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等比数列学案


等比数列的前 n 项和 一. 复习旧知: ? 等比数列的 定义:

学案

一般地,如果一个数列{an}从第______项起,每一项与它前一项的 ______ 都等于同一个__________,那么这样的数列称为等比数列,这个常数称为 ________,通常用___________表示。 {an}是等比数列 ? 通项公式: ________ __________________ __________________ 二. 基础检测: 1. 已知下列数列是等比数列,完成空格: 81, 27, _____, _____, _____ ? , -2, ______, _____, ______ ? ( an 用 a1 q 表示)

( an 用 am q 表示)

2.已知等比数列{an}的通项公式 a n ?

1 ? 10 n ,求其首项和公比。 4

3.已知等比数列{an}中,a1=2,q=6,求此等比数列的通项公式。 4.已知等比数列{an}中,a2=6,a5=48,求此等比数列的通项公式及 a11. 三. 本节课的学习目标: 1. 了解等比数列的前 n 项和公式的推导过程,并体会错位相减法及分类讨论的 思想方法; 2. 掌握等比数列的前 n 项和公式的特点,并能够根据已知条件,利用公式求和。 四. 新学知识: 1. 等比数列的前 n 项和公式:

(用___________表示)

或 2. 错位相减法。

(用_________表示)

五.

巩固练习: 1. 求等比数列 1,3,9,27,?的前 n 项和; 2. 已知等比数列{an}中, an=2n 求 S6; 3. 已知等比数列{an}中, a1=-1.5,a4=96,求 q 和 S4.

六.

拓展提升:

?an ?中,若an ? b n (b ? 0),求该数列的前 1..等比数列 n项和S n .
(2)求数列?bn ? 的前n项和S n .

?bn ?是等比数列; (1)试证明数列

?a n ?中,a n ? 2n ? 1, 若bn ? 3 an . 2.. 已知等差数列

七.

问题解决:
中世纪,意大利斐波那契在 1202 年发表了《算盘全书》,书中这样一题: 今有七老妇人同往罗马,每人有七骡,每骡负七袋,每袋盛有七个面包,每个面包 有七小刀随之,每小刀配有七鞘,问列举之物全数共有几何?

八. 总结收获:_____________________________________________________
课外链接:
在古印度有一个国王,他拥有超人的权力和巨大的财富。但权力和财富最终让他对生活到厌倦。他渴 望着新鲜的刺激。有一天,来了一位老人,他带着自己的发明“国际象棋”来朝见国王。国王见了这新奇 的玩意儿非常喜欢,就和老人对下起来。但是一下上了手,就舍不得放下了,竟留着老人一连下了三天三 夜。到了第四天早上,国王感到非常满足,就对老人说道: “你给了我无穷的乐趣。为了奖赏你,我现在 决定,你可以在我这儿得到你所要的任何东西。” 的确,这位国王是如此富有,难道还有什么要求不能 满足吗?但是老人却回答说: “万能的王啊,你虽然是世界上最富有的人,恐怕也满足不了我的要求。” 国王不高兴了,他皱起了眉头,严厉地说道:“说吧,哪怕你要的是半个王国。” “请国王下令在棋盘的 第一格上放一粒小麦,在第二格上放两粒小麦,在第三格上放四粒,第四格上放八粒,就这样每次增加一 倍,一直到第六十四格为止。” “可怜的老人,你的要求就这么一点点吗?” 国王不禁笑了起来。他立 即命人去取一袋小麦来,按照老人的要求数给他。但是一袋小麦很快就完了。国王觉得有点奇怪,就命人 再去取一袋来,接着是第三袋、第四袋??小麦堆积如山,但是离第六十四格还远得很呐。只见国王的脸 色由惊奇逐渐转为阴沉,最后竟勃然大怒。原来,他国库里的小麦已经搬光了,还到不了棋盘上的第五十 格。国王认为老人是在戏弄他,就下令把老人杀了。 老人的话没有错,他的要求的确是满足不了的。根据 计算,棋盘上六十四个格子小麦的总数将是一个十九位数,折算为重量,大约是两千多亿吨。而当时全世 界小麦的年产量也不过是数亿吨而已。有关人士计算,这个数字竟然超出了他们的计算单位和范围 等比数列源于古代的一些实际问题。古埃及国王拉阿乌斯有位能干的文书阿默斯。他用象形文字写了 一部《算书》,记录了公元前 2000 年——前 1700 年间数学研究的一些成果。其中有这样一题,题中画了 一个阶梯,其各级注数为 7,49,343,2401,16807。并在数旁依次画了人、猫、鼠、大麦和量器。原书 上并无任何说明,遂成为数学史上的一个难解之谜。2000 多年中无人能解释。 直到中世纪,意大利斐波 那契在 1202 年发表了《算盘全书》,书中这样一题:今有七老妇人同往罗马,每人有七骡,每骡负七袋, 每袋盛有七个面包,每个面包有七小刀随之,每小刀配有七鞘,问列举之物全数共有几何? 显然这是一个 等比数列的求和问题。由此也基本解开了阿默斯之谜。原来阿默斯问题的意思是:今有七人,每人有七猫, 每猫食七鼠,每鼠食七只大麦穗,每穗可长成大麦七量器,由此可得之数列如何?当然这仅仅是推测。我 国古代数学家也早就研究过等比数列的问题。《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”: 今有出门 重九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,维有九毛,毛有九色,问各几何?


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