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河北省石家庄市正定中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


河北省石家庄市正定中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学试 卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给的四个选项中,只 有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.) 2 1.已知集合 A={x|x ﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2

,4) 2.两直线(2m﹣1)x+y﹣3=0 与 6x+my+1=0 垂直,则 m 的值为( A. 0 B. C. ) D. 0 或

3.已知不重合的直线 m、l 和平面 α、β,且 m⊥α,l?β.给出下列命题,其中正确命题的 个数是( ) ①若 α∥β,则 m⊥l; ②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α∥β; ④若 m∥l,则 α⊥β. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )

A. 2+

B. 4+

C. 2+2

D. 5

5.已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=(



A. 3

B. 2

C. ﹣2

D . ﹣3

6.设 a,b,c 均为正数,且 2 = A. a<b<c B. c<b<a

a



, C. c<a<b

,则( D. b<a<c



7.将函数 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到 的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) A. B. C.
2

D.
2

8.一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y﹣2) =1 相切,则反 射光线所在直线的斜率为( ) A. ﹣ 或﹣ B. ﹣ 或﹣ C. ﹣ 或﹣ D. ﹣ 或﹣

9.已知数列{an}满足 a2=102,an+1﹣an=4n, (n∈N ) ,则数列 A. 25 B. 26 C. 27

*

的最小值是( D. 28



10.三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,又 SA=AB=BC=1,则球 O 的表面积为( ) A. B.
*

C . 3π

D. 12π
*

11.已知数列{an}满足:an=logn+1(n+2) (n∈N ) ,定义使 a1?a2?a3…ak 为整数的数 k(k∈N ) 叫做企盼数,则区间[1,2011]内所有的企盼数的和为( ) A. 1001 B. 2030 C. 2026 D. 2048

12.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 小值为( A. ) B. C. D.

的最

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案写在答题纸上.) 13.设向量 满足 , ,则 = .

14.在△ ABC 中,a=4,b=5,c=6,则

=



15.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 A1B1 的中点,则直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值 .

16. 数列

的前 80 项的和等于



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17.设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直线 x﹣y+1=0 相交 的弦长为 2 ,求圆的方程. 18.设 f(x)=sinxcosx﹣cos (x+ (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=0,a=1,求△ ABC 面积的最大值. 19. 如图, 四面体 ABCD 中, O、 E 分别是 BD、 BC 的中点, CA=CB=CD=BD=2, AB=AD= (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离. .
2

) .

20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4.设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

21.如图,在三棱台 DEF﹣ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面 FGH; (Ⅱ)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面 FGH 与平面 ACFD 所 成的角(锐角)的大小.

22.数列{an}满足 a1=2,an+1=an +6an+6(n∈N ) . (1)设 Cn=log5(an+3) ,求证{Cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<﹣ .

2

*

河北省石家庄市正定中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给的四个选项中,只 有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.) 2 1.已知集合 A={x|x ﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4) 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出集合 A,然后求出两个集合的交集. 2 解答: 解:集合 A={x|x ﹣4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4}, 则 A∩B={x|2<x<3}=(2,3) . 故选:C. 点评:本题考查集合的交集的求法,考查计算能力. 2.两直线(2m﹣1)x+y﹣3=0 与 6x+my+1=0 垂直,则 m 的值为( A. 0 B. C. ) D. 0 或

考点:直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:直线与圆. 分析:根据两直线垂直时,一次项对应系数之积的和等于 0,解方程求得 m 的值. 解答: 解:∵(2m﹣1)x+y﹣3=0 与 6x+my+1=0, ∴6(2m﹣1)+m=0,解得 m= ,

故选:C. 点评:本题主要考查两直线垂直的性质,两直线垂直时,一次项对应系数之积的和等于 0, 属于基础题. 3.已知不重合的直线 m、l 和平面 α、β,且 m⊥α,l?β.给出下列命题,其中正确命题的 个数是( ) ①若 α∥β,则 m⊥l; ②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α∥β; ④若 m∥l,则 α⊥β. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;空间位置关系与距离.

分析:根据有关定理中的诸多条件,对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定, 将由条件可能推出的其它的结论也列举出来. 解答: 解:若 α∥β,且 m⊥α?m⊥β,又 l?β?m⊥l,所以①正确. 若 α⊥β,且 m⊥α?m∥β,又 l?β,则 m 与 l 可能平行,可能异面,所以②不正确. 若 m⊥l,且 m⊥α,l?β?α 与 β 可能平行,可能相交.所以③不正确. 若 m∥l,且 m⊥α?l⊥α 又 l?β?α⊥β,∴④正确. 故选:B. 点评:本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关 系,属于中档题. 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )

A. 2+

B. 4+

C. 2+2

D. 5

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图可判断直观图为: A⊥面 ABC, AC=AB, E 为 BC 中点, EA=2, EA=EB=1, OA=1, :BC⊥面 AEO,AC= ,OE= 判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积. 解答: 解:根据三视图可判断直观图为: OA⊥面 ABC,AC=AB,E 为 BC 中点, EA=2,EC=EB=1,OA=1, ∴可得 AE⊥BC,BC⊥OA, 运用直线平面的垂直得出:BC⊥面 AEO,AC= ,OE= ∴S△ ABC= S△ BCO= 2×2=2,S△ OAC=S△ OAB= 2× = . , ×1= .

故该三棱锥的表面积是 2 故选:C.

点评:本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直观 图,得出几何体的性质.

5.已知 x,y 满足约束条件

,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=(



A. 3

B. 2

C. ﹣2

D . ﹣3

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 利用数形结合确定 z 的最 大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 则 A(2,0) ,B(1,1) , 若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2, 此时,目标函数为 z=2x+y, 即 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 4,满足条件, 若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3, 此时,目标函数为 z=3x+y, 即 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为﹣6,不满足条件, 故 a=2, 故选:B

点评:本题主要考查线性规划的应用, 结合目标函数的几何意义, 利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.

6.设 a,b,c 均为正数,且 2 = A. a<b<c B. c<b<a

a



, C. c<a<b

,则( D. b<a<c



考点:对数值大小的比较. 专题:数形结合. 分析:比较大小 可以借助图象进行比较,观察题设中的三个数 a,b,c,可以借助函数图 象的交点的位置进行比较. 解答: 解:分别作出四个函数 y= y=2 ,y=log2x 的图象,观察它们的交点情况. 由图象知: ∴a<b<c. 故选 A.
x



点评:本题考点是对数值大小的比较,本题比较大小时用到了对数函数和指数函数的图象, 比较大小的题在方法上应灵活选择,依据具体情况选择合适的方法.

7.将函数 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到 的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) A. B. C. D.

考点:两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:函数解析式提取 2 变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于 y 轴对称,即可求出 m 的最小值. 解答: 解:y= cosx+sinx=2( cosx+ sinx)=2sin(x+ ) , ]=2sin(x+m+ ) ,

∴图象向左平移 m(m>0)个单位长度得到 y=2sin[(x+m)+ ∵所得的图象关于 y 轴对称, ∴m+ =kπ+ (k∈Z) , .

则 m 的最小值为

故选 B 点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,熟 练掌握公式是解本题的关键. 8.一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y﹣2) =1 相切,则反 射光线所在直线的斜率为( ) A. ﹣ 或﹣ B. ﹣ 或﹣ C. ﹣ 或﹣ D. ﹣ 或﹣
2 2

考点:圆的切线方程;直线的斜率. 专题:计算题;直线与圆. 分析:点 A(﹣2,﹣3)关于 y 轴的对称点为 A′(2,﹣3) ,可设反射光线所在直线的方程 为:y+3=k(x﹣2) ,利用直线与圆相切的性质即可得出. 解答: 解:点 A(﹣2,﹣3)关于 y 轴的对称点为 A′(2,﹣3) , 故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2) ,化为 kx﹣y﹣2k﹣3=0. 2 2 ∵反射光线与圆(x+3) +(y﹣2) =1 相切, ∴圆心(﹣3,2)到直线的距离 d= 化为 24k +50k+24=0, ∴k= 或﹣ .
2

=1,

故选:D. 点评:本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、 对称点,考查了计算能力,属于中档题.

9.已知数列{an}满足 a2=102,an+1﹣an=4n, (n∈N ) ,则数列 A. 25 B. 26 C. 27

*

的最小值是( D. 28



考点:数列递推式;数列的函数特性. 专题:综合题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析:利用累加法可求得 an,表示出 后利用基本不等式可求得其最小值,注意求通项时

验证 n=1 的情形. 解答: 解:由 an+1﹣an=4n 得, a3﹣a2=8,a4﹣a3=12,a5﹣a4=16,…,an﹣an﹣1=4(n﹣1) , 以上各式相加得, an﹣a2= 而 a2﹣a1=4,所以 a1=a2﹣4=98,适合上式, 故 an=102+(n﹣2) (2n+2) (n∈N*) , = 当且仅当 所以数列 即 n=7 时取等号, 的最小值是 26, ﹣2=26, , 所以 an=102+ (n﹣2) (2n+2) (n≥2) ,

故选 B. 点评:本题考查由数列递推式求数列通项、 基本不等式求最值, 考查学生综合运用知识解决 问题的能力. 10.三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,又 SA=AB=BC=1,则球 O 的表面积为( ) A. B. C . 3π D. 12π

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;球. 分析:根据题意,三棱锥 S﹣ABC 扩展为正方体,正方体的外接球的球心就是正方体体对 角线的中点,求出正方体的对角线的长度,即可求解球的半径,从而可求三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积. 解答: 解:三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC, 又 SA=AB=BC=1, 三棱锥扩展为正方体的外接球,外接球的直径就是正方体的对角线的长度, ∴球的半径 R=
2

=



球的表面积为:4πR =4

=3π.

故选:C.

点评:本题考查三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积,解题的关键是确定三棱锥 S﹣ABC 的 外接球的球心与半径. 11.已知数列{an}满足:an=logn+1(n+2) (n∈N ) ,定义使 a1?a2?a3…ak 为整数的数 k(k∈N ) 叫做企盼数,则区间[1,2011]内所有的企盼数的和为( ) A. 1001 B. 2030 C. 2026 D. 2048 考点:对数的运算性质. 专题:新定义. 分析:先利用换底公式与叠乘法把 a1?a2?a3…ak 化为 log2(k+2) ;然后根据 a1?a2?a3…ak 为整 数,可得 k=2n﹣2;最后由等比数列前 n 项和公式解决问题. 解答: 解:an=logn+1(n+2)= , (n∈N ) ,
* * *

∴a1?a2?a3…ak= 又∵a1?a2?a3…ak 为整数 * n ∴k+2 必须是 2 的 n 次幂(n∈N ) ,即 k=2 ﹣2. ∴k∈[1,2011]内所有的企盼数的和 2 3 4 10 M=(2 ﹣2)+(2 ﹣2)+(2 ﹣2)+…+(2 ﹣2) = ﹣2×9=2026,

=log2(k+2) ,

故选 C. 点评:本题在理解新定义的基础上,考查换底公式、叠乘法及等比数列前 n 项和公式,其综 合性、技巧性是比较强的.

12.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 小值为( A. ) B. C. D.

的最

考点:圆方程的综合应用;平面向量数量积的运算. 专题:向量与圆锥曲线. 分析:要求 的最小值,我们可以根据已知中,圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两 表示

条切线,A、B 为两切点,结合切线长定理,设出 PA,PB 的长度和夹角,并将 成一个关于 x 的函数,然后根据求函数最值的办法,进行解答. 解答: 解:如图所示:设 OP=x(x>0) , 则 PA=PB= ,

∠APO=α,则∠APB=2α, sinα= , = = =x +
2

× ﹣3≥2
2

(1﹣2sin α) ﹣3, 时取“=”,故 的最小值为 2 ﹣3.

2

∴当且仅当 x = 故选 D.

点评:本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理, 着重考查最值的求法﹣﹣判别 式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案写在答题纸上.) 13.设向量 满足 , ,则 = .

考点:平面向量数量积的性质及其运算律. 专题:平面向量及应用. 分析:由已知中 解答: 解:∵ = ∴ = , , =1+4﹣2=3 ,先计算出 , 的值,进而可得 .

故答案为: 点评:本题考查的知识点是平面向量数量积及向量的模,其中利用平方法,先求出 的值是解答的关键.

14.在△ ABC 中,a=4,b=5,c=6,则

= 1 .

考点:余弦定理;二倍角的正弦;正弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析:利用余弦定理求出 cosC,cosA,即可得出结论. 解答: 解:∵△ABC 中,a=4,b=5,c=6, ∴cosC= ∴sinC= = ,cosA= ,sinA= , =



=

=1.

故答案为:1. 点评:本题考查余弦定理,考查学生的计算能力,比较基础. 15.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 A1B1 的中点,则直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值 .

考点:直线与平面所成的角. 专题:计算题. 分析:取 AB 的中点 F,连接 B1F,过点 F 作 FG⊥BD,垂足为 G,连接 B1G,根据 FG⊥ 平面 BDD1B1,可知∠FB1G 为 B1F 与平面 BDD1B1 所成角,在 Rt△ FB1G 中求解即可,而 AE∥B1F,从而求出所求. 解答: 解:取 AB 的中点 F,连接 B1F,过点 F 作 FG⊥BD,垂足为 G,连接 B1G, 由正方体性质易知 BB1⊥平面 ABCD,又 FG?平面 ABCD, ∴BB1⊥FG

又 FG⊥BD,BD∩BB1=B,BD?平面 BDD1B1,BB1?平面 BDD1B1 ∴FG⊥平面 BDD1B1 ∴∠FB1G 为 B1F 与平面平面 BDD1B1 所成角 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 1, ∴FG= ,B1F=

∴sin∠B1FO=

而 AE∥B1F,所以直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值为 故答案为:

点评:本题考查的知识点是直线与平面所成的角, 将线面夹角问题转化为解三角形问题是解 答本题的关键,属于中档题.

16.数列

的前 80 项的和等于

﹣70



考点:数列递推式;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据数列的函数特性可知,对于函数 y=f(x) ,由 ,分析出

函数的周期,由此推出数列的项以 4 为周期周期出现,求出前 4 项的和,则数列的前 80 项 的和可求. 解答: 解:对于函数 y=f(x) ,由 ,









∴f(x)是周期为 4 的周期函数, 由 ,则数列{an}的项以 4 为周期周期出现, , ,

由 a1=2,则



∴S80=20(a1+a2+a3+a4)=



故答案为﹣70 . 点评:本题考查了数列的递推式,考查了数列的函数特性,考查了数列的和,解答此题的关 键是分析出数列的项以 4 为周期周期出现,此题是中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17.设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直线 x﹣y+1=0 相交 的弦长为 2 ,求圆的方程. 考点:直线与圆的位置关系. 专题:综合题. 2 2 2 分析:设出圆的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得 到圆心在这条直线上,设出圆心坐标,代入到 x+2y=0 中得到①;把 A 的坐标代入圆的方 程得到②;由圆与直线 x﹣y+1=0 相交的弦长为 2 ,利用垂径定理得到弦的一半,圆的 半径,弦心距成直角三角形,利用勾股定理得到③,三者联立即可求出 a、b 和 r 的值,得 到满足题意的圆方程. 解答: 解:设所求圆的圆心为(a,b) ,半径为 r, ∵点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点 A′仍在这个圆上, ∴圆心(a,b)在直线 x+2y=0 上, ∴a+2b=0,① 2 2 2 (2﹣a) +(3﹣b) =r .② 又直线 x﹣y+1=0 截圆所得的弦长为 2 ,

圆心(a,b)到直线 x﹣y+1=0 的距离为 d= 则根据垂径定理得:r ﹣(
2

= )③
2



) =(

2

解由方程①、②、③组成的方程组得:


2 2 2 2

∴所求圆的方程为(x﹣6) +(y+3) =52 或(x﹣14) +(y+7) =244. 点评:此题要求学生掌握直线与圆的位置关系, 灵活运用垂径定理及对称知识化简求值, 是 一道中档题.学生做题时注意满足题意的圆方程有两个.
2

18.设 f(x)=sinxcosx﹣cos (x+ (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;

) .

(Ⅱ)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=0,a=1,求△ ABC 面积的最大值. 考点:正弦函数的单调性;两角和与差的正弦函数;余弦定理. 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得 f(x)=sin2x﹣ ,由 2k ≤2x≤2k , k∈Z 可解得 f (x) 的单调递增区间, 由 2k ≤2x≤2k ,

k∈Z 可解得单调递减区间. (Ⅱ)由 f( )=sinA﹣ =0,可得 sinA,cosA,由余弦定理可得:bc 时等号成立,从而可求 bcsinA≤ ,从而得解. ,且当 b=c

解答: 解: (Ⅰ)由题意可知,f(x)= sin2x﹣ = sin2x﹣ =sin2x﹣ 由 2k 由 2k ≤2x≤2k ≤2x≤2k ,k∈Z 可解得:k ,k∈Z 可解得:k ≤ x≤ k ≤ x≤ k ,k∈Z; ,k∈Z;

所以 f(x)的单调递增区间是[k k ], (k∈Z) ;

,k

], (k∈Z) ;单调递减区间是:[k



(Ⅱ)由 f( )=sinA﹣ =0,可得 sinA= , 由题意知 A 为锐角,所以 cosA= 由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 可得:1+ bc=b +c ≥2bc,即 bc 因此 bcsinA≤ , .
2 2 2



,且当 b=c 时等号成立.

所以△ ABC 面积的最大值为

点评:本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理,基本不等式的应用,属于基本知 识的考查. 19. 如图, 四面体 ABCD 中, O、 E 分别是 BD、 BC 的中点, CA=CB=CD=BD=2, AB=AD= (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离. .

考点:点、线、面间的距离计算;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题:综合题. 分析: (I) 连接 OC, 由 BO=DO, AB=AD, 知 AO⊥BD, 由 BO=DO, BC=CD, 知 CO⊥BD. 在 △ AOC 中,由题设知 ,AC=2,故 AO +CO =AC ,由此能够证明 AO⊥平面 BCD. (II)取 AC 的中点 M,连接 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点,知 ME∥AB,OE∥DC, 故直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角.在△ OME 中, ,由此能求出异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余弦. (III)设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.在△ ACD 中, = 能求出点 E 到平面 ACD 的距离. ,由 AO=1,知 ,故 ,由此
2 2 2

解答: (I)证明:连接 OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD, ∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD. 在△ AOC 中,由题设知 ,AC=2, 2 2 2 ∴AO +CO =AC , ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC. ∵AO⊥BD,BD∩OC=O, ∴AO⊥平面 BCD. (II)解:取 AC 的中点 M,连接 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点, 知 ME∥AB,OE∥DC, ∴直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角. 在△ OME 中, ,…(6 分) ,…(7 分)

∵OM 是直角△ AOC 斜边 AC 上的中线,∴ ∴ ,

∴异面直线 AB 与 CD 所成角大小的余弦为 (III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.

…(8 分)

…(9 分)

在△ ACD 中, ∴

, = ,

∵AO=1,





=

=



∴点 E 到平面 ACD 的距离为



点评:本题考查点、线、面间的距离的计算,考查空间想象力和等价转化能力,解题时要认 真审题,仔细解答,注意化立体几何问题为平面几何问题. 20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4.设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

考点:圆的切线方程;点到直线的距离公式;圆与圆的位置关系及其判定. 专题:直线与圆. 分析: (1)联立直线 l 与直线 y=x﹣1 解析式,求出方程组的解得到圆心 C 坐标,根据 A 坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于 k 的方程,求出方程的 解得到 k 的值,确定出切线方程即可; (2)设 M(x,y) ,由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点 M 的 轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出 不等式,求出不等式的解集,即可得到 a 的范围. 解答: 解: (1)联立得: ,

解得:



∴圆心 C(3,2) . 若 k 不存在,不合题意; 若 k 存在,设切线为:y=kx+3,可得圆心到切线的距离 d=r,即 =1,

解得:k=0 或 k=﹣ , 则所求切线为 y=3 或 y=﹣ x+3; (2)设点 M(x,y) ,由 MA=2MO,知:
2 2

=2



化简得:x +(y+1) =4, ∴点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D, 又∵点 M 在圆 C 上,C(a,2a﹣4) ,

∴圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切, ∴1≤|CD|≤3,其中|CD|= ∴1≤ 解得:0≤a≤ . ≤3, ,

点评:此题考查了圆的切线方程,点到直线的距离公式,以及圆与圆的位置关系的判定,涉 及的知识有:两直线的交点坐标,直线的点斜式方程,两点间的距离公式,圆的标准方程, 是一道综合性较强的试题. 21.如图,在三棱台 DEF﹣ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面 FGH; (Ⅱ)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面 FGH 与平面 ACFD 所 成的角(锐角)的大小.

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)根据 AB=2DE 便可得到 BC=2EF,从而可以得出四边形 EFHB 为平行四边 形, 从而得到 BE∥HF, 便有 BE∥平面 FGH, 再证明 DE∥平面 FGH, 从而得到平面 BDE∥ 平面 FGH,从而 BD∥平面 FGH; (Ⅱ)连接 HE,根据条件能够说明 HC,HG,HE 三直线两两垂直,从而分别以这三直线 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接 BG,可说明 ACFD 的一条法向量,设平面 FGH 的法向量为 ,根据 为平面 即可求出

法向量 ,设平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 θ,根据 cosθ= 出平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角的大小. 解答: 解: (Ⅰ)证明:根据已知条件,BC=2EF,H 为 BC 中点,EF∥BC; ∴EF∥BH,且 EF=BH; ∴四边形 EFHB 为平行四边形; ∴BE∥HF,HF?平面 FGH,BE?平面 FGH; ∴BE∥平面 FGH; 同样,因为 GH 为△ ABC 中位线,∴GH∥AB; 又 DE∥AB;

即可求

∴DE∥GH; ∴DE∥平面 FGH,DE∩BE=E; ∴平面 BDE∥平面 FGH,BD?平面 BDE; ∴BD∥平面 FGH; (Ⅱ)连接 HE,则 HE∥CF; ∵CF⊥平面 ABC; ∴HE∥平面 ABC,并且 HG⊥HC; ∴HC,HG,HE 三直线两两垂直,分别以这三直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角 坐标系,设 HC=1,则:

H(0,0,0) ,G(0,1,0) ,F(1,0,1) ,B(﹣1,0,0) ; 连接 BG,根据已知条件 BA=BC,G 为 AC 中点; ∴BG⊥AC; 又 CF⊥平面 ABC,BG?平面 ABC; ∴BG⊥CF,AC∩CF=C; ∴BG⊥平面 ACFD; ∴向量 设平面 FGH 的法向量为 为平面 ACFD 的法向量; ,则:

,取 z=1,则:



设平面 FGH 和平面 ACFD 所成的锐二面角为 θ,则:cosθ=|cos

|=



∴平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 60°. 点评:考查棱台的定义,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理及 其性质,线面垂直的性质及线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用空间向量 求二面角的方法,平面法向量的概念及求法,向量垂直的充要条件,向量夹角余弦的坐标公 式,平面和平面所成角的定义. 22.数列{an}满足 a1=2,an+1=an +6an+6(n∈N ) . (1)设 Cn=log5(an+3) ,求证{Cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<﹣ .
2 *

考点:数列的求和;等比数列的通项公式;等比关系的确定. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 ,得 ,代入 Cn=log5(an+3)可

得 Cn+1=2Cn,由等比数列定义可证明; (2)由等比数列通项公式可求得 cn,根据 Cn=log5(an+3)可求 an; (3) ,则

可求,由表达式可证;

解答: (1)证明:由

,得



∴log5(an+1+3)=2log5(an+3) ,即 Cn+1=2Cn, ∴{Cn}是以 2 为公比的等比数列; (2)解:又 C1=log55=1,∴ ∴ 故 (3)证明:∵ . . , ,即 ,



=

=﹣ ﹣











点评:本题考查等比数列的通项公式、裂项求和,考查学生的运算求解能力.


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