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高二排列组合


高二排列、组合与二项式定理
选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若从集合 P 到集合 Q={a,b,c}所有不同的映射共有 81 个,则从集合 Q 到集合 P 可作的不 同的映射共有( A.32 个 ) B.27 个 C.81 个 D.64 个

2.某班举行联欢会,原定的五个节目已排出节目单,演出前又增加了两个节目

,若将这两 个节目插入原节目单中,则不同的插法总数为( A.42 B.36 C.30 ) D.12

3.全班 48 名学生坐成 6 排,每排 8 人,排法总数为 P,排成前后两排,每排 24 人,排法 总数为 Q,则有( A.P>Q ) B.P=Q C.P<Q D.不能确定 )种

4.从正方体的六个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( A.8 B.12 C.16 D.20

5.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配 方案共有(
4 4 4 A. C12 C8 C4


4 4 4 B. 3C12 C8 C4 4 4 4 3 C. C12 C8 C4 A3

D.

4 4 C12 C84 C4 3 A3

6.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙, 现有编号为 1~6 的六种不同花色的装饰石材可选择, 其中 1 号石材有微量的放射性, 不可用于办公室内,则不同的装饰效果有( A.350 B.300 )种 C.65 D.50 )种

7.有 8 人已站成一排,现在要求其中 4 人不动,其余 4 人重新站位,则有( 重新站位的方法 A.1680 B.256 C.360 D.280

8.一排九个坐位有六个人坐,若每个空位两边都坐有人,共有( )种不同的坐法 A.7200 B.3600 C.2400 D.1200 9.在(

1 1 ? 3 )n 的展开式中,所有奇数项二项式系数之和等于 1024,则中间项 的二 x x
) B. 330
7 3

项式系数是 ( A. 462

C.682
2 5

D.792

10.在(1+ a x) 的展开式中,x 项的系数是 x 项系数与 x 项系数的等比中项,则 a 的值为 ( A. )

10 5

B.

5 3

C.

25 9

D.

25 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.某公园现有 A、B、C 三只小船,A 船可乘 3 人,B 船可乘 2 人,C 船可乘 1 人,今有 三个成人和 2 个儿童分乘这些船只(每船必须坐人) ,为安全起见,儿童必须由大人陪同方 可乘船,他们分乘这些船只的方法有_____________种。 12. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如 98765),若把所有的五位渐减数 按从小到大的顺序排列,则第 20 个数为____________。 13. (理)某民航站共有 1 到 4 四个入口,每个入口处只能进 1 人,一个小组 4 个人进站的方 案数为____________。 (文)体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1、2、3 的三个箱子里,要求每个箱子放球 的个数不少于其编号,则不同的放法有_____________种。 14.(文)若 (1 ? 2x) 2005 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2005 x 2005 ( x ? R ) , 则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? ? (a0 ? a2005 ) = (用数字作答) 。

(理)甲、乙、丙三人传球,第一次球从甲手中传出,到第六次球又回到甲手中的传递 方式有_________种 15.在 (1 ? x) 3 ? (1 ? x) 4 ? ? ? (1 ? x) 2005 的展开式中, x 的系数为______________。
3

三.解答题(本大题共 6 题,共 80 分) 16. (本题满分 12 分)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 (1) 可组成多少个不同的自然数? (2)可组成多少个无重复数字的五位数? (3) 组成多少个无重复数字的五位奇数? (4) 可组成多少个无重复数字的能被 5 整除的五位数? (5) 可组成多少个无重复数字的且大于 31250 的五位数? (6) 可组成多少个无重复数字的能被 3 整除的五位数?

17(本题满分 12 分)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种,现在餐厅准备了五种不同的荤菜,若要保证每位顾客有 200 种以上不同选 择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种?(要求写出必要的解答过程)

18. (本题满分 12 分)已知 (1 ? 2x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 , 求(1) a0 ? a1 ? ? ? a7 的值(2) a0 ? a2 ? a4 ? a6 及 a1 ? a3 ? a5 ? a7 的值; (3)各项二项式系数和。

19.(本题满分 14 分)证明: (1) 2 ? (1 ? (2)证明:对任意非负整数 n , 3
3n

1 n ) ? 3 ,其中 n ? N * ; n

? 26n ? 1可被 676 整除。

20. (本题满分 14 分)已知 m, n 是正整数, f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式
m n

中 x 的系数为 7, (1) 试求 f (x) 中的 x 的系数的最小值 (2) 对于使 f (x) 的 x 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 的系数
2 3 2

) (3) 利用上述结果,求 f (0.003 的近似值(精确到 0.01)

21。 (本题满分 16 分)规定 C x ?
m

x( x ? 1) ? ( x ? m ? 1) , 其中 x ? R, m是正整数, m!

0 且 Cx ? 1这是组合数 n (n, m是正整数,且 ? n)的一种推广, Cm m 5 (1) 求 C?15 的值, m n m m m ( 2 ) 组 合 数 的 两 个 性 质 : Cn ? Cn ?m ; Cn ? Cn ?1 ? Cn?1 是 否 都 能 推 广 到 m 则写出推广的形式并给予证明, 或不能则说明理由 Cx ( x ? R, m ? N * ) 的情形?若能推广, m m (3) 已知组合数 C n 是正整数,证明:当 x ? Z , m 是正整数时, Cx ? Z

株洲市十七中高二排列、组合与二项式定理测试卷参考答案
一:选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) (1). D (2). A (3). B (4). B (5). A (6). B (7). D (8). A (9). A (10). C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) (11). 18 (12). 76542 (13). (理)840(文)10 (14). (文)2003 (理)22 三.解答题(本大题共 6 题,共 80 分) 16. (1)解:可组成 6+5 ? 6 ? 5 ? 6 ? 5 ? 6 ? 5 ? 6 ? 5 ? 6 =46656 个不同的自然数
2 3 4 5

4 (15). C2006

1 5 5 3 (2)可组成 A5 ? A5 或A6 ? A4 ? 600个无重复数字的五位数 1 1 3 (3)可组成 A3 ? A4 ? A4 ? 288个无重复数字的五位奇数 4 4 3 (4)可组成 A5 ? ( A5 ? A4 ) ? 216个无重复数字的能被 5 整除的五位数 4 3 2 (5)可组成 2 A5 ? 3A4 ? 2 A3 ? 1 ? 325个无重复数字的且大于 31250 的五位数? 5 4 4 (6)可组成 A5 ? ( A5 ? A4 ) ? 216个无重复数字的能被 3 整除的五位数? 2 17.解:在 5 种不同的荤菜中取出 2 种的选择方式应有 C5 ? 10 种,设素菜为 x 种,则 2 2 C x ? C5 ? 200解得 x ? 7 ,

? 至少应有 7 种素菜
18.令 x ? 1 ,则 a0 ? a1 ? ?a7 ? ?1 令 x ? ?1 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a6 ? a7 ? 2187 令 x ? 0 ,则 a0 ? 1 于是 a1 ? a2 ? a3 ? ?a7 ? ?2

a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ?1094; a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? 1093
各项二项式系数和 C7 ? C7 ? ? ? C7 ? 2 ? 128
0 1 7 7

19. (1)证明: (1 ? 当 n ? 1 时, (1 ? 当 n ? 2 时;

1 n 1 1 2 1 ) ? 1 ? C n ? ? C n ( ) 2 ? ? ? 2 (当且仅当 n ? 1 时取等号) n n n

1 n ) ? 2 ? 3 显然成立 n

1 1 1 0 1 1 2 n (1 ? ) n ? C n ? C n ? ? C n ? 2 ? ? ? C n ? n ? n n n n n(n ? 1) 1 n(n ? 1)( n ? 2) 1 n(n ? 1) ? 2 ? 1 1 2? ? ??? 2 3 2! n 3! n! n nn 1 n n ?1 1 n n ?1 n ? 2 1 n n ?1 2 1 1 1 1 ? 2? ? ??? ? ? 2 ? ? ?? 2! n n 3! n n n n! n n nn 2! 3! n!

? 2?

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 3? ? 3 2 2 3 n ?1 n n 1 n * 综上所述: 2 ? (1 ? ) ? 3 ,其中 n ? N n
(2)证明:当 n ? 0, n ? 1 时 3
3n 当 n ? 2 时, 3 ? 26n ? 1= 3n

? 26n ? 1=0,显然 676| (33n ? 26n ? 1)

2 n 27n ? 26n ? 1 ? (1 ? 26) n ? 26n ? 1 ? 1 ? 26n ? Cn ? 262 ? ? ? Cn ? 26n ? 26n ? 1 2 3 n 2 3 n ? Cn ? 262 ? Cn ? 263 ? ?Cn 26n = 676(Cn ? 26Cn ? ? ? 26n?2 Cn ) ? 0(mod676)
3n

综上所述:676| (3

? 26n ? 1)

(n ? N )
(1)

1 1 20.解:根据题意得: Cm ? Cn ? 7 ,即 m ? n ? 7

2 2 x 2 的系数为 C m ? C n ?

m(m ? 1) n(n ? 1) m 2 ? n 2 ? m ? n ? ? 2 2 2
2

2 将(1)变形为 n ? 7 ? m 代入上式得: x 的系数为 m ? 7 m ? 21 ? (m ? ) ?
2

7 2

35 4

x 故当 m ? 3或4时, 的系数的最小值为 9
2

3 3 x (2) 当 m ? 3, n ? 4或m ? 4, n ? 3时, 的系数为为 C3 ? C4 ? 5
3

(3)

f (0.003) ? 2.02
5

21.解: (1) C ?15 ?
m

(?15)( ?16) ? (?19) 5 ? ?C19 ? ?11628 5!
n ?m

(2)性质: Cn ? Cn

不能推广,例如 x ?

2 时, C 1 2 有定义,但 C

2 ?1 无意义; 2

m m m m m m 性质: Cn ? Cn ?1 ? Cn?1 能推广,它的推广形式为 Cx ? Cx ?1 ? Cx?1 , x ? R, m ? N * ,

证明如下:
0 当 m ? 1 时,有 C1 ? Cx ? x ? 1 ? C1?1 ; x x

当 m ? 2 时,有 C x ? C x
m

m ?1

?

x( x ? 1) ?( x ? m ? 1) x( x ? 1) ?( x ? m ? 2) ? m! (m ? 1)!

?

x( x ? 1) ?( x ? m ? 2) x ? m ? 1 x( x ? 1) ?( x ? m ? 2)(x ? 1) m ( ? 1) ? ? C x ?1 (m ? 1)! m m!

m (4) 当 x ? m 时,组合数 Cx ? Z ;

当 x ? 0 时,? ? x ? m ? 1 ? 0
m ?Cx ?

x( x ? 1) ? ( x ? m ? 1) (? x ? m ? 1) ? (? x ? 1)( ? x) m ? (?1) m ? (?1) m C ? x ? m ?1 ? Z m! m!


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