 为直线

OA 与 BC 所成的角,大小为

?
6



在直角三角形 ODA 中,因为∠ OAD= 故答案为: 3

?
6

,所以

l ? ? cot ? 3 , r 6

【思路点拨】 :过 A 作与 BC 平行的母线 AD,由异面直线所成角的概念得到∠OAD=

?
6



在直角三角形 ODA 中,直接由

l ? 1 ? cot 即可计算出 。 r 6 r

13.若 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ? 【知识点】向量的数量积运算;三角形面积公式 【答案解析】

?
6

时, ?ABC 的面积是_____________. F3 C8

1 6

解析:在 ?ABC 中

AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? tan A A?

?
6

3 3 ? 2 3 2 ? AB ? AC ? 3 1 1 2 1 1 ? S ?ABC ? AB ? AC ? sin A ? ? ? ? , 2 2 3 2 6 ? AB ? AC ?
故答案为:

1 6 2 ,再根据三角形面积 3

【思路点拨】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得 AB ? AC ? 公式 S ?ABC ?

1 AB ? AC ? sin A 计算结果。 2

14.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 上的点到直线 l 的距离,已知曲 线 C1 : y ? x 2 ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线 C2 : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 2 到直线 l : y ? x 的
2

距离,则实数 a ? ______________. 【知识点】点到直线的距离;用导数求切线方程 H2 B11 【答案解析】

9 4

解析:曲线 C2 : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 2 到直线 l : y ? x 的距离为圆心到直线的
2

距离与圆的半径之差,即 d ?r ?

?4 2

? 2 ? 2 , 由 y ? x2 ? a 可 得 y ' ? 2 x , 令

y ' ? 2 x ? 1 ,则 x ?

1 ?1 1 ? .在曲线 C1 上对应的点 p ? , ? a ? ,所以曲线 C1 到直线 l 的距离即 2 ?2 4 ?

1 1 1 1 ? ?a ?a ?a 2 4 4 4 ?1 1 ? ? ? 2 ,可得 为点 p? , ? a? 到直线的距离,故 ,所以 2 2 2 ?2 4 ?
| a ? ? 或a ?

7 4

9 7 7 , 当 a ? ? 时, 曲线 C1 : y ? x 2 ? 与直线 l : y ? x 相交, 两者距离为 0, 4 4 4

不合题意,故 a ? 故答案为:

9 . 4

9 4
2

【思路点拨】先根据定义求出曲线 C2 : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,然后根据 曲线 C1 : y ? x 2 ? a 的切线与直线 y ? x 平行时,该切点到直线的距离最近建立等式关系, 解之即可. 15.已知在平面直角坐标系中有一个点列: P 1 ? 0,1? , P 2 ? x2 , y2 ? , 点 Pn ? xn , yn ? 到点 Pn ?1 ? xn ?1 , yn ?1 ? 的变化关系为: ? 于_______________. 【知识点】数列的递推关系式;合情推理 D1 【答案解析】 2
1006

, Pn ? xn , yn ? ? n ? N * ? 。若

? xn ?1 ? yn ? xn (n ? N * ) , 则 P2013 P 2014 等 ? yn ?1 ? yn ? xn

M1

解析:由题意知: P 1 ? 0,1? , P 2 ?1,1? , P 3 ? 0, 2 ? , P 4 ? 2, 2 ? , P 5 ? 0, 4 ? ,

?P 2, P3 P4 ? 2, P4 P5 ? 2 2, 1P 2 ? 1, P 2P 3 ?
? P2013 P2014 ?
故答案为: 2

? 2?

2012

? 21006 ,

1006

【思路点拨】由题意知: P 1 ? 0,1? , P 2 ?1,1? , P 3 ? 0, 2 ? , P 4 ? 2, 2 ? , P 5 ? 0, 4 ? , 即可求出 P2013 P2014 。

,寻找其规律,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? 且图像上相邻两个最高点的距离为 ? 。 (1)求 ? 和 ? 的值; (2)若 f ( ) ?

? ?

?
2

?? ?

??

? 的图像关于直线 x ? 对称, 3 2?

?

?

2

3 ?? 2? ? ?? ? 4 ?6 3

3? ? ? ? ,求 cos ? ? ? 2 ? ?

? ? 的值。 ?
C2

【知识点】函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ? 的性质;诱导公式、两角和与差的正余弦公式 C4 C5 【答案解析】

解: (1)由题意可得函数, f ( x) 的最小正周期为 ? ,? 再根据函数的图像关于直线 x ? 结合 ?

2?

?

?
2

?? ?

?
2

,可得 ? ? ?

?

3

对称,可得 2 ? ,

?
3

?

? ? ,?? ? 2 ,

? ? ? k? ?

?
2

,k ?Z ,

6

2)

? 3 ?? 2? ? f( )? ? ?? ? ? 2 4 ?6 3 ?

?? 3 ?? 1 ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? ,? sin ? ? ? ? ? , 6? 4 6? 4 ? ?
再根据0 ? ? ?

?
6

?

?
2

,

?? ?? 15 ? ? ? cos ? ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? ? , 6? 6? 4 ? ?
3? ? ? cos ? ? ? 2 ? ?? ?? ?? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 6 ? 6? ? ??

?? ? ?? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin 6? 6 6? 6 ? ?
1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? ? ? 4 2 4 2 8
【思路点拨】 (1)由题意可得函数, f ( x) 的最小正周期为 ? ,可得 ? ? 2 ,再根据函数的图 像关于直线 x ?

?
3

对称,结合 ?

?
2

?? ?

?
2

,可得 ? ? ?

?
6



(2)由条件可得 sin ? ? ?

? ?

??

? 1 ?? ? ? ? ,再根据 ? ? 的范围求得 cos ? ? ? ? 的值,然后 6 6? 4 6? ?

由 cos ? ? ?

? ?

3? 2

?? ?? ?? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ,利用两角和的正弦公式求得结果。 6 ? 6? ? ??

17. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 , AA1 ? 3, AC ? BC ? 2, D为AB 的中点,

E为BB1 上一点,且
(1)当 ? ?

BE ?? EB1

2 时,求证: CE ? 平面A1C1 D ; 7

(2)若直线 CE 与平面 A1 DE 所成的角为 30 ,求 ? 的值。

【知识点】线面垂直的判定;直线与平面所成的角 G5 G11 【答案解析】 解: (1)证明:建立空间直角坐标系如图所示: 则 C ? 0, 0, 0 ? , A ? 2, 0, 0 ? , B ? 0, 2, 0 ? , A1 ? 2, 0,3 ? , B1 ? 0, 2,3 ? , C1 ? 0, 0,3 ? , D ?1,1, 0 ?

2? ? ? ? 2? ? ? CE ? ? 0, 2, ? , 3? ? 2

? ? ,? E ? 0, 2, ? , 7 3

又C1 A1 ? ? 2, 0, 0 ? , C1 D ? ?1,1, ?3? ? CE ? C1 A1 ? 0, CE ? C1 D ? 0 ? CE ? 平面A1C1 D

(2)解: 由题意知:E ? 0, 2,

? ?

3? ? 3? ? 3? ? ? ? ? , CE ? ? 0, 2, ? , A1 D ? ? ?1,1, ?3? , DE ? ? ?1,1, ? 1? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ?

3? 3? ? ? ? 平面 A1 DE 的一个法向量为 n ? ? 3 ? ,3 ? ,0? , 1? ? ? ? 1? ?

?

n ? CE n CE

?

1 2



1 3? ? 2 ? 3? ? ? 4+ ? ? 2 3+ ? ? ? ? 1+? ? ? 1+? ? 解得? =2
2

3? ? ? 2 ? 3+ ? ? 1+? ?

=

【思路点拨】 (1)建立空间直角坐标系,证明 CE ? C1 A1 ? 0, CE ? C1 D ? 0 ,即可证明 CE⊥ 平面 A1C1D; (Ⅱ)求出平面 A1DE 的一个法向量,直线 CE 的向量,根据直线 CE 与平面 A1DE 所成的角 为 30°,利用向量的夹角公式,即可求 λ 的值. 18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 3 x ? a ? 0 ?
3 2

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,求 a 的取值范围。

【知识点】 利用导数研究函数的单调性; 函数单调性的判断与证明; 函数单调性的性质 B12 【答案解析】
2 解: (1)函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 3 x ? a ? 0 ? ,? f '( x) ? 3ax ? 6 x ? 3 ,

B3

3

2

令 f '( x) ? 0, 即3ax ? 6 x ? 3 ? 0, 则? ? 36 ?1 ? a ? ,
2

①当 a ? 1 时, ? ? 0, f '( x) ? 0,? f ( x) 在 R 上是增函数; ②当 a ? 1且a ? 0 时, ? ? 0, f '( x) ? 0 有两个根, x1 ?

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , , x2 ? a a

当 0 ? a ? 1 时,则当 x ? ? ??, x2 ? 或x ? ? x1 , ?? ? 时, f '( x) ? 0 , 当 x ? ? x1 , x2 ? 时,f '( x) ? 0 , 故 函 数 f ( x) 在 ? ??, x2 ? 或x ? ? x1 , ?? ? 上 是 增 函 数 , 在

? x1 , x2 ? 上是减函数;
当 a ? 0 时,则当 x ? ? ??, x2 ? 或x ? ? x1 , ?? ? 时, f '( x) ? 0 , 当 x ? ? x1 , x2 ? 时,f '( x) ? 0 , 故 函 数 f ( x) 在 ? ??, x2 ? 或x ? ? x1 , ?? ? 上 是 减 函 数 , 在

? x1 , x2 ? 上是增函数。
(2)当 a ? 0, x ? 0 时, f '( x) ? 3ax ? 6 x ? 3 ? 0
2

故 a ? 0 时, f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数, 当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数, 当且仅当: f '(1) ? 0且f '(2) ? 0 ,即有 3a ? 9 ? 0且12a ? 15 ? 0 ,解得 ? 故 a 的取值范围是: ? ?

5 ?a?0, 4

? 5 ? ,0? ? 4 ?

? 0, ?? ?

【思路点拨】 (1)求出函数的导数,通过导数为 0,利用二次函数的根,通过 a 的范围讨论

f ( x) 的单调性;
(2)当 a ? 0, x ? 0 时, f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上 是增函数,推出 f '(1) ? 0且f '(2) ? 0 ,即可求 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? m ? log a x ? a ? 0且a ? 1? 的图像过点 ? 8, 2 ? ,点 P ? 3, ?1? 关于直线

x ? 2 的对称点 Q 在 f ( x) 的图像上。
(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)令 g ( x) ? 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ,求 g ( x) 的最小值及取得最小值时 x 的值。 【知识点】点关于直线的对称点;函数的最值 H2 B3 H6 【答案解析】 解: (1)点 P ? 3, ?1? 关于直线 x ? 2 的对称点 Q 的坐标为: (1, ?1) ,结合题设可知:

?m ? log a 8 ? 2 ? f (8) ? 2 ,即 ? ,解得: m ? ?1, a ? 2 , ? ? f (1) ? ?1 ?m ? log a 1 ? ?1
故函数 f ( x) 的解析式为: f ( x) ? ?1 ? log 2 x (2)g ( x) ? 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ? ?1 ? log 2 x ? ? ? ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? ? log 2

x2 ? 1 ? x ? 1? , x ?1

? x ? 1? ? 2 ? x ? 1? ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 x2 ? ? ? x ?1 x ?1 x ?1
2

? x ? 1? ?

1 ? 2 ? 4, x ?1

当且仅当 x ? 1 ?

1 , 即x ? 2时," ? " 成立, x ?1

而函数在 y ? log 2 x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,则 log 2 故当 x ? 2 时,函数 g ( x) 取得最小值 1.

x2 ? 1 ? log 2 4 ? 1 ? 1 , x ?1

【思路点拨】 (1)首先求出点 P 关于直线 x ? 2 的对称点,然后把点(8,2)和 P 的对称点 的坐标代入函数 f ( x) 的解析式联立解方程组可求 f ( x) 的解析式; (2) 把 f ( x) 的解析式代入函数 g ( x) ? 2 f ( x) ? f ( x ? 1) , 整理后把得到的函数中对数式的 真数运用基本不等式求出最小值,然后借助于对数函数的单调性可求函数 g ( x) 的最小值.

20. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若对任意的正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 S n ? am , 则称 ?an ? 是“ ? 数列” 。 (1)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n n ? N * ,证明: ?an ? 是“ ? 数列” ;

?

?

(2)设 ?an ? 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ?an ? 是“ ? 数列” ,求 d 的值; ( 3 )证明:对任意的等差数列 ?an ? ,总存在两个“ ? 数列” ?bn ? 和?cn ? ,使得

an ? bn ? cn ? n ? N * ? 成立。
【知识点】数列的应用;等差、等比数列 D1 【答案解析】 D2

解:当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 2n ?1 ? 2n ?1 , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 , 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ,当 n ? 2 时, S n ? an ?1 ,

??an ? 是“ ? 数列” 。
(2) S n ? na1 ?

n ? n ? 1? n ? n ? 1? d ? n? d, 2 2

n ? n ? 1? d ? 1 ? ? m ? 1? d , 2 1 取n ? 2, 得1 ? d ? ? m ? 1? d , 解得:m ? 2 ? , d d ? 0,? m ? 2, 对?n ? N * , ?m ? N * , 使S n ? am , 即n ? 又m ? N * ,? m ? 1,? d ? ?1
(3)设 ?an ? 的公差为 d ,令 bn ? a1 ? ? n ? 1? a1 ? ? 2 ? n ? a1 ,

对?n ? N * , bn ?1 ? bn ? ?a1 , cn ? ? n ? 1?? a1 ? d ? , 对n ? N * , cn ?1 ? cn ? a1 ? d ,

则bn ? cn ? a1 ? ? n ? 1? d ? an ,
且数列 ?bn ? 和?cn ? 是等差数列, 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? na1 ?

n ? n ? 1? ? ?a1 ? , 2

令 Tn ? ? 2 ? m ? a1 , 则m ?

n ? n ? 3? ? 2, 2

当 n ? 1时,m ? 1;当n ? 2时, m ? 1 ,

当 n ? 3 时,由于 n与n ? 3 的奇偶性不同,即 n ? n ? 3? 为非负偶数, n ? N * 。 因此对 ?n ? N * ,都可以找到 m ? N * ,使 Tn ? bm ,即 ?bn ? 为“ ? 数列” , 数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn ?

n ? n ? 1? ? a1 ? d ? , 2 n ? n ? 1? ?1, 2

令 cm ? ? m ? 1?? a1 ? d ? ? Rn , 则m ?

对?n ? N * , n ? n ? 1? 为非负偶数,? m ? N * 。
因此对 ?n ? N * ,都可以找到 m ? N * ,使 Rn ? cm ,即 ?cn ? 为“ ? 数列” 。 因此命题得证。 【思路点拨】 (1)利用 an ? ? 可证出 ?an ? 是“ ? 数列” . (2)利用等差数列的前 n 项和即可得出 S n ,对? n∈N*,? m∈N*使 S n ? bn ,取 n ? 2 根 据 d ? 0 即可得出; (3) 设 ?an ? 的公差为 d , 构造数列:bn ? a1 ? ? n ? 1? a1 ? ? 2 ? n ? a1 ,cn ? ? n ? 1?? a1 ? d ? , 可证明 ?bn ? 和 ?cn ? 是等差数列.再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、“H 数列” 的意义即可得出结论. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

n ?1 ? S1 , n?2 ? S n ? S n ?1

即可得到 an ,再利用“H”数列的意义即

ln x ? k (其中k ? R ), f '( x)为f ( x) 的导函数。 ex

(1)求证:曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线不过点 ? 2, 0 ? ; (2)若在区间 ? 0,1? 中存在 x0 ,使得 f '( x0 ) ? 0 ,求 k 的取值范围; (3)若 f '(1) ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0, f '( x) ?

e ?2 ? 1 恒成立。 x2 ? x

【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式恒成立 问题 B11 B12 E8 【答案解析】 解:(1)由 f ( x) ?

ln x ? k 1 ? kx ? x ln x 得 f ' ( x) ? , x ? (0, ??) , x e xe x

所以曲线 y= f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线斜率为 f ' (1) ?

k k 1? k ,? 曲线 y= f ( x) 切线方程为 y ? ? ( x ? 1) , e e e k 1? k 假设切线过点(2,0),代入上式得: 0 ? ? (2 ? 1) ,得到 0=1 产生矛盾,所以假设错误, e e f (1) ?
故曲线 y= f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线不过点(2,0) (2)由 f ' ( x0 ) ? 0 得 k ?

1? k , e

1 ? x0 ln x0 x0 x0 ? 1 ? 0 ,所以 k ( x0 ) 在(0,1]上单调递减,故 k ? 1 x0 2
'

0 ? x0 ? 1 ,? k ' ? ?
2

(3)令 g ( x) ? ( x ? x) f ( x) ,当 x0 =1 时, k ? 1 , 所以 g ( x) ?

x ?1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) .. ex
?2

ex 因此,对任意 x ? 0 , g ( x) ? e ? 1 等价于 1 ? x ? x ln x ? (e ?2 ? 1) . x ?1
由 h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) .所以 h ( x) ? ? ln x ? 2, x ? (0, ??) .
'

因此,当 x ? (0, e ) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 单调递增; x ? (e , ??) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 单调递
' '

?2

?2

减. 所以 h( x) 的最大值为 h(e ) ? e 设 ? ( x) ? e ? ( x ? 1) ,
x ?2 ?2

? 1 ,故 1 ? x ? x ln x ? e ?2 ? 1 .

? ' ( x) ? e x ? 1 ,所以 x ? (0, ??) 时 ? ' ( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增, ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,
故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e ? ( x ? 1) ? 0 ,即
x

ex ? 1. x ?1

所以 1 ? x ? x ln x ? e

?2

?1 ?

ex (e ?2 ? 1) . x ?1

e ?2 ? 1 因此,对任意 x ? 0 , f ( x) ? 2 恒成立 x ?x
'

【思路点拨】 (1)求出曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程,代入点 ? 2, 0 ? 验证,即 可得出结论;

(2)由 f ' ( x0 ) ? 0 得 k ?
2

1 ? x0 ln x0 ,确定其单调性,可求 k 的取值范围; x0
' ?2

(3)令 g ( x) ? ( x ? x) f ( x) ,对任意 x ? 0 , g ( x) ? e

? 1 等价于

1 ? x ? x ln x ?

ex (e ?2 ? 1) ,再构造函数,研究单调性,即可证明结论. x ?1


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