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八年级上册数学教案


八年级上册数学教案
【人教版】

2012 年 07 月
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第十一章全等三角形 11.1 全等三角形
教学内容 本节课主要学习全等三角形的概念和性质. 教学目标 1.知识与技能 ? ? 结合具体实例找出三角形中角的对边、边的对角; 简单应用全等三角形对应边和对应角相等的性质.

2.过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角. 3.情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力,体会全等三角形的应用价值. 重、难点与关键 1.重点:找全等三角形的对应元素(对应顶点、对应边、对应角). 2.难点:找全等三角形的对应元素(对应顶点、对应边、对应角)的方法. 3.关键:找对应边、对应角有下面两种方法: ? ? 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; 对应边所对的角是对应角,?两条对应边所夹的角是对应角.

教具准备 硬纸片、直尺、剪刀. 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法,让学生自己举出形状、大小相同的实例,加深认识. 教学过程 一、动手操作,导入课题 1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形,再用剪刀剪下,?思考得到的图形有何特点? 2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形,再用剪刀剪下,?思考得到的图形有何特点? 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论,得出结论. 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形. 学生在操作过程中,教师要让学生事先在纸上画出三角形,然后固定重叠的两张纸,注意整个过程要细 心.
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【互动交流】剪出的多边形和三角形,可以看出:形状、大小相同,能够完全重合.这样的两个图形叫 做全等形,用“≌”表示. 概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形,要求学生手拿一个三角形,做如下运动:平移、翻折、旋 转,观察其运动前后的三角形会全等吗? 【学生活动】动手操作,实践感知,得出结论:两个三角形全等. 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形,同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三 条边、每条边的边角、每个角的对边. 【学生活动】 把两个三角形按上述要求标上字母, 并任意放置, 与同桌交流: (1) 何时能完全重在一起? (2)此时它们的顶点、边、角有何特点? 【交流讨论】通过同桌交流,实验得出下面结论: 1.任意放置时,并不一定完全重合,?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合. 2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了. 3.完全重合说明三条边对应相等,三个内角对应相等,?对应顶点在相对应的位置. 【教师活动】根据学生交流的情况,给予补充和语言上的规范. 1.概念:把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,?重合的边叫做对应边,重合的 角叫做对应角. 2.说明两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,?如果本图 11.1─2△ABC 和△DBC 全等,点 A 和点 D,点 B 和点 B,点 C 和点 C 是对应顶点,?记作△ABC≌△DBC.

【问题提出】课本图 11.1─1 中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?对应角呢? 【学生活动】经过观察得到下面性质: 1.全等三角形对应边相等; 2.对应线段(边,中线,高,角平分线)相等; 3.全等三角形对应角相等; 4.全等三角形周长、面积相等. 二、拓展延伸 课本 P4 练习.
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【探研时空】 1.如图 1 所示,△ACF≌△DBE,∠E=∠F,若 AD=20cm,BC=8cm,你能求出线段 AB 的长吗?与同伴交 流. (AB=6)

2.如图 2 所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC 各内角的度数.?(∠AEC=30°, ∠EAC=65°,∠ECA=85°)

三、课堂小结 1.什么叫做全等三角形? 2.全等三角形具有哪些性质? 四、布置作业 1.课本 P4 习题 11.1 第 1,2,3,4 题. 板书设计 把黑板分成左、中、右三部分,左边板书本节课概念,中间部分板书“思考”中的问题,右边部分板书 学生的练习. 疑难解析 由于两个三角形的位置关系不同,在找对应边、对应角时,可以针对两个三角形不同的位置关系,寻找 对应边、角的规律: (1)有公共边的,?公共边一定是对应边; (2)有公共角的,公共角一定是对应角; (3) 有对顶角的,对顶角一定是对应角;两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角) ,一 对最短的边(或最小的角)是对应边(或角) .

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11.2.1 三角形全等的判定(SSS)
教学内容 本节课主要内容学习三角形全等的判定方法一(SSS) ,?并利用判定方法一进行证明. 教学目标 1.知识与技能 ? ? 应用“边边边”判定两个三角形全等. 能够正确书写“边边边”判定两个三角形全等的过程.

2.过程与方法 经历探索“边边边”判定全等三角形的过程,解决简单的问题. 3.情感、态度与价值观 培养有条理的思考和表达能力,形成良好的合作意识. 重、难点与关键 1.重点: ? ? 收集和构造利用“边边边”证明两个三角形全等的条件. 利用“边边边”证明三角形全等的逻辑过程和书写过程.

2.难点: ? ? 收集和构造利用“边边边”证明两个三角形全等的条件. 利用“边边边”证明三角形全等的逻辑过程和书写过程.

3.关键: ? ? 在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法. 挖掘图形特征,寻找隐含条件(公共边相等,平行四边形对边相等).

教具准备 硬纸片、剪刀、直尺、圆规. 教学方法 采用“操作──实验”的教学方法,让学生亲自动手,形成直观形象. 教学过程 一、自主探究 【教师活动】 问题提出:对于图中给定的△ABC,再画一个△A′B′C′,使 A′B′=AB,B′C′=BC,C′A′=CA.把 画出的△A′B′C′剪下来,放在△ABC 上,它们能完全重合吗?(即全等吗) 【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图,并验证. (如课本图 11.2-2 所示)
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画一个△A′B′C′,使 A′B′=AB′,A′C′=AC,B′C′=BC: 1.画线段取 B′C′=BC; 2.分别以 B′、C′为圆心,线段 AB、AC 为半径画弧,两弧交于点 A′; 3.连接线段 A′B′、A′C′. 【理论认知】 如果△ABC≌△A′B′C′,那么它们的对应边相等,对应角相等.?反之,?如果△ABC 与△A′B′C′满 足三条边对应相等,三个角对应相等,即 AB=A′B′,BC=B′C′,CA=C′A′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠ C=∠C′. 这六个条件,就能保证△ABC≌△A′B′C′,从刚才的实践我们可以发现:?只要两个三角形三条对应 边相等,就可以保证这两块三角形全等. 信不信? 【实践验证】 把画出的△A′B′C′剪下来,放在△ABC 上,它们能完全重合吗?

【教师活动】巡视、指导,引入课题: “上述尺规作图的结果反映了什么规律?” 【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理. (1)判定方法:三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”. ) (2)判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等. 【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出最后的结论──边边边,在这个过 程中,学生不仅得到了两个三角形全等的条件,同时增强了数学体验. 二、典例精讲 【例 1】如课本图 11.2─3 所示,△ABC 是一个钢架,AB=AC,AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架,求证 △ABD≌△ACD. (教师板书) 【教师活动】分析例 1,分析:要证明△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等. 证明:∵D 是 BC 的中点, ∴BD=CD 在△ABD 和△ACD 中

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? AB ? AC , ? ? BD ? CD, ? AD ? AD. ?
∴△ABD≌△ACD(SSS) . 【评析】符号“∵”表示“因为”“∴”表示“所以” , ;从例 1 可以看出,?证明是由题设(已知)出发, 经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.书写中注意对应顶点要写在同一个位置上,哪个三 角形先写,哪个三角形的边就先写. 三、合作探究 【问题思考】 已知 AC=FE,BC=DE,点 A、D、B、F 在直线上,AD=FB(如图所示) ,要用“边边边”证明△ABC≌△FDE, 除了已知中的 AC=FE,BC=DE 以外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?

【教师活动】提出问题,巡视、引导学生,并请学生说说自己的想法. 【学生活动】先独立思考后,再发言: “还应该有 AB=FD,只要 AD=FB 两边都加上 DB 即可得到 AB=FD. ” 【教学形式】先独立思考,再合作交流,师生互动. 四、拓展延伸 课本 P8 练习. 【探研时空】 如图所示, AB=DF, AC=DE, BE=CF, 与 EF 相等吗??你能找到一对全等三角形吗?说明你的理由. BC=EF, BC ( △ABC≌△DFE)

五、课堂小结 1.全等三角形性质是什么? 2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,?利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样掌握判断 对应边、对应角的方法? 3. “边边边”判定法告诉我们什么呢??(答:只要一个三角形三边长度确定了,则这个三角形的形状 大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性) 六、布置作业
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1.课本 P15 习题 11.2 第 1,2 题. 板书设计

笔记提炼

典例精讲

学生展讲

11.2.2 三角形全等判定(SAS)
教学内容 本节课主要学习三角形全等的判定方法二(SAS) ,并利用判定方法二进行证明. 教学目标 1.知识与技能 ? ? ? 找出三角形中两边的夹角、两角的夹边. 应用“边角边”判定两个三角形全等. 能够正确书写“边角边”判定两个三角形全等的过程.

2.过程与方法 经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题. 3.情感、态度与价值观 培养合情推理能力,感悟三角形全等的应用价值. 重、难点及关键 1.重点: ? ? 收集和构造利用“边角边”证明两个三角形全等的条件. 利用“边角边”证明三角形全等的逻辑过程和书写过程.

2.难点: ? ? 收集和构造利用“边角边”证明两个三角形全等的条件. 利用“边角边”证明三角形全等的逻辑过程和书写过程.

3.关键: ? ? 在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法. 挖掘图形特征,寻找隐含条件(公共边相等,公共角相等,对顶角相等,两直线平行内错角、同位

角相等).
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教具准备 投影仪、硬纸片、剪刀、直尺、圆规. 教学方法 采用“操作──实验”的教学方法,让学生有一个直观的感受. 教学过程 一、回顾交流,操作分析 【动手画图】 【投影】作一个角等于已知角∠AOB. 【学生活动】动手用直尺、圆规画图. 已知:∠AOB. 求作:∠A1O1B1,使∠A1O1B1=∠AOB. 【作法】 (1)作射线 O1A1; (2)以点 O 为圆心,以适当长为半径画弧,交 OA?于点 C,?交 OB 于点 D; (3) 以点 O1 为圆心,以 OC 长为半径画弧,交 O1A1 于点 C1; (4)以点 C1 为圆心,以 CD?长为半径画弧,交前面的弧 于点 D1; (5)过点 D1 作射线 O1B1,∠A1O1B1 就是所求的角.

【导入课题】 教师叙述:请同学们连接 CD、C1D1,回忆作图过程,分析△COD 和△C1O1D1 中的相等量. 【学生活动】与同伴交流,发现下面的相等量: OD=O1D1,OC=O1C1,∠COD=∠C1O1D1,△COD≌△C1O1D1. 归纳出规律: 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS?”. ) 【评析】通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会相等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获 得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力. 【媒体使用】投影显示作法. 【教学形式】操作感知,互动交流,形成共识. 二、典例精讲 【例 2】如课本图 11.2-6 所示有一池塘,要测池塘两侧 A、B 的距离,可先在平地上取一个可以直接到 达 A 和 B 的点,连接 AC 并延长到 D,使 CD=CA,连接 BC 并延长到 E,?使 CE=CB,连接 DE,那么量出 DE 的长 就是 A、B 的距离,为什么?

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【教师活动】操作投影仪,显示例 2,分析:如果能够证明△ABC≌△DEC,就可以得出 AB=DE.在△ABC 和△DEC 中,CA=CD,CB=CE,如果能得出∠1=∠2,△ABC 和△DEC?就全等了. 证明:在△ABC 和△DEC 中

?CA ? CD ? ??1 ? ?2 ?CB ? CE ?
∴△ABC≌△DEC(SAS) ∴AB=DE 想一想:∠1=∠2 的依据是什么?(对顶角相等)AB=DE 的依据是什么?(全等三角形对应边相等) 【学生活动】参与教师的讲例之中,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写. 【媒体使用】投影显示例 2. 【教学形式】教师讲例,学生接受式学习但要积极参与. 【评析】 证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题, 常常通过证明这两个三角形全等来解决. 三、合作探究 【问题探究】 (投影显示) 我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边及其中一边的对角对应相等”的条 件能判定两个三角形全等吗?为什么? 【教师活动】拿出教具进行示范,让学生直观地感受到问题的本质. 操作教具:把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,?使长木棍的另一端与射线 BC 的端点 B 重 合,适当调整好长木棍与射线 BC 所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来(课本图 11.2-7) ,出现一 个现象:△ABC 与△ABD 满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC 与△ABD 不全等.这说明,?有两边 和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解,动手用直尺和圆规实验一次,做法如下: (如 图 1 所示)

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(1)画∠ABT; (2)以 A 为圆心,以适当长为半径,画弧,交 BT 于 C、C′; (3)?连线 AC,AC′,△ ABC 与△ABC′不全等. 【形成共识】 “边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件. 【教学形式】观察、操作、感知,互动交流. 四、拓展延伸 课本 P10 练习第 1、2 题. 五、课堂小结 1.请你叙述“边角边”定理. 2.证明两个三角形全等的思路是:首先分析条件,?观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为 基础根据全等三角形的判定方法,来确定还需要证明哪些边或角对应相等,再设法证明这些边和角相等. 六、布置作业 1.课本 P15 习题 11.2 第 3、4 题. 板书设计

笔记提炼

典例精讲

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11.2.3 三角形全等判定(ASA、AAS)
教学内容 本节课主要探索学习三角形全等的判定方法三(ASA) 、方法四(AAS) ,?并利用判定方法三、方法四进 行证明. 教学目标 1.知识与技能 ? ? 应用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等. 、 能够正确书写“角边角”“角角边”判定两个三角形全等的过程. 、
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2.过程与方法 经历探索“角边角”“角角边”判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题. 、 3.情感、态度与价值观 培养良好的几何推理意识,发展思维,感悟全等三角形的应用价值. 重、难点与关键 1.重点: ? ? 收集和构造利用“角边角”“角角边”证明两个三角形全等的条件. 、 利用“角边角”“角角边”证明三角形全等的逻辑过程和书写过程. 、

2.难点: ? ? 收集和构造利用“角边角”“角角边”证明两个三角形全等的条件. 、 利用“角边角”“角角边”证明三角形全等的逻辑过程和书写过程. 、

3.关键: ? ? 在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法. 挖掘图形特征,寻找隐含条件(公共边相等,公共角相等,对顶角相等,两直线平行内错角、同位

角相等). 教具准备 投影仪、幻灯片、直尺、圆规、量角器. 教学方法 采用“问题教学法”在情境问题中,激发学生的求知欲. 教学过程 一、回顾交流,巩固学习 【知识回顾】 (投影显示) 情境思考: 1.小菁做了一个如图 1 所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,?将上述条件注在图中,小明不用测量 就能知道 EH=FH 吗?与同伴交流.

(1) [答案:能,因为根据“SAS” ,可以得到△EDH≌△FDH,从而 EH=FH]
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2.如果∠EDH=∠FDH,∠EHD=∠FHD,能得到 EH=FH 吗? 【教师活动】操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问. 【学生活动】通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择三角形全等的判定方法,小组交流, 踊跃发言. 【教学形式】用问题牵引,辨析、巩固已学知识,在师生互动交流过程中,激发求知欲. 二、实践操作,导入课题 【动手动脑】 (投影显示) 问题探究:先任意画一个△ABC,再画出一个△A′B′C′,使 A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B(即 使两角和它们的夹边对应相等) ,把画出的△A′B′C′剪下,?放到△ABC 上,它们全等吗? 【学生活动】动手操作,感知问题的规律,画图如下: 已知:△ABC 求作:△A′B′C′,使 A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B: 【作法】 (1)画 A′B′=AB; (2)作∠DA′B′=∠A; (3)在 A′B′的同一旁作∠EBA′=∠B,A′D 与 B′E 交于点 C′。

探究规律:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”. ) 【知识铺垫】课本图 11.2─8 中,∠A′=∠A,∠B′=∠B,那么∠C=∠A′C′B?′吗?为什么? 【学生回答】 根据三角形内角和定理, ∠C′=180°-∠A′-∠B′, ∠C=180°-∠A-∠B, 由于∠A=∠A′, ∠B=∠B′,∴∠C=∠C′. 【教师提问】在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF(课本图 11.2─9) ,△ABC 与△DEF 全等 吗?

【学生活动】运用三角形内角和定理,以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD,并且归纳如下: ??归纳规律:?两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简与成 AAS) .
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三、典例精讲 【例 3】如课本图 11.2─10,D 在 AB 上,E 在 AC 上,AB=AC,∠B=∠C,求证:AD=AE. 【教师活动】引导学生,分析例 3.?关键是寻找到和已知条件有关的△ACD?和△ABE,再证它们全等, 从而得出 AD=AE.
A

证明:在△ACD 与△ABE 中,

??A ? ?A(公共角) ? ? AC ? AB ??C ? ?B ?
∴△ACD≌△ABE(ASA) ∴AD=AE 【学生活动】参与教师分析,领会推理方法. 【媒体使用】投影显示例 3. 【教学形式】师生互动. 【教师提问】三角对应相等的两个三角形全等吗?

D B

E
C

【学生活动】与同伴交流,得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等,拿出三角板进行说明,如 图 3,下面这块三角形的内外边形成的△ABC 和△A′B?′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,但是 它们不全等. (形状相同,大小不等) .

四、拓展延伸 课本 P13 练习第 1,2 题. 五、课堂小结 1.证明两个三角形全等有几种方法?如何正确选择和应用这些方法? 2.全等三角形性质可以用来证明哪些问题?举例说明. 3.你在本节课的探究过程中,有什么感想? 六、布置作业 1.课本 P15 习题 11.2 第 5,6,9,10 题. 板书设计

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笔记提炼

典例精讲

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11.2.4 三角形全等的判定(综合探究)
教学内容 本节课主要内容是三角形全等的判定的综合运用. 教学目标 1.知识与技能 ? ? 收集和构造利用证明两个三角形全等的条件. 规范证明三角形全等的逻辑过程和书写过程.

2.过程与方法 经历探索三角形全等的四种判定方法的过程,能进行合情推理. 3.情感、态度与价值观 培养良好的几何思维,体会几何学的应用价值. 重、难点与关键 1.重点:运用四种判定三角形全等的方法. 2.难点:正确选择判定三角形全等的方法,充分应用“综合法”进行表达. 3.关键: ? ? 在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法. 挖掘图形特征,寻找隐含条件(公共边相等,公共角相等,对顶角相等,中线,角平分线,两直线

平行内错角、同位角相等). 教具准备 投影仪、幻灯片、直尺、圆规. 教学方法 采用“讲.练”结合的教学法,让学生充分体会到几何的分析思想. 教学过程

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一、分层练习,回顾反思 【课堂演练】 1.已知△ABC≌△A′B′C′,且∠A=48°,∠B=33°,A′B′=5cm,求∠C?′的度数与 AB 的长. 【教师活动】操作投影仪,组织学生练习,请一位学生上台演示. 【学生活动】先独立完成演练 1,然后再与同伴交流,踊跃上台演示. 解:在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180° ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=99° ∵△ABC≌△A′B′C′,∠C=∠C′, ∴∠C′=99°, ∴AB=A′B′=5cm. 【评析】表示两个全等三角形时,要把对应顶点的字母写在对应位置上,这时解题就很方便. 2.已知:如图 1,在 AB、AC 上各取一点 E、D,使 AE=AD,连接 BD、CE 相交于点 O,连接 AO,∠1=∠2. 求证:∠B=∠C.

【思路点拨】要证两个角相等,我们通常用的办法有: (1)两直线平行,同位角或内错角相等; (2)全等三角形对应角相等; (3)等腰三角形两底角相等(待学) . 根据本题的图形,应考虑去证明三角形全等,由已知条件,可知 AD=AE,∠1=?∠2,AO 是公共边,叫△ ADO≌△AEO,则可得到 OD=OE,∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,?而要证∠B=∠C 可以进一步考查△OBE≌△OCD, 而由上可知 OE=OD,∠BOE=∠COD(对顶角) ,∠BEO=∠CDO(等角的补角相等) ,则可证得△OBF≌△OCD,事 实上,得到∠AEO=∠AOD?之后,又有∠BOE=∠COD,由外角的关系,可得出∠B=∠C,这样更进一步简化了思 路. 【教师活动】操作投影仪,巡视、启发引导,关注“学困生” ,请学生上台演示,然后评点. 【学生活动】小组合作交流,共同探讨,然后解答. 【媒体使用】投影显示演练题 2. 【教学形式】分组合作,互相交流. 【教师点评】在分析一道题目的条件时,尽量把条件分析透,如上题当证明△ADO≌△AEO 之后,可以得 到 OD=OE,∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,?这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到,但在分析时对图形
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中的等量及大小关系有了正确认识,有利于进一步思考. 证明在△AEO 与△ADO 中, AE=AD,∠2=∠1,AO=AO, ∴△AEO≌△ADO(SAS) ,∴∠AEO=∠ADO. 又∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠AOD=∠DOC+∠C. 又∵∠EOB=∠DOC(对应角) ,∴∠B=∠C. 3.如图 2,已知∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE.求证:AD=AE. 【思路点拨】欲证相等的两条线段 AD、AE 分别在△ABD 和△ACE 中,由于 BD=CE,?∠ABD=∠ACE,因此 要证明△ABD≌△ACE,?则需证明∠BAD=?∠CAE,?这由已知条件∠BAC=∠DAE 容易得到. 【教师活动】操作投影仪:引导学生思考问题. 【学生活动】分析、寻找证题思路,独立完成演练题 3. 证明:∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE 图 2 在△ABD 和△ACE 中, ∵BD=CE,∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(AAS) , ∴AD=AE. 【媒体使用】投影显示演练题 3. 【教学形式】讲练结合. 二、随堂练习,继续巩固 1.如图 3,点 E 在 AB 上,AC=AD,∠CAB=∠DAB,△ACE 与△ADE 全等吗?△ACB?与△ADB 呢?请说明理 由.

[答案:△ACE≌△ADE,△ACB≌△ADB,根据“SAS” .] 2.如图 4,仪器 ABCD 可以用来平分一个角,其中 AB=AD,BC=DC,将仪器上的点 A 与∠PRQ 的顶点 R 重 合,调整 AB 和 AD,使它们落在角的两边上,沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是∠PRQ 的平分线,你能说明其中 道理吗? 小明的思考过程如下:

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? AB ? AD ? ? BC ? DC →△ABC≌△ADC→∠QRE=∠PRE ? AC ? AC ?
你能说出每一步的理由吗?图 4

3.如图 5,斜拉桥的拉杆 AB,BC 的两端分别是 A,C,它们到 O 的距离相等,?将条件标注在图中,你 能说明两条拉杆的长度相等吗?

答案:相等,因为△ABO≌△CBO(SAS) ,从而 AB=CB.图 5 三、布置作业 1.课本 P16 习题 11.2 第 11,12 题. 板书设计 把黑板分成两份,左边板书概念、例题,右边板书练习.

11.2.5 直角三角形全等判定(HL)
教学内容 本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法. 教学目标 1.知识与技能 ? ? 应用“斜边、直角边”判定两个三角形全等. 能够正确书写“斜边、直角边”判定两个三角形全等的过程.

2.过程与方法 经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力. 3.情感、态度与价值观 培养几何推理意识,激发学生求知欲,感悟几何思维的内涵. 重、难点与关键 1.重点: ? 收集和构造利用“斜边、直角边”证明两个三角形全等的条件.
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?

利用“斜边、直角边”证明三角形全等的逻辑过程和书写过程.

2.难点: ? ? 收集和构造利用“斜边、直角边”证明两个三角形全等的条件. 利用“斜边、直角边”证明三角形全等的逻辑过程和书写过程.

3.关键: ? 判定两个直角三角形全等时,?要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件,只需找到另外

两个条件即可. ? 挖掘图形特征,寻找隐含条件(公共边相等,公共角相等,对顶角相等,两直线平行内错角、同位

角相等). 教具准备 投影仪、幻灯片、直尺、圆规、直角三角板. 教学方法 采用“问题探究”的教学方法,让学生在互动交流中领会知识. 教学过程 一、回顾交流,迁移拓展 【问题探究】 图 1 是两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,?这两个直角三角形才能全等?

【教师活动】操作投影仪,提出“问题探究” ,组织学生讨论. 【学生活动】小组讨论,发表意见: “由三角形全等条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角 对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了. ” 【媒体使用】投影显示“问题探究” . 【教学形式】分四人小组,合作、讨论. 【情境导入】如图 2 所示.

舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一 条直角边被花盆遮住无法测量.

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(1)你能帮他想个办法吗? (2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个 直角三角形是全等的” ,你相信他的结论吗? 【思路点拨】 (1)学生可以回答去量斜边和一个锐角,或直角边和一个锐角,?但对问题(2)学生难以 回答.此时,?教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考,并验证它们的方法,从而展开对 直角三角形特殊条件的探索. 【教师活动】操作投影仪,提出问题,引导学生思考、验证. 【学生活动】思考问题,探究原理. 做一做如课本图 11. 2─11: 任意画出一个 Rt△ABC, 使∠C=90°, 再画一个 Rt?△A′B′C′, B′C′ 使 =BC,A′B′=AB,把画好的 Rt△A′B′C′剪下,放到 Rt△ABC 上,?它们全等吗? 【学生活动】画图分析,寻找规律.如下: 已知:Rt△ABC 求作:Rt△A′B′C′,使 B′C′=BC,AB=AB; (1)画∠MC′N=90°。 (2)在射线 C′M 上取 B′C′BC。 (3)以 B′为圆心,AB 为半径画弧,交射线 C′N 于点 A′。 (4)连接 A′B′。

规律:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”. ) 二、典例精讲 【例 4】如课本图 11.2─12,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,求证 BC=AD.

【思路点拨】欲证 BC=?AD,?首先应寻找和这两条线段有关的三角形,?这里有△ABD 和△BAC,△ADO 和 △BCO,O 为 DB、AC 的交点,经过条件的分析,△ABD 和△BAC?具备全等的条件. 【教师活动】引导学生共同参与分析例 4. 证明:∵AC⊥BC,BD⊥BD,

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∴∠C 与∠D 都是直角. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中,

? AB ? BA, ? ? AC ? BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) . ∴BC=AD. 【学生活动】参与教师分析,提出自己的见解. 【评析】在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明. 【媒体使用】投影显示例 4. 三、拓展延伸 课本 P14 第练习 1、2 题. 【探研时空】 如图 3,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度 AC?与右边滑梯水平方面的长度 DF 相等,两个滑梯的 倾斜角∠ABC 和∠DEF 的大小有什么关系?

下面是三个同学的思考过程,你能明白他们的意思吗?(如图 4 所示)

? BC ? EF , AC ? DF →△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°. ? ??CAB ? ?FDE ? 90?
有一条直角边和斜边对应相等,所以△ABC 与△DEF 全等.这样∠ABC=∠DEF,也就是∠ABC+∠DEF=90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中,BC=EF,AC=DF,因此这两个三角形是全等的,这样∠ABC=∠DEF,所以∠ABC 与∠DEF 是互余的. 【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个学 生自己独立说明理由,只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了. 四、课堂小结 本节课通过动手操作,在合作交流、比较中共同发现问题,培养直观发现问题的能力,在反思中发现新 知,体会解决问题的方法.通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求,可知判定直角三角形全等有五 种方法. (教师让学生讨论归纳) 五、布置作业 1.课本 P16 习题 11.2 第 7,8 题,P18 阅读与思考.
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板书设计 把黑板分成三份,重复使用,左边部分板书直角三角形判定定理等有关概念,中间部分板书“探究” , 右边部分板书例题.

11.3 角的平分线的性质(1)

教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法,然后用三角形全等证明角平分线的性质定理. 教学目标 1.知识与技能 ? ? ? 运用尺规作图作出已知角的角平分线; 结合实例说明角平分线定理及逆定理并用符号语言表示; 用三角形全等证明角平分线定理及逆定理.

2.过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法. 3.情感、态度与价值观 激发学生的几何思维,启迪他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力. 重、难点与关键 1.重点: ? ? ? 运用尺规作图作出已知角的角平分线; 结合实例说明角平分线定理及逆定理并用符号语言表示; 用三角形全等证明角平分线定理及逆定理. 2.难点: ? ? 运用尺规作图作出已知角的角平分线; 用三角形全等证明角平分线定理及逆定理.

3.?关键:可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论.利用全等来证明它 的逆定理. 教具准备 投影仪、制作如课本图 11.3─1 的教具.

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教学方法 采用“问题解决”的教学方法,让学生在实践探究中领会定理. 教学过程 一、创设情境,导入新课 【问题探究】 (投影显示) 如课本图 11.3─1,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC,将点 A 放在角的顶点,AB 和 AD 沿着角 的两边放下,沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是角平分线,你能说明它的道理吗? 【教师活动】首先将“问题提出” ,然后运用教具(如课本图 11.3─1?)直观地进行讲述,提出探究的 问题. 【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等条件“边边边”课本图 11.3─1 判定法,可以说明这 个仪器的制作原理. 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题. 操作观察: 已知:∠AOB. 求法:∠AOB 的平分线. 作法: (1)以 O 为圆心,适当长为半径作弧,交 OA 于 M,交 OB 于 N. (2)分别以 M、N 为圆心,大于

1 MN 2

的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部交于点 C. (3)作射线 OC,射线 OC?即为所求(课本图 11.3─2) . 【学生活动】动手制图(尺规) ,边画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知. 【媒体使用】投影显示学生的“画图” . 【教学形式】小组合作交流. 二、拓展延伸 课本 P19 练习. 【学生活动】动手画图,从中得到:直线 CD 与直线 AB 是互相垂直的. 【探研时空】 (投影显示) 如课本图 11.3─3,将∠AOB 对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边) ,然后展开,观察 两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?

【教师活动】操作投影仪,提出问题,提问学生.

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【学生活动】实践感知,互动交流,得出结论, “从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB 的平分线 OC, 第二次折叠形成的两条折痕 PD、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离,这两个距离相等. ” 论证如下: 已知:OC 是∠AOB 的平分线,点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D、E(课本图 11.3─4) 求证:PD=PE. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中,

??PDO ? ?PEO, ? ??AOC ? ?BOC , ?OP ? OP, ?
∴△PDO≌△PEO(AAS) ∴PD=PE 【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等. (性质定理) 【教学形式】师生互动,生生互动,合作交流. 三、典例精讲 【例】如课本图 11.3─6,△ABC 的角平分线 BM,CN 相交于点 P,求证:点 P?到三边 AB,BC,CA 的距 离相等.

【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们.所以 这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点 P 到三边的距离是哪些线段,那么图中画 实线,在证明中就可以不写. 【教师活动】操作投影仪,显示例子,分析例子,引导学生参与. 证明:过点 P 作 PD、PE、PF 分别垂直于 AB、BC、CA,垂足为 D、E、F. ∴BM 是△ABC 的角平分线,点 P 在 BM 上. ∴PD=PE 同理 PE=PF ∴PD=PE=PF 即点 P 到边 AB、BC、CA 的距离相等.

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【评析】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证 明过程. 【学生活动】参与教师分析,主动探究学习. 四、合作探究 【问题思索】 (投影显示) 如课本图 11.3─5,要在 S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,?离公路与铁路交叉处 500 米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为 1:20000)?

【学生活动】四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知:角平分线上的点到角 的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边的距离相等的点也在角的平分线. 证明如下: 已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D、E,PD=PE. 求证:点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明:经过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中,

?OP ? OP, ? ? PD ? PE ,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) ∴∠AOC=∠BOC, ∴OC 是∠AOB 的平分线. 【教师活动】启发、引导学生;组织小组之间的交流、讨论;帮助“学困生” . 【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. (判定定理) 【教学形式】自主、合作、交流,在教师的引导下,比较上述两个结论,弄清其条件和结论,加深认识.

五、拓展延伸 课本 P22 练习. 六、课堂小结 1.学生自行小结角平分线性质及其逆定理,和它们的区别.
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2.说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题,?说明这一点是三角形的内切圆 的圆心(为以后学习设伏) . 七、布置作业 1.课本 P22 习题 11.3 第 1、2、3 题. 板书设计 把黑板分成三部分,左边部分板书概念、定理等,中间部分板书探究,右边部分板书例题,重复使用时, 中间部分和右边部分板书练习题.

第十二章轴对称 12.1 轴对称(一)
教学目标 1.知识与技能 ? ? ? 识别轴对称图形. 找出轴对称图形的对称轴. 区分轴对称图形和两个图形成轴对称

2.过程与方法 经历识别、探索轴对称的过程,能够找出给定轴对称图形的对称轴. 3.情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力,体会数学的对称美. 重、难点与关键
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1.重点: ? ? ? 识别轴对称图形. 找出轴对称图形的对称轴. 区分轴对称图形和两个图形成轴对称

2.难点: ? ? ? 识别轴对称图形. 找出轴对称图形的对称轴. 区分轴对称图形和两个图形成轴对称 3.关键: 教学过程 一、自主探究 观察下列图片有些什么共同特征.

小结 1:这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后,左右两部分能够完全重合. 对称现象无处不在,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,?甚至日常生活用品,人们都可以 找到对称的例子.现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子. 我们的黑板、课桌、椅子等. 我们的身体,还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的. 如课本的图 12.1.2,把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断) ,?再打开这张对折的纸, 就剪出了美丽的窗花.观察得到的窗花和图 12.1.1 中的图形,你能发现它们有什么共同的特点吗? 窗花可以沿折痕对折,使折痕两旁的部分完全重合.不仅窗花可以沿一条直线对折,使直线两旁重合, 上面图 12.1.1 中的图形也可以沿一条直线对折,使直线两旁的部分重合. 小结 2:如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这 条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)?对称. 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后,我们来做一做. 取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案,?将纸打开后铺平,你得到 两个成轴对称的图案了吗?与同伴进行交流. 结论:位于折痕两侧的图案是对称的,它们可以互相重合. 由此可以得到轴对称图形的特征:一个图形沿一条直线折叠后,折痕两侧的图形完全重合.

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接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有一条,但有的轴对称图形的对 称轴却不止一条,有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。 二、合作交流 1.下列各图,找出它们的对称轴。

结果:图(1)有四条对称轴;图(2)有四条对称轴;图(3)有无数条对称轴;图(4)有两条对称轴; 图(5)有七条对称轴.

(1)(2)(3)(4)(5)

展示挂图,大家想一想,你发现了什么?

像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这 条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.

三、随堂练习:课本 P30 练习和 P31 练习 四、课时小结

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这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步探讨了轴对称的特点,区分 了轴对称图形和两个图形成轴对称. 五、作业:课本 P36 习题 12.1 第 1、2、6、7、8 题. 六、阅读思考 成轴对称的两个图形全等吗?如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗? 这两个图形对称吗? 在硬纸板上画两个成轴对称的图形,再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合.再在硬纸板上画出一个 轴对称图形,然后将该图形剪下来,再沿对称轴剪开,看两部分是否能够完全重合. 结论:成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形全等,并且也 是成轴对称的. 轴对称是说两个图形的位置关系,而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形. 轴对称的两个图形和轴对称图形,都要沿某一条直线折叠后重合;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部 分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;反过来,?如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么 它就是一个轴对称图形. 板书设计 §12.1 轴对称(一) 一、轴对称:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫轴对 称图形,这条直线叫对称轴. 二、两个图形成轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就 说这两个图形关于这条直线对称.

12.1 轴对称(二)
教学内容 本节课主要内容学习轴对称和垂直平分线的性质. 教学目标 1.知识与技能 ? ? 结合图形说明两个图形成轴对称性的性质以及轴对称图形的性质. 举例说明线段垂直平分线的性质.

2.过程与方法 经历探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间思维能力. 3.情感、态度与价值观
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通过对轴对称以及垂直平分线的学习和探索,体验数学的对称美. 重、难点与关键 1.重点: ? ? 区分两个图形成轴对称性和轴对称图形的差别. 作出线段的垂直平分线两个主要步骤.

2.难点: ? ? 区分两个图形成轴对称性和轴对称图形的差别. 作出线段的垂直平分线两个主要步骤.

3.关键: ? 作线段的垂直平分线分两步:第一步先找线段的中点,达到“平分” ;第二步过中点作垂线,达到

“垂直” . 教学过程 一、自主探究 观看投影并思考.

如图, △ABC 和△A′B′C′关于直线 MN 对称, A′、 点 B′、 C′分别是点 A、 C 的对称点, ?B、 线段 AA′、 BB′、CC′与直线 MN 有什么关系? 图中 A、A′是对称点,AA′与 MN 垂直,BB′和 CC′也与 MN 垂直. AA′、BB′和 CC′与 MN 除了垂直以外还有什么关系吗? △ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称,点 A′、B′、C′分别是点 A、B、C 的对称点,设 AA′交对称 轴 MN 于点 P, 将△ABC 和△A′B′C′沿 MN 对折后, A 与 A′重合, 点 于是有 AP=A′P, ∠MPA=∠MPA′=90°. 所 以 AA′、BB′和 CC′与 MN 除了垂直以外,MN 还经过线段 AA′、BB′和 CC′的中点. 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这 条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 自己动手画一个轴对称图形,并找出两对称点,看一下对称轴和两对称点连线的关系. 我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样,?对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,

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并且垂直于这条线段. 归纳图形轴对称的性质: 如果两个图形关于某条直线对称,?那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴 对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. 二、合作交流 【教师活动】 问题提出:你能作出给定线段的垂直平分线吗? 【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图. 尺规作图: 已知:线段 AB 求作:线段 AB 的垂直平分线 步骤: 1.以点 B 为圆心,以适当的长度(超过线段 AB 的一半)为半径作圆弧 a1. 2.以点 A 为圆心,以适当的长度(超过线段 AB 的一半)为半径作圆弧 a2,交 a1 与点 C,点 D. 3.连接线段 CD,交 AB 于点 E,标记垂足 E.

问题 1:你能用前面所学的知识解释上述作法吗? 【教师活动】引导学生从上述图形中擦除多余的线条,抽象出基本图形,并指出已知、求证. 【学生活动】通过独立思考、小组合作,证明 AE=BE,CD⊥AB。 思路:先用“SSS”证明△ACD≌△BCD,得到∠ACD=∠BCD,再证明△ACE≌△BCE,从而得到 AE=BE,CD⊥ AB.
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追问:下列方法也能作出线段的垂直平分线,你能解释这种方法吗?

下面我们来探究线段垂直平分线的性质. [探究 1] 如下图.木条 L 与 AB 钉在一起,L 垂直平分 AB,P1,P2,P3,?是 L 上的点,?分别量一量点 P1,P2,P3,? 到 A 与 B 的距离,你有什么发现?

1.用平面图将上述问题进行转化,先作出线段 AB,过 AB 中点作 AB 的垂直平分线 L,在 L 上取 P1、P2、 P3?,连结 AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2? 2.作好图后,用直尺量出 AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2?讨论发现什么样的规律.
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探究结果: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即 AP1=BP1,AP2=BP2,? 证明. 证法一:利用判定两个三角形全等. 如下图,在△APC 和△BPC 中,

? PC ? PC ? ??PCA ? ?PCB ? Rt ? ? AC ? BC ?

? △APC≌△BPC ? PA=PB.
证法二:利用轴对称性质. 由于点 C 是线段 AB 的中点, 将线段 AB 沿直线 L 对折, 线段 PA 与 PB 是重合的, ?因此它们也是相等的. 带 着探究 1 的结论我们来看下面的问题. [探究 2] 如右图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”“箭”通过木棒中央的孔射出去, , 怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?为什么?

活动:1.用平面图形将上述问题进行转化.作线段 AB,取其中点 P,过 P 作 L,在 L 上取点 P1、P2,连 结 AP1、AP2、BP1、BP2.会有以下两种可能.

2.讨论:要使 L 与 AB 垂直,AP1、AP2、BP1、BP2 应满足什么条件? 探究过程:

1.如上图甲,若 AP1≠BP1,那么沿 L 将图形折叠后,A 与 B 不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即 L 与 AB 不垂直. 2.如上图乙,若 AP1=BP1,那么沿 L 将图形折叠后,A 与 B 恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即 L 与 AB 重 合.当 AP2=BP2 时,亦然.
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探究结论: 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.也就是说在[?探究 2]图中,只要使箭 端到弓两端的端点的距离相等,就能保持射出箭的方向与木棒垂直. [师]上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.?所以线段的垂 直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. 三、随堂练习:课本 P34 练习 1、2. 四、课时小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,?了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用 这些性质来解决问题. 五、课后作业:课本 P36 习题 12.1 第 3、4、9 题. 板书设计 §12.1 轴对称(二) 一、复习:轴对称图形. 二、线段垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做线段的垂直平分线. 三、图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段 的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. 四、线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这 条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.

§12.2.1 作轴对称图形
教学目标 1.知识与技能 ? ? 结合实例说明轴对称变换的含义. 作出一个图形关于一条直线的轴对称图形的步骤.

2.过程与方法 经历动手作出一个图形关于一条直线的轴对称图形的过程,学会解决简单的几何变换问题. 3.情感、态度与价值观 培养空间几何思维能力,体验数学的对称美. 重、难点及关键
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1.重点: ? ? 轴对称变换的定义. 能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.

2.难点: ? ? 作出简单平面图形关于直线的轴对称图形. 利用轴对称进行一些图案设计.

3.关键: 图形关于直线对称的问题可以转化为点关于直线对称的问题. Ⅰ.设置情境,引入新课 在前一个章节,我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题.在上节课的作业中,我 们有个要求,让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法,现在来看一下同学们完成的怎么样. 将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案,将纸打开后铺平,?得到的两个图案是关于折痕成轴对 称的图形. 准备一张质地较软,吸水性能好的纸或报纸,在纸的一侧上滴上一滴墨水,将纸迅速对折,压平,并且 手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平,?位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.这节课我们就是来作简 单平面图形经过轴对称后的图形. Ⅱ.导入新课 ?由我们已经学过的知识知道,连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 类似地,我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过程,可以得到美丽的图案. 对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.大家看大屏幕,从电脑演示的 图案变化中找出对称轴的方向和位置,体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途.

下面,同学们自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸折叠描图,?再打开看看,得到了什么?改变 折痕的位置并重复几次,又得到了什么?同学们互相交流一下. 结论:由一个平面图形呆以得到它关于一条直线 L 对称的图形,?这个图形与原图形的形状、大小完全 相同;新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线 L 的对称点; 连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可 以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.
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取一张长 30 厘米,宽 6 厘米的纸条,将它每 3 厘米一段,?一正一反像“手风琴”那样折叠起来,并在 折叠好的纸上画上字母 E,用小刀把画出的字母 E 挖去,拉开“手风琴” ,你就可以得到以字母 E 为图案的花 边.回答下列问题. (1)在你所得的花边中,相邻两个图案有什么关系??相间的两个图案又有什么关系?说说你的理由. (2)如果以相邻两个图案为一组,每一组图案之间有什么关系??三个图案为一组呢?为什么? (3)在上面的活动中,如果先将纸条纵向对折,再折成“手风琴” ,?然后继续上面的步骤,此时会得 到怎样的花边?它是轴对称图形吗?先猜一猜,再做一做. 注:为了保证剪开后的纸条保持连结,画出的图案应与折叠线稍远一些. Ⅲ.随堂练习: (一)P41 练习 1、2。 (二)如图(1) ,将一张正六边形纸沿虚线对折折 3 次,得到一个多层的 60°角形纸,用剪刀在折叠好 的纸上随意剪出一条线,如图(2) . (1)猜一猜,将纸打开后,你会得到怎样的图形?

(2)这个图形有几条对称轴? (3)如果想得到一个含有 5 条对称轴的图形,你应取什么形状的纸?应如何折叠? 答案: (1)轴对称图形. (2)这个图形至少有 3 条对称轴. (3)取一个正十边形的纸,沿它通过中心的五条对角线折叠五次,?得到一个多层的 36°角形纸,用剪 刀在叠好的纸上任意剪出一条线,?打开即可得到一个至少含有 5 条对称轴的轴对称图形. (三)回顾本节课内容,然后小结. Ⅳ.课时小结 本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形,?并且利用轴对称变换来设 计一些美丽的图案.在利用轴对称变换设计图案时,要注意运用对称轴位置和方向的变化,使我们设计出更 新疑独特的美丽图案. Ⅴ.动手并思考 (一)如下图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,?得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上 的高线对折,将得到的角形沿黑色线剪开,去掉含 90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺平.

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(1)你会得怎样的图案?先猜一猜,再做一做. (2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试. (3)如果将正方形纸按上面方式折 3 次,然后再沿圆弧剪开,去掉较小部分,?展开后结果又会怎样? 为什么? (4)当纸对折 2 次后,剪出的图案至少有几条对称轴?3 次呢? 答案: (1)得到一个有 2 条对称轴的图形. (2)按照上面的做法,实际上相当于折出了正方形的 2 条对称轴;因此(1)?中的图案一定有 2 条对 称轴. (3)按题中的方式将正方形对折 3 次,相当于折出了正方形的 4 条对称轴,?因此得到的图案一定有 4 条对称轴. (4)当纸对折 2 次,剪出的图案至少有 2 条对称轴;当纸对折 3 次,?剪出的图案至少有 4 条对称轴. (二)自己设计并制作一个花边. 作业:P45 习题 12.2 第 1、5 题 板书设计 §12.2.1.1 作轴对称图形 一.如何由一个平面图形得到它的轴对称图形.二。利用轴对称设计图案

12.2.2 用坐标表示轴对称
教学目标 1.知识与技能 ? ? ? 在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点. 写出直角坐标系中点关于坐标轴对称的点的坐标. 写出直角坐标系中点关于特殊直线(平行于坐标轴)对称的点的坐标.

2.过程与方法 在找关于坐标轴对称的点的坐标之间的规律中,养成良好的自觉探索的习惯. 3.情感、态度与价值观 在点与坐标的相互转化中体验数形结合的思想,感受数学的趣味性.

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重、难点与关键 1.重点: ? ? ? 在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点. 写出直角坐标系中点关于坐标轴对称的点的坐标. 写出直角坐标系中点关于特殊直线(平行于坐标轴)对称的点的坐标.

2.难点: ? ? 写出直角坐标系中点关于坐标轴对称的点的坐标. 写出直角坐标系中点关于特殊直线(平行于坐标轴)对称的点的坐标.

3.关键: ? ? 点与点关于直线对称可以转化为两点连线的垂直平分线的问题. 找能够确定图形特征的关键点进行对称.

教学过程: 一、复习轴对称图形的有关性质 二、新授:1.学生探索: 点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标(x,-y);点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标(-x,y);点(x,y)关于原 点对称的点的坐标(-x,-y) 2.例 3 四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4),分别作出与 四边形 ABCD 关于 x 轴和 y 轴对称的图形. (1)归纳:与已知点关于 y 轴或 x 轴对称的点的坐标的规律; (2)学生画图 (3)对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标,描出并顺次连接这些特殊 点,就可以得到这个图形的轴对称图形. 3、探究问题 分别作出△PQR 关于直线 x=1(记为 m)和直线 y=-1(记为 n)对称的图形,你能发现它们的对应点的坐标 之间分别有什么关系吗? (1)学生画图,由具体的数据,发现它们的对应点的坐标之间的关系 (2)若△P 1 Q 1 R 1 中 P 1 (x 1 ,y 1 )关于 x=1(记为 m)轴对称的点的坐标 P 2 (x 2 ,y 2 ),



x1 ? x 2 ? m ,y 1 =y 2 . 2

若△P 1 Q 1 R 1 中 P 1 (x 1 ,y 1 )关于 y=-1(记为 n)轴对称的点的坐标 P 2 (x 2 ,y 2 ),

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则 x 1 =x 2 ,

y1 ? y 2 =n. 2

三、练习:课本 P44 第 1、2、3 题 四、作业:课本 P45 第 2、3、4、6 题

12.3.1.1 等腰三角形(一)
教学目标 1.知识与技能 ? ? ? 举例说明等腰三角形的概念及性质并能用符号语言表示. 等腰三角形三线合一的性质的证明及其应用. 等腰三角形边与角的关系.

2.过程与方法 通过等腰三角形的性质的探索和学习,培养推理能力. 3.情感、态度与价值观 通过对图形的观察、发现,激发学习兴趣. 重、难点与关键 1.重点: ? ? ? 举例说明等腰三角形的概念及性质并能用符号语言表示. 等腰三角形三线合一的性质的证明及其应用. 等腰三角形边与角的关系.

2.难点: 等腰三角形三线合一的性质的证明及其应用. 3.关键: ? ? 点与点关于直线对称可以转化为两点连线的垂直平分线的问题. 找能够确定图形特征的关键点进行对称.

Ⅰ.提出问题,创设情境 在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,?并且能够作出一个简单平面图形关 于某一直线的轴对称图形,?还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角 度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形? 有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是. 问题:那什么样的三角形是轴对称图形?
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满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,?也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重 合的就是轴对称图形. 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形. Ⅱ.导入新课:要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形.

A

A

B I

B I

C

作一条直线 L,在 L 上取点 A,在 L 外取点 B,作出点 B 关于直线 L 的对称点 C,连结 AB、BC、CA,则可 得到一个等腰三角形. 等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两 腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶 角和底角. 思考: 1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴. 2.等腰三角形的两底角有什么关系? 3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗? 4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗??底边上的高所在的直线呢? 结论:等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等, 所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线. 要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系. 沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角 相等,?而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高. 由此可以得到等腰三角形的性质: 1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”. ) 2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、?底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”. ) 由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利 用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程) . 如右图,在△ABC 中,AB=AC,作底边 BC 的中线 AD,因为

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? AB ? AC , ? ? BD ? CD, ? AD ? AD, ?
所以△BAD≌△CAD(SSS) . 所以∠B=∠C. ]如右图,在△ABC 中,AB=AC,作顶角∠BAC 的角平分线 AD,因为

A

B

D

C

? AB ? AC , ? ??BAD ? ?CAD, ? AD ? AD, ?
所以△BAD≌△CAD. 所以 BD=CD,∠BDA=∠CDA=

A

B

D

C

1 ∠BDC=90°. 2
A

[例 1]如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD, 求:△ABC 各角的度数. 分析:根据等边对等角的性质,我们可以得到 ∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,? 再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A. 再由三角形内角和为 180°,?就可求出△ABC 的三个内角. 把∠A 设为 x 的话,那么∠ABC、∠C 都可以用 x 来表示,这样过程就更简捷. 解:因为 AB=AC,BD=BC=AD, 所以∠ABC=∠C=∠BDC. ∠A=∠ABD(等边对等角) . 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 于是在△ABC 中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得 x=36°.在△ABC 中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°. [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识. Ⅲ.随堂练习:1.课本 P51 练习 1、2、3.2.阅读课本 P49~P51,然后小结. Ⅳ.课时小结

D B C

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的 两个底角相等(等边对等角) ,等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的 中线,又是底边上的高.
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我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们. Ⅴ.作业:课本 P56 习题 12.3 第 1、2、3、4 题. 板书设计 12.3.1.1 等腰三角形 一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质:1.等边对等角 2.三线合一

12.3.1.1 等腰三角形(二)
教学目标 ? ? ? 复述并举例说明等腰三角形的判定定理及推论; 推导证明等腰三角形的判定定理及推论; 应用等腰三角形的性质与判定证明线段或角的相等关系;

2.过程与方法 通过等腰三角形的性质的探索和学习,培养推理能力. 3.情感、态度与价值观 通过对图形的观察、发现,激发学习兴趣. 教学重点: 等腰三角形的判定定理及推论的运用 教学难点: ? ? 推导证明等腰三角形的判定定理及推论; 应用等腰三角形的性质与判定证明线段或角的相等关系;

关键 三线合一以及三角形内角和的应用; 教学过程: 一、复习等腰三角形的性质 二、新授: 提出问题,创设情境 出示投影片.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树 (B 点)为 B 标, 然后在这棵树的正南方(南岸 A 点抽一小旗作标志)沿南偏东 60°方向走 一段距离到 C 处时,测得∠ACB 为 30°,这时,地质专家测得 AC 的长度就可知河流宽
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度. 学生们很想知道, 这样估测河流宽度的根据是什么?带着这个问题, 引导学生学习 “等腰三角形的判定” . 引入新课 1.由性质定理的题设和结论的变化,引出研究的内容——在△ABC 中,苦∠B=∠C,则 AB=AC 吗? 作一个两个角相等的三角形,然后观察两等角所对的边有什么关系? 2.引导学生根据图形,写出已知、求证. 3.小结,通过论证,这个命题是真命题,即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称). 强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据,类似于性质定理可简称 “等角对等边” . 4.引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据. 例题与练习 1.如图 2

其中△ABC 是等腰三角形的是[] 2.①如图 3,已知△ABC 中,AB=AC.∠A=36°,则∠C______(根据什么?). ②如图 4,已知△ABC 中,∠A=36°,∠C=72°,△ABC 是______三角形(根据什么?). ③若已知∠A=36°,∠C=72°,BD 平分∠ABC 交 AC 于 D,判断图 5 中等腰三角形有______. ④若已知 AD=4cm,则 BC______cm. 3.以问题形式引出推论 l______. 4.以问题形式引出推论 2______. 例:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,求证这个三角形是等腰三角形. 分析:引导学生根据题意作出图形,写出已知、求证,并分析证明. 练习:5.(l)如图 6,在△ABC 中,AB=AC,∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 F,过 F 作 DE//BC,交 AB 于点 D,交 AC 于 E.问图中哪些三角形是等腰三角形? (2)上题中,若去掉条件 AB=AC,其他条件不变,图 6 中还有等腰三角形吗? 练习:P53 练习 1、2、3。 课堂小结 1.判定一个三角形是等腰三角形有几种方法?

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2.判定一个三角形是等边三角形有几种方法? 3.等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系? 4.现在证明线段相等问题,一般应从几方面考虑? 布置作业:P56 页习题 12.3 第 5、6 题

12.3.2等边三角形(一)
教学目的 1.知识与技能 ? ? ? 熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度; 举例说明等边三角形的性质; 应用“三线合一”解决简单的角度、线段长度问题;

2.过程与方法 通过等边三角形的性质的探索和学习,培养推理能力. 3.情感、态度与价值观 通过对图形的观察、发现,激发学习兴趣. 重、难点与关键 1.重点: 应用“三线合一”解决简单的角度、线段长度问题; 2.难点: 应用“三线合一”解决简单的角度、线段长度问题; 3.关键: 等边三角形是特殊的等腰三角形; 教学过程 一、复习巩固 1.叙述等腰三角形的性质,它是怎么得到的? 等腰三角形的两个底角相等,也可以简称“等边对等角” 。把等腰三角形对折,折叠两部分是互相重合 的,即 AB 与 AC 重合,点 B 与点 C 重合,线段 BD 与 CD 也重合,所以∠B=∠C。 等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边上的高线互相重合,简称“三线合一” 。由于 AD 为等腰 三角形的对称轴, 所以 BD=CD, 为底边上的中线; AD ∠BAD=∠CAD, 为顶角平分线, AD ∠ADB=∠ADC=90°,

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AD 又为底边上的高,因此“三线合一” 。 2.若等腰三角形的两边长为 3 和 4,则其周长为多少? 二、新课 在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边都相等。我们把三条边都 相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形具有什么性质呢? 1.请同学们画一个等边三角形,用量角器量出各个内角的度数,并提出猜想。 2.你能否用已知的知识,通过推理得到你的猜想是正确的? 等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A B=C,又由∠A+∠B+∠C=180°,从而推出∠A=∠B=∠C=60°。 3.上面的条件和结论如何叙述? 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60°。 等边三角形是轴对称图形吗?如果是,有几条对称轴? 等边三角形也称为正三角形。 例 1.在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上的中点,∠B=30°,求∠1 和∠ADC 的度数。 分析:由 AB=AC,D 为 BC 的中点,可知 AB 为 BC 底边上的中线,由“三线合一”可知 AD 是△ABC 的顶 角平分线,底边上的高,从而∠ADC=90°,∠l=∠BAC,由于∠C=∠B=30°,∠BAC 可求,所以∠1 可求。 问题 1:本题若将 D 是 BC 边上的中点这一条件改为 AD 为等腰三角形顶角平分线或底边 BC 上的高线,其 它条件不变,计算的结果是否一样? 问题 2:求∠1 是否还有其它方法? 三、练习巩固 1.判断下列命题,对的打“√” ,错的打“?” 。 a.等腰三角形的角平分线,中线和高互相重合() b.有一个角是 60°的等腰三角形,其它两个内角也为 60°() 2.如图(2),在△ABC 中,已知 AB=AC,AD 为∠BAC 的平分线,且∠2=25°,求∠ADB 和∠B 的度数。 =∠

3.P54 练习 1、2。
45

四、小结 由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等,且都为 60°。 “三线合一”性质在实际应用中, 只要推出其中一个结论成立,其他两个结论一样成立,所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。 五、作业:1.课本 P57 第7,9题。 2、补充:如图(3),△ABC 是等边三角形,BD、CE 是中线,求∠CBD,∠BOE,∠BOC,∠EOD 的度数。

12.3.2 等边三角形(二)
教学目的 1.知识与技能 ? ? ? 熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度; 举例说明等边三角形的性质; 应用“三线合一”解决简单的角度、线段长度问题;

2.过程与方法 通过等边三角形的性质的探索和学习,培养推理能力. 3.情感、态度与价值观 通过对图形的观察、发现,激发学习兴趣. 重、难点与关键 1.重点: 应用“三线合一”解决简单的角度、线段长度问题; 2.难点: 应用“三线合一”解决简单的角度、线段长度问题; 3.关键: 等边三角形是特殊的等腰三角形; 教学目标 掌握等边三角形的性质和判定方法. 培养分析问题、解决问题的能力. 教学重点:等边三角形的性质和判定方法. 教学难点:等边三角形性质的应用 教学过程 创设情境,提出问题 回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识
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1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 2.等边三角形每一个角相等,都等于 60° 3.三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 其中 1、2 是等边三角形的性质;3、4 的等边三角形的判断方法. 例题与练习 1.△ABC 是等边三角形,以下三种方法分别得到的△ADE 都是等边三角形吗,为什么? ①在边 AB、AC 上分别截取 AD=AE. ②作∠ADE=60°,D、E 分别在边 AB、AC 上. ③过边 AB 上 D 点作 DE∥BC,交边 AC 于 E 点. 2.已知:如右图,P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点, ,并且 PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAC 的大小.

分析:由已知显然可知三角形 APQ 是等边三角形,每个角都是 60°.又知△APB 与△AQC 都是等腰三 角形,两底角相等,由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°. 1. P56 页练习 1、2 课堂小结:1.等腰三角形和性质;等腰三角形的条件 布置作业:1.P58 页习题 12.3 第 ll 题. 2.已知等边△ABC,求平面内一点 P,满足 A,B,C,P 四点中的任意三点连线都构成等腰三角形.这 样的点有多少个?

12.3.2 等边三角形(三)
教学过程 一、 二、 复习等腰三角形的判定与性质 新授:

1.等边三角形的性质:三边相等;三角都是 60°;三边上的中线、高、角平分线相等 2.等边三角形的判定: 三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形; 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
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注意:推论 1 是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论 2 说明在等腰三角形中,只要有一 个角是 60 ,不论这个角是顶角还是底角,就可以判定这个三角形是等边三角形。推论 3 反映的是直角三角 形中边与角之间的关系. 3.由学生解答课本 148 页的例子; 4.补充:已知如图所示,在△ABC 中,BD 是 AC 边上的中线,DB⊥BC 于 B, ∠ABC=120 ,求证:AB=2BC 分析由已知条件可得∠ABD=30 ,如能构造有一个锐角是 30 的直角三角形,斜边是 AB,30 角所对的边是与 BC 相等的线段,问题就得到解决了. 证明:过 A 作 AE∥BC 交 BD 的延长线于 E ∵DB⊥BC(已知) ∴∠AED=90 (两直线平行内错角相等) 在△ADE 和△CDB 中
o o o o o 0

B

??E ? ?CBD(已证) ? ??ADE ? ?BDC(对顶角相等) ? AD ? CD (已知) ?
∴△ADE≌△CDB(AAS) ∴AE=CB(全等三角形的对应边相等) ∵∠ABC=120 ,DB⊥BC(已知)∴∠ABD=30 在 Rt△ABE 中,∠ABD=30 ∴AE=
o o o

1 o AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于 30 , 2 1 AB 即 AB=2BC 2

那么它所对的直角边等于斜边的一半) ∴BC=

点评本题还可过 C 作 CE∥AB 5、训练:如图所示,在等边△ABC 的边的延长线上取一点 E,以 CE 为边作等边△CDE,使它与△ABC 位于直 线 AE 的同一侧,点 M 为线段 AD 的中点,点 N 为线段 BE 的中点,求证:△CNM 是等边三角形. 分析由已知易证明△ADC≌△BEC,得 BE=AD,∠EBC=∠DAE,而 M、N 分别为 BE、AD 的中点,于是有 BN=AM, 要证明△CNM 是等边三角形,只须证 MC=CN,∠MCN=60 ,所以要证△NBC≌△MAC,由上述已推出的结论,根 据边角边公里,可证得△NBC≌△MAC 证明:∵等边△ABC 和等边△DCE, ∴BC=AC,CD=CE, (等边三角形的边相等) ∠BCA=∠DCE=60 (等边三角形的每个角都是 60)
48
o o

∴∠BCE=∠DCA∴△BCE≌△ACD(SAS) ∴∠EBC=∠DAC(全等三角形的对应角相等) BE=AD(全等三角形的对应边相等) 又∵BN=

1 1 BE,AM= AD(中点定义) 2 2

∴BN=AM∴△NBC≌△MAC(SAS) ∴CM=CN(全等三角形的对应边相等)∠ACM=∠BCN(全等三角形的对应角相等) ∴∠MCN=∠ACB=60
o

∴△MCN 为等边三角形(有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形) 解题小结 1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这 种方法进行分析 2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得△MCN 是一个含 60 角的等腰 三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键. 三、小结本节知识 四、作业:课本 P58 页第 13,14 题
o

o

49

第十三章实数
平方根(1)
教学目标: ? ? ? 举例说明平方根的概念; 区分平方根与算术平方根,会用根号表示正数的算术平方根; 应用平方运算求某些非负数的算术平方根。

教学重点: ? 算术平方根的概念。

教学难点: ? 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

教学过程 一、情境导入 请同学们欣赏本节导图,并回答问题,学校要举行金秋美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积 为 25 dm 的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少 dm ?如果这块画
50
2

布的面积是 12dm ?这个问题实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题? 这就要用到平方根的概念,也就是本章的主要学习内容.这节课我们先学习有关算术平方根的概念. 二、导入新课: 1、提出问题: (书 P68 页的问题) 你是怎样算出画框的边长等于 5dm 的呢?(学生思考并交流解法) 这个问题相当于在等式扩=25 中求出正数 x 的值. 一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x =a,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.a 的算术平方 根记为 a ,读作“根号 a” 叫做被开方数.规定:0 的算术平方根是 0. ,a 也就是,在等式 x =a(x≥0)中,规定 x= a . 2、试一试:你能根据等式: 12 =124 说出 124 的算术平方根是多少吗?并用等式表示出来. 3、想一想:下列式子表示什么意思?你能求出它们的值吗? 建议:求值时,要按照算术平方根的意义,写出应该满足的关系式,然后按照算术平方根的记法写出对 应的值.例如 25 表示 25 的算术平方根。 4、例 1 求下列各数的算术平方根: (1)100;(2)1;(3) 三、练习 P69 练习 1、2 四、探究: (课本第 69 页) 怎样用两个面积为 1 的小正方形拼成一个面积为 2 的大正方形? 方法 1:课本中的方法,略; 方法 2:
2

2

2

2

49 ;(4)0.0001 64

可还有其他方法,鼓励学生探究。 问题:这个大正方形的边长应该是多少呢? 大正方形的边长是 2 ,表示 2 的算术平方根,它到底是个多大的数?你能求出它的值吗? 建议学生观察图形感受 2 的大小.小正方形的对角线的长是多少呢?(用刻度尺测量它与大正方形的 边长的大小)它的近似值我们将在下节课探究. 五、小结: 1、这节课学习了什么呢? 2、算术平方根的具体意义是怎么样的?

51

3、怎样求一个正数的算术平方根 六、课外作业: P75习题14.1活动第1、2、3题

平方根(2)
教学目标: ? ? ? ? 会用计算器求一个数的算术平方根; 举例说明被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律. 应用夹值法求一个数的算术平方根的近似值. 举例说明“无限不循环小数”的含义。

教学重点: ? 夹值法及估计一个(无理)数的大小。

教学难点: ? 夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想。

教学过程 一、情境导入

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我们已经知道:正数 x 满足 x =a,则称 x 是 a 的算术平方根.当 a 恰是一个数的平方数时,我们已经能 求出它的算术平方根了,例如, 16 =4;但当 a 不是一个数的平方数时,它的算术平方根又该怎祥求呢?例 如课本第 161 页的大正方形的边长 2 等于多少呢? 二、导入新课: 1、问题: 2 究竟有多大? 让学生思考讨论并估计大概有多大.由直观可知招大于 1 而小于 2,那么了 2 是 1 点几呢?(接下来由 试验可得到平方数最接近 2 的 1 位小数是 1.4,而平方数大于 2 且最接近的 1 位小数是 1.5, 2 大于 1.4 而 小于 1.5...... 关于 2 是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明.为无理数的概念的提出打下基础. 2、 (提出问题) :你对正数 a 的算术平方根 a 的结果有怎样的认识呢?

2

a 的结果有两种情:当 a 是完全平方数时, a 是一个有限数;当 a 不是一个完全平方数时, a 是一
个无限不循环小数。 3、例 2 用计算器求下列各式的值: (1) 3136(2) 2 (精确到 0.001) 注意计算器的用法,指出计算器上显示的也只是近似值,但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的 算术平方根的近似值. 例 3(课本 P71-72) . 要注意学生是否弄清了题意;然后分析解题思路:能否裁出符合要求的纸片,就是要比较两个图形的边 长,而由题意,易知正方形的边长是 20cm,所以只需求出长方形的边长,设长方形的长和宽分别是 3xcm 和 2xcm,求得长方形的长为 3 50 cm 后,接下来的问题是比较 3 50 和 20 的大小,这是个难点。 三、练习: 课本 P72 的练习 1、2 四、小结: 1、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值. 2、被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律是怎样的呢? 3、怎样的数是无限不循环小数?

53

五、作业课本: P75-76 习题 14.1 第 5、6、9、10 题;

平方根(3)
教学目标: ? 应用平方算法求一个数的平方根。

教学重点: ? 平方根的概念和求数的平方根。

教学难点: ? 平方根和算术平方根的联系与区别

教学过程 一、情境导入 如果一个数的平方等于 9,这个数是多少? 讨论:这样的数有两个,它们是 3 和-3.注意 ?? 3? ? 9 中括号的作用.
2
2 又如: x ?

4 ,则 x 等于多少呢? 25

二、新课: 1、平方根的概念:如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a 的平方根.即:如果 x =a,那么 x 叫做 a 的平方根. 求一个数的平方根的运算,叫做开平方. 例如: ? 3 的平方等于 9,9 的平方根是 ? 3,所以平方与开平方互为逆运算. 2、观察:课本 P73 的图 14.1-2. 图 14.1-2 中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程,揭示了开平方运算的本质.并根据 这个关系说出 1,4,9 的平方根. 例 4 求下列各数的平方根。 (1)100(2)
2

9 (3)0.25 16

(注意书写格式) 3、按照平方根的概念,请同学们思考并讨论下列问题: 正数的平方根有什么特点?0 的平方根是多少?负数有平方根吗?
54

一个是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果,一个是负数没有平方根,即负数不能进 行开平方运算,符号:正数 a 的算术平方根可用 a 表示;正数 a 的负的平方根可用- a 表示. 例 5 求下列各式的值。 (1) 144 , (2)- 0.81 , (3) ?

121 196

(4) 562 ,

? 56?

2

归纳:平方根和算术平方根两者既有区别又有联系.区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根 只有一个;联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负 平方根。 三、练习 课本 P75 练习 1、2、3 四、小结: 1、什么叫做一个数的平方根? 2、正数、0、负数的平方根有什么规律? 3、怎样求出一个数的平方根?数 a 的平方怎样表示? 五、作业 P75-76 习题 14.1 第 3、4、7、8、14、12 题。

立方根(1)
教学目标: ? ? ? 举例说明立方根的概念; 应用根号表示一个数的立方根; 应用立方运算求某些数的立方根.

教学重点: ? 立方根的概念和求法。

教学难点: ? 立方根与平方根的区别。

教学过程 一、情境导入: 问题:要制作一种容积为 27m3 的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少? 设这种包装箱的边长为 xm,则 x =27 这就是求一个数,使它的立方等于 27. 因为 3 =27,所以 x=3.即这种包装箱的边长应为 3m
3 3

55

二、新课: 1、归纳:如果一个数的立方等于 a ,这个数叫做 a 的立方根(也叫做三次方根) ,即如果 x ? a ,那么
3

x 叫做 a 的立方根
2、探究:根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点? 因为 2 ? 8 ,所以 8 的立方根是(2)
3

因为 ? 0.5 ? ? 0.125 ,所以 0.125 的立方根是( 0.5 )
3

因为 ? 0 ? ? 0 ,所以 8 的立方根是(0)
3

因为 ? ?2 ? ? ?8 ,所以 8 的立方根是( ?2 )
3

因为 ? ?

8 2 ? 2? ? ? ? ,所以 8 的立方根是( ? ) 27 3 ? 3?

3

一个正数有一个正的立方根 0 有一个立方根,是它本身 【总结归纳】 一个负数有一个负的立方根 任何数都有唯一的立方根 一个数 a 的立方根,记作 3 a ,读作: “三次根号 a ” ,其中 a 叫被开方数,3 叫根指数,不能省略,若省 略表示平方。例如: 3 27 表示 27 的立方根, 3 27 ? 3 ; 3 ?27 表示 ?27 的立方根, 3 ?27 ? ?3 . 3、探究:因为 3 ?8 ? ____, ? 3 8 ? ____, 所以 3 ?8 = ? 3 8 因为 3 ?27 ? ____, ? 3 27 ? ____ ,所以 3 ?27 = ? 3 27 利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求 负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即 3 ?a ? ? 3 a ? a ? 0? 。 4、例求下列各式的值: (1) 3 64 ; (2) ? 27 ; (3) 3 2 10 (4) 3 ?

27

1 ; (5) ? 64 ; (6) 64 1000

三、练习: 课本 P79 练习 1、2、3 四、小结:
56

1.立方根和开立方的定义. 2.正数、0、负数的立方根的特征. 3.立方根与平方根的异同. 五、作业:P80 习题 14.2 第 1、3、5、6 题

立方根(2) 教学目标: ? ? 熟练地进行求一个数的立方根的运算; 应用夹值法估计一个无理数的范围。

教学重点: ? 用有理数估计一个无理的大致范围。

教学难点: ? 用有理数估计一个无理的大致范围。

教学过程 一、复习引入: 1、求下列各式的值

3

?2

10 3 ; ? 3 ? ?0.1? ; 27

?? 5?2

二、新课: 1、问题: 3 50 有多大呢? 因为 3 ? 27 , 4 ? 64
3 3

所以 3 ? 3 50 ? 4 因为 3.6 ? 46.656 , 3.7 ? 50.653
3 3

所以 3.6 ? 3 50 ? 3.7 因为 3.68 ? 49.836032, 3.69 ? 50.24349
3 3

所以 3.68 ? 3 50 ? 3.69 ??

57

如此循环下去, 可以得到更精确的 3 50 的近似值, 它是一个无限不循环小数,3 50 =一 3. 68403149?? 事实上,很多有理数的立方根都是无限不循环小数.我们用有理数近似地表示它们. 2、 、利用计算器来求一个数的立方根: 操作用计算器求数的立方根的步骤及方法: 用计算器求立方根和求平方根的步骤相同, 只是根指数不同。 步骤:输入 3 →被开方数→=→根据显示写出立方根.

例:求-5 的立方根(保留三个有效数字)
3

→被开方数→=→1.709975947

所以 3 ?5 ? ?1.71 三、练习 1、课本 P79 的练习 2. 2、利用计算器计算,并将计算结果填在表中,你发现了什么吗?你能说说其中的道理吗? ?

3 0.000216

3

0.216

3

216

?

3、 、用计算器计算 3 100(结果个有效数字) 。并利用你发现的规律说出 3 0.0001,3 0.1 ,3 100000的 近似值。 四、小结: 1、立方根的概念和性质。 2、用计算器来求一个数的立方根。 五、作业: P80 习题 14.2 第 4、8 题

实数(1)
教学目标: ? ? ? 举例说明无理数和实数的概念; 举例说明实数和数轴上的点一一对应关系; 模仿有理数进行实数的运算。

教学重点: ? ? 实数的意义和实数的分类; 实数的运算法则及运算律。

58

教学难点: ? ? 体会数轴上的点与实数是一一对应的; 准确地进行实数范围内的运算。

教学过程 一、导入新课: 使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现? 3, ? ,

3 5

47 9 11 5 , , , 8 11 9 9
3 47 9 ? ? 11 ? 5 ? ? ?0.6 , ? 5.875 , ? 0.81 , ? 1.2 , ? 0.5 5 8 11 9 9

我们发现,上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即

3 ? 3.0 , ?
二、新课:

1、任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来,任何有限小数或无限循环小 数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数, ? ? 3.14159265? 也是无理数;有理数和无理数统称为实 数

? ?整数 ? ? 有限小数或无限循环小数 ?有理数 ? 实数 ? ?分数 ? ? ?无理数 ? 无限不循环小数
像有理数一样,无理数也有正负之分。例如 2 , 3 3 ,? 是正无理数, ? 2 , ? 3 3 , ?? 是负无理数。 由于非 0 有理数和无理数都有正负之分,实数也可以这样分类:
? ?正有理数 ?正实数 ? ?正无理数 ? ? 实数 ? 0 ? ?负实数 ?负有理数 ? ? ?负无理数 ?

2、 探究如图所示, 直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周, 圆上的一点由原点到达点 O′, 点 O′的坐标是多少?

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,这就是说,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无 理数,当从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一

59

个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数.与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右 边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 数 a 的相反数是 ?a ,这里 a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身;一个负实数的绝对值是 它的相反数;0 的绝对值是 0 3、例 1(1)求下列各数的相反数和绝对值: 2.5,- 7 , ?

? ,0, 3 2 , ? -3 5

(2)一个数的绝对值是 3 ,求这个数。 三、练习: P86 练习 1、2 四、小结 1、什么叫做无理数? 2、什么叫做有理数? 3、有理数和数轴上的点一一对应吗? 4、无理数和数轴上的点一一对应吗? 5、实数和数轴上的点一一对应吗? 五、作业: P86-87 习题 14.3 第 1、2、3 题;

实数(2)
教学目标: ? ? ? 举例说明实数与数轴上的点一一对应关系、有序实数对与平面上的点一一对应关系。 比较两个实数的大小; 熟练地进行实数运算。

教学重点: ? 实数与数轴上的点一一对应关系。

教学难点: ? 对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解。

教学过程 一、创设情景,导入新课 复习导入:1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律
60

3、平方差公式、完全平方公式 4、有理数的混合运算顺序 二、合作交流,解读探究 当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为 0) 、乘方运算,而且 正数及 0 可以进行开方运算,任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时,有理数的运算法则 及运算性质等同样适用。 1、讨论下列各式错在哪里?

?? 933 (1) ?3 ? 3 9 ? ? ? ? 9 、
2

1 3

(2) 、

1 ?1 ? 2 ? ? ? 2
2

(3) 、

5? 6 ? 5? 6

(4) 、当 x ? ? 2 时,

x2 ? 2 ?0 x?2

2、例 2 计算下列各式的值:

?

3? 2 ? 2

?

解:

?

3? 2 ? 2

?

? 3?

?

2 ? 2(加法结合律)

?

? 3?0 ? 3

3 3?2 3 3 3?2 3
? ? 3 ? 2 ? (分配律) 3 ?5 3
例 3 计算: (结果精确到 0.01)

?1?

5 ? ? () ? 2? 3 ? 2

(在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似 的有限小数去代替无理数,再进行计算. ) 三、练习:
61

1、课本 P 练习第 3 题
?2 ? 2? ? 3? ?2? 2、计算 ? ? ??? ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ?3? ? ? ? ? ? ? 2 0

四、小结: 1、实数的运算法则及运算律。 2、实数的相反数和绝对值的意义 五、作业: 课本 P87 习题 14.3 第 4、5、6、7 题;

第十四章一次函数
14.1.1 变量
教学目标 1.知识与技能 ? 举例说明变量的概念,区别常量与变量.

2.过程与方法 ? 经历探索变量的过程,感受常量与变量的意义.

3.情感、态度与价值观 ? 培养学生良好的变化与对应意识,体会数形结合的思想.

重、难点与关键 1.重点:理解变化与对应的内涵. 2.难点:理解变化与对应的内涵. 3.关键:从实际问题出发,引入变量,由具体到抽象的认识事物. 教学方法 采用“情境教学法”进行教学,让学生在熟悉的背景中认知常量与变量. 教学过程 一、创设情境,揭示课题 【情境思考 1】 汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为 s 千米,行驶时间为 t 小时,先填下面的表,再试用含 t 的式子表示 s.

62

t/时 s/千米

1

2

3

4

5

【教师活动】提出问题,引导学生思考问题,提问个别学生. 【学生活动】先独立思考后再与同伴交流,填出表格中问题:s:60 千米,?120 千米,180 千米,240 千米,300 千米.推出含 t 的等式为 s=60t(t≥0) . 【情境思考 2】 每张电影票的售价为 10 元,如果早场售出票 150 张,日场售出票 205 张,?晚场售出票 310 张,三场电 影的票房收入各多少元?设一场电影售出票 x 张,票房收入为 y 元,?怎样用含 x 的式子表示 y? 【教师活动】引导学生思索,然后从学生中推荐好的方法. 【学生活动】分四人小组合作交流,通过交流,部分学生上讲台演示:早、中、晚三场电影的票房收入 各为:1500 元、2050 元、3100 元;含 x 的式子表示 y 为:y=10x. 【情境思考 3】 在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规 律,如果弹簧原长 10cm,每 1kg 重物使弹簧伸长 0.5cm,怎样用含重物质量 m(单位:kg)的式子表示受力 后的弹簧长度 L(单位:cm)? 【教师活动】启发诱导,并让出讲台,请学生上台板演. 【学生活动】观察图形,先独立思考后再与同桌交流,得到关系式为 L=10+0.5x(x 表示悬挂重物的重 量) . 【情境思考 4】 要画一个面积为 10cm2 的圆,圆的半径应取多少?圆面积为 20cm2 呢?怎样用含圆面积 S 的式子表示圆 半径 r? 【教师活动】巡视、观察学生的思考,并及时加以启发,请一位学生上讲台演示. 【学生活动】独立思考,把问题解决.根据圆的面积公式 S= ? r2,得出面积为 10cm2 时,圆的半径为

10

20

? cm;面积为 20cm2 时,圆半径为
【情境思考 5】

s ? cm;关系式 r= ? .

如课本图 14.1-1 所示,用 10m 长的绳子围成长方形,试改变长方形的长度,?观察长方形的面积怎样 变化,记录不同的长方形长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律,设长方形的长为 xm, 面积为 Sm2,怎样用含 x 的式子表示 S? 【教师活动】引导学生做实验. 【学生活动】拿出准备好的线,按要求进行实践、记录、计算、寻找规律,得到 S 与 x 的关系式为 S=x (5-x) .

二、操作观察,获取新知 【形成概念】在某一变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,有些量的数值始终不变,我们称它 们为常量.

63

【拓展延伸】请同学们具体指出上面的各问题中,哪些是变量,哪些量是常量? 【学生活动】通过小组合作交流,得到常量为:60、10、5、 ? 、0.5 等,变量为:x、y、r、S、t、L 等. 【教学形式】生生互动,畅所欲言. 三、拓展延伸 课本 P95 练习. 四、课堂小结 1.什么叫做变量?什么叫做常量?它们之间有何区别? 2.本节课中,通过实际事例,你对变量的概念以及实际意义有怎样的感受? 五、布置作业 课本 P106 第 1,6 题.

板书设计 14.1.1 变量 1、变量的概念例: 2、会区别常量与变量练习:

14.1.2 函数(2 课时)
教学目标 1.知识与技能 ? 体会函数的概念,弄清自变量与函数之间的对应关系.

2.过程与方法 ? 经历探索函数概念的过程,感受函数的模型思想.

3.情感、态度与价值观 ? 培养观察、交流、分析的思想意识,体会函数的实际应用价值.

重、难点与关键 1.重点: ? 认识函数的概念.

2.难点: ? 对函数中自变量取值范围的确定.

3.关键: ? 从实际出发,由具体到抽象,建立函数的模型.

教学方法
64

采用“情境──探究”的方法,让学生从具体的情境中提升函数的思想方法. 教学过程 一、回顾交流,聚焦问题 1.变量(P94)中 5 个思考题. 【教师提问】 同学们通过学习“变量”这一节内容,对常量和变量有了一定的认识,请同学们举出一些现实生活中变 化的实例,指出其中的常量与变量. 【学生活动】思考问题,踊跃发言. (先归纳出 5 个思考题的关系式,?再举例) 【教师活动】激发兴趣,鼓励学生联想, 2.在地球某地,温度 T(℃)与高度 d(m)的关系可以挖地用 T=10个关系式回答下列问题: (1)指出这个关系式中的变量和常量. (2)填写下表.

d 来表示(如图) ,请你根据这 150

高度 d/m 温度 T/℃

0

200

400

600

800

1000

(3)观察两个变量之间的联系,当其中一个变量取定一个值时,?另一个变量就______. 3.课本 P7“观察” . 【学生活动】四人小组互动交流,踊跃发言 二、讨论交流,形成概念 【函数定义】 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y,并且对于 x?的每一个确定的值,y 都有唯一确定 的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量,y 是 x 的函数. 【教师活动】归纳出函数的定义.强调在上述活动中的关系式是函数关系式.提问学生,两个变量中哪 个是自变量呢?哪个是这个自变量的函数? 【学生活动】辨析理解,如:T=10义中的问题。 三、继续探究,感知轻重 课本 P8 探究题. 【学生活动】使用计算器进行探索活动,回答问题,理解函数概念. (1)y=?2x+5,y 是 x 的函数; (2) y=2x+1,y 是 x 的函数. 四、范例点击,提高认知 【例 1】一辆汽车的油箱中现有汽油 50L,如果不再加油,那么油箱中的油量 y(单位:L)随行驶里程 x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为 0.11L/km. (1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子. (2)指出自变量 x 的取值范围.
65

d 这个函数关系式中,d 是自变量,T 是 d 的函数等.弄清函数定 150

(3)汽车行驶 200km 时,油箱中还有多少汽油?

【教师活动】讲例,启发引导学生共同解决上述例 1. 五、拓展延伸 课本 P99 练习. 六、课堂小结 1.用数学式子表示函数的方法叫做表达式法(解析式法) ,?它只是函数表示法的一种. 2.求函数的自变量取值范围的方法. (1)要使函数的表达式有意义; (2)对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义. 3.把所给自变量的值代入函数表达式中,就可以求出相应的函数值. 七、布置作业 课本 P106 习题 14.1 第 1,2,3,4 题.

板书设计 14.1.2 函数

1、函数的概念例: 2、函数中自变量取值范围的确定练习: 3、从实际出发建立函数的模型

14.1.3 函数的图象(一)
教学目标 1.知识与技能 ? 举例说明函数的三种表示方法,分清它们的联系和区别.

2.过程与方法 ? 经过探索函数图象的过程,会应用数形结合的思想分析问题.

3.情感、态度与价值观 ? 培养变化与对应的思想方法,体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值.

重、难点与关键 1.重点: ? 函数的三种表示法.

2.难点: ? 函数图象的认识.

3.关键:
66

?

从情境中抽象出函数的概念,认清自变量与函数的关系,通过画函数图象直观地认识函数的内涵.

教学方法 采用“操作──感悟”的教学法,让学生在画图中认识函数,从而提高识图能力. 教学过程 一、回顾交流,情境导入 1、一种豆子每千克 2 元,写出买豆子的总金额 y(元)与所买豆子的数量 x(千克)之间的函数关系, 回答下列问题: (1)上面函数式中,哪个是自变量?哪个是函数?自变量取值范围是什么? (2)由所求出的函数式填表: x(千克) y(元) 【教师活动】观察学生的思维表现,提问学生. 【学生活动】独立思考,解答问题,上讲台演示. 【师生共识】y=2x, (1)x 是自变量,y 是 x 的函数,x 取值范围是 x 取大于等于 0 的数; (2)0,1,2, 3,4,5,6. 2、问题探究:如图,正方形边长为 x,面积为 S,探究下列问题: (1)写出 S 关于 x 的函数关系式,并求出 x 的取值范围. (2)计算并填写下表: x S (3)在直角坐标系中,将上面表格中各对数值所对应的点描出来,?然后用光滑的曲线连接这些点. 【形成概念】一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的 应值分别作为点的横、 纵坐标, 那么坐标平面内由这些组成的图形, 个函数的图象. 二、观察思考,实际应用 情境思索:课本图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的 天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化,你从图象中得到了哪些信息? 三、范例点击,提高认识 【例 2】下面的图象(课本图)反映的过程是:小明从家去菜地浇水,?又去玉米地锄草,然后回家,其 中 x 表示时间,y 表示小明离他家的距离. 根据图象回答下列问题: (1)菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时 (2)小明给菜地浇水用了多少时间? (3)菜地离玉米地多远?小明从菜地到玉米地用了多 (4)小明给玉米地锄草用了多少时间? (5)玉米地离小明家多远?小明从玉米地走回家的平均速度是多少?
67

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

S

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

每对对 就是这

春季某

间?

少时间?

【例 3】在下列式子中,对于 x 的每一个确定的值,y 有唯一的对应值,即 y?是 x 的函数,画出这些函 数的图象: (1)y=x+0.5; (2)y=

【探索方法】描点法画函数图象的一般步骤如下: 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值) ; 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对 应的各点) ; 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来) . 【情境思考】课本 P103 思考题(1)(2) 、 . 四、拓展延伸 课本 P104 练习第 1、2、3 题. 【探研时空】 如图所示,分析右面反映变量之间关系的图,想象一个适合它的实际情境.? 五、课堂小结 1.我们可以由一个函数的表达式,列出这个函数的函数对应值表,?并把这些对应值(有序的)看成点 坐标,在坐标平面内描点,进而画出函数的图象. 2.如果已知一个变量与另一个变量之间存在函数关系,?根据这两个变量的对应值,可以列表或画图表 示这个函数.到此为止,我们共学习了函数的三种表示法: (1)表达式法(解析式法)(2)列表法; ; (3) 图象法. 六、布置作业 课本 P106 习题 14.1 第 5,6,7,8 题. 板书设计 14.1.3 函数的图象(一)

6 (x>0) . x

1、函数的三种表示方法 例: 2、自变量与函数的关系 练习: 3、画函数图象

14.1.3 函数的图象(二)
教学目标 1.知识与技能 ? 运用描点法画出函数的图象,认识自变量取值范围和函数值的内在联系.
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2.过程与方法 ? 经历探索画函数图象的过程,提高识图能力,感受现实世界的变化规律以及有关的数学符号.

3.情感、态度与价值观 ? 培养良好的变化与对应意识,体会函数的内涵.

重、难点与关键 1.重点: ? 对函数图象的理解.

2.难点: ? 怎样用语言描述图象的变化过程.

3.关键: ? 抓住函数的性质,培养学生读图能力.

教具准备 直尺、圆规. 教学方法 采用“启发式──探究”教学法,让学生在图形的认识中感悟新知. 教学过程 一、回顾交流,巩固迁移 【复习提问】 1.函数有哪几种表示方法?你认为三种表示函数的方法各有什么优点? 2.结合上一节内容,请你说说什么是函数的图象? 【例 4】一水库的水位在最近 5 小时内持续上涨,下表记录了这 5?小时的水位高度. t /时 y /米 0 1 1 1 0.10 1 0.15 1 0.20 1 0.25 ? 0 1 2 3 4 5 ?

0.05

(1)由记录表推出这 5 小时中水位高度 y(单位:米)随时间 t(单位:时)变化的函数解析式,并画 出函数图象; (2)据估计这种上涨的情况还会持续 2 小时,预测再过 2 小时水位高度将达到多少米. 【思路点拨】记录表已经通过 6 组数值反映了时间 t 与水位 y 之间的对应关系,我们现在需要从这些数 值找出这两个变量之间的一般联系规律, 由写它出函数解析式, 画出函数图象, 进而预测水位. 1) ( y=0.05t+10 (0≤t≤7) ,图见课本 P17(课本图 14.1-10)(2)y=0.05?7+10=10.35. ; 【学生活动】参与其中,认识函数的三种表达形式在实际中的应用. 【评析】由例 4 可以看出函数的不同表示法之间可以转化. 二、拓展延伸 课本 P106 练习第 1、2 题. 三、课堂小结,发挥潜能
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让学生归纳由函数解析式画函数图象的步骤. 四、布置作业 课本 P106 习题 14.1 第 9,10,11,12 题. 板书设计 14.1.3 函数的图象(二)

1、画函数图象 例: 2、用语言描述图象的变化过程 练习: 3、函数的性质

14.2.1 正比例函数
教学目标 1.知识与技能 ? ? 举例说明正比例函数的定义; 从实际问题中提炼出正比例函数的解析式.

2.过程与方法 ? 经历探索正比例函数的过程,发展学生的类比思维.

3.情感、态度与价值观 ? 培养由此及彼地认识问题的能力,体会事物的抽象性以及正比例函数的实际应用价值.

重、难点与关键 1.重点: ? 正比例函数.

2.难点: ? 正比例函数性质的理解.

3.关键: ? 从实际问题出发,从中提炼出函数的模型.

教学方法 采用“情境导入──建立模型”的方法,让学生从实际生活中感知正比例函数概念. 教学过程 一、回顾交流,探索新知 【知识回顾】
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在小学我们学过正比例关系,小学数学是这样陈述的:?两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随 着变化.如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它的关系叫做正比例 关系,写成式子是

y =k(一定) ,在小学 k 是大于零的数. x

问题探究 1: 1996 年, 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥 (候鸟) 套上标志环: 4?个月零 1 周后, 人们在 2.56 万米外的澳大利亚发现了它. (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到 10 千米)? (2)这只燕鸥的行程 y(单位:千米)与飞行时间 x(单位:天)之间有什么关系? (3)这只燕鸥飞行 1 个半月的行程大约是多少千米? 问题探究 2:下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示??这些函数有什么共同点? (1)圆的周长 L 随半径 r 的大小变化而变化: (L=2 ? r) (2) 铁的密度为 7.8g/m , 铁块的质量 m (单位: 随它的体积 V g) (单位: ) cm 的大小变化而变化; (m=7.8V) (3)每个练习本的厚度为 0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)?随这些练习本的本数 n 的变化而变化; (h=0.5n) (4)冷冻一个 0℃的物体,使它每分下降 2℃,物体的温度 T(单位:℃)?随冷冻时间 t(单位:分) 的变化而变化; (T=-2t) 【特征归纳】正如 y=200x 一样,上述函数都是常数与自变量的乘积的形式. 【形成定义】一般地,形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,?其中 k 叫做比例系数. 二、范例点击,提高认知 【例 1】画出下列正比例函数的图象. (1)y=2x(2)y=-2x 【教师活动】动手操作示范,并且引导学生进行比较(见课本图 14.2-1,图 14.2-2) . 【观察与比较】 教师口述:请同学们比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律. 填写你发现的规律:两图象都是经过原点的直线.函数 y=2x 的图象从左向右(上升) ,经过第(一、三) 象限;函数 y=-2x 的图象从左向右(下降) ,?经过第(二、四)象限. 【学生活动】观察比较,寻求规律,总结方法. 三、拓展延伸 课本 P112 练习. 【形成性质】一般地,正比例函数的 y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,?我们称 它为直线 y=kx.当 k>0 时,直线 y=kx 经过第一、三象限,从左向右上升,即随着 x 的增大 y 也增大;当 k<0 时,直线 y=kx 经过第二、四象限,从左向右下降,?即随着 x 的增大反而减小. 【教师提问】经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象??画正比例函数的图象时,怎样画最简 单?为什么? 【学生活动】回答教师提出的问题,并通过探讨,得到画正比例函数的最简单方法: (1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k) ; (2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k) ; (3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线.
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3 3

这条直线就是正比例函数 y=kx(k≠0)的图象. 四、随堂练习,消化理解 课本 P113 练习. 五、课堂小结,发挥潜能 1.正比例函数 y=kx 图象的画法:过原点与点(1,k)的直线即所求图象. 2.正比例函数的性质. (由学生归纳) 六、布置作业 课本 P120 习题 14.2 第 1、2、3 题. 板书设计 14.2.1 正比例函数

1、正比例函数的定义例: 2、正比例函数的性质练习:

14.2.2 一次函数(1)
教学目标 1.知识与技能 ? ? 举例说明一次函数的概念, 从实际问题中建立一次函数的模型.

2.过程与方法 ? 经历探索一次函数的过程,感受一次函数的解析式的特征.

3.情感、态度与价值观 ? 培养数形结合的数学思想,体会一次函数在实际生活中的应用价值.

重、难点与关键 1.重点:一次函数的概念. 2.难点:从实际生活中建立一次函数的模型. 3.关键:把握好实际问题中的两个变量之间的相等关系,建立模型. 教学方法 采用“情境──探究”的方法,让学生在实际问题中感悟一次函数的概念. 教学过程 一、创设情境,揭示课题 问题思索 1:某登山队大本营所在地的气温为 5℃,海拔每升高 1km,气温下降 6℃,登山队员由大本营 向上登高 xkm 时,他们所在位置的气温是 y℃,试用解析式表示 y?与 x 的关系.
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【思路点拨】y 随 x 变化的规律是,从大本营向上当海拔加 xkm 时,气温从 5℃减少 6x℃,因此 y 与 x 的函数关系为 y=5-6x 或 y=-6x+5)?当登山队员由大本营向上登高 0.5km 时, ( , 他们所在位置的气温就是 x=0.5 时函数 y=-6x+5 的值,即 y=2(℃) . 【学生活动】合作探究,寻找解题途径,踊跃发言,发表各自看法. 问题思索 2:下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示??这些函数有什么共同点? (1)有人发现,在 20~30℃时蟋蟀每分鸣叫次数 C 与温度 t(单位:℃)有关,即 C?的值约是 t 的 7 倍与 35 的差; (C=7t-35) (2)一种计算成年人标准体重 G(单位:千克)的方法是,以厘米为单位量出身高值 h 减常数 105,所 得差是 G 的值; (G=h-105) (3)某城市市内电话的月收费额 y(单位:元)包括:月租费 22 元,拨打电话 x 分的计时费按 0.01 元 /分收取; (y=0.01x+22) (4)把一个长 10cm,宽 5cm 的长方形的长减少 x,宽不变,长方形的面积 y(单位:cm )随 x 的值而 变化. (y=-5x+50) 【教师活动】提出问题,引导学生思考. 【学生活动】独立思考,列出函数关系式,并进行比较,得到这一类型函数的共同特征:这些函数的形 式都是自变量 x 的 k(常数)倍与一个常数的和. 【形成概念】一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,当 b=0 时,y=kx+b 即 y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 二、拓展延伸 课本 P11.4 第练习 1,2,3 题. 三、课堂小结 1.y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)是一次函数. 2.一次函数包含了正比例函数,即正比例函数是一次函数在 b=0 时的特例. 四、布置作业 选用课时作业设计. 板书设计 14.2.2 一次函数(1)
2

1、一次函数的概念例: 2、一次函数与正比例函数的关系练习:

14.2.2 一次函数(2)
教学目标 1.知识与技能
73

? ?

会画出一次函数的图象; 举例说明一次函数的图像和性质.

2.过程与方法 ? 经历探索一次函数图象的过程,发展抽象的数学思维.

3.情感、态度与价值观 ? 培养学生良好的数学思维和与人合作交流的学习习惯,体会函数的应用价值.

重、难点与关键 1.重点:通过图象理解一次函数的性质. 2.难点:对一次函数增减性的认识. 3.关键:充分利用数与形结合的思想,认清一次函数的内在本质. 教学方法 采用“问题解决”的方法,让学生通过例题,领会一次函数的内涵. 教学过程 一、范例点击,实践操作 【例 2】画出函数 y=-6x,y=-6x+5,y=-6x-5 的图象(在同一坐标系内) . 【问题牵引】 1.请你比较上面三个函数的图象的相同点与不同点,填出你的观察结果:这三个函数的图象形状都是 直线,并且倾斜程度一致;函数 y=-6x 的图象经过(0,0) ;函数 y=-6x+5 的图象与 y 轴交于点(0,5) ;函 数 y=-6x-5 的图象与 y 轴交点是(0,-5) ,?它们分别是由直线 y=-6x 分别平移而得到;比较三个函数解析 式,试解释这是为什么? 2.猜想:联系上面例 2,考虑一次函数 y=kx+b 的图象是什么形状,它与直线 y=kx 有什么关系? 【学生活动】观察所画的三个函数图象,得出上述问题 1,2 的结论,?并归纳出平移法则如下: 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线,我们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移│b│个单 位长度而得到(当 b>0 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移) . 【例 3】画出函数 y=2x-1,当 y=-0.5x+1 的图象. 【学生活动】动手操作,画出例 3 所要求的函数图象. 二、合作学习,操作观察 【问题探究】 画出函数 y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1 的图象,?由它们联想:一次函数解析式 y=kx+b(k,b 是 常数,k≠0)中,k 的正负对函数图象有什么影响? 【规则】当 k>0 时,直线 y=kx+b 由左至右上升;当 k<0 时,直线 y=kx+b 由左至右下降.由此得出:一 次函数 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)具有的性质. 【性质】当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大. 当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小. 三、拓展延伸 课本 P117 练习.
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四、课堂小结 1.一次函数 y=kx+b 图象的画法:在 y 轴上取(0,b)在 x 轴上取点(求图象. 2.一次函数 y=kx+b 的性质. (由学生自行归纳) 五、布置作业 课本 P120 习题 14.2 第 4、5 题. 板书设计 14.2.2 一次函数(2) 1、画一次函数的图象例: 2、一次函数的性质练习:

b ,0) ,过这两点的直线即所 k

14.2.2 一次函数(3)
——确定一次函数解析式
教学目标 1.知识与技能 ? ? 回顾二元一次方程组的解法. 用待定系数法求解一次函数的解析式.

2.过程与方法 ? 经历探索求一次函数解析式的过程,感悟数学中的数与形的结合.

3.情感、态度与价值观 ? 培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯,形成良好的学习态度.

重、难点与关键 1.重点:待定系数法求一次函数解析式. 2.难点:解决抽象的函数问题. 3.关键:熟练应用二元一次方程组的代入法、?加减法解一次函数中的待定系数. 教学方法 采用“问题解决”的方法,让学生在问题解决中感受一次函数的内涵. 教学过程 一、范例点击,获取新知 【例 4】已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9) ,求这个一次函数的解析式. 【思路点拨】求一次函数 y=kx+b 的解析式,关键是求出 k、b 的值,从已知条件可以列出关于 k、b 的 二元一次方程组,并求出 k、b. 【教师活动】分析例题,讲解方法. 【学生活动】联系已学习的二元一次方程组,以此为工具,解决问题,参与教师讲例,主动思考.
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解:设这个一次函数的解析式为 y=kx+b. 依题意得: ?

?3k ? b ? 5 ?k ? 2 解得 ? ??4k ? b ? ?9 ?b ? ?1

这个一次函数的解析式为 y=2x-1. 【方法流程】

【教师活动】引导学生归纳总结知识的流程图,提高认识. 二、拓展延伸 课本 P118 练习. 三、课堂小结 根据已知的自变量与函数的对应值,可以利用待定系数法确定一次函数解析式,具体步骤如下: 1.写出函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数(需要确定这些系数,?因此叫做待定系数) . 2.?把自变量与函数的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出)代入函数解析式中,得到关 于待定系数的方程或方程组. (有几个待定系数,就要有几个方程) 3.解方程或方程组,求出待定系数的值,从而写出所求函数的解析式. 四、布置作业 课本 P121 习题 14.2 第 6,7,8 题. 板书设计 14.2.2 一次函数(3) 1、用待定系数法求解一次函数的解析式 例: 2、方法流程练习:

14.2.2 一次函数(4)
——一次函数的图象应用
教学目标 1.知识与技能 ? 建构一次函数“模型”解决现实生活中的问题.

2.过程与方法
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?

经历探索一次函数的应用问题,发展抽象思维.

3.情感、态度与价值观 ? 培养变量与对应的思想,形成良好的函数观点,体会一次函数的应用价值.

重、难点与关键 1.重点:一次函数的应用. 2.难点:一次函数的应用. 3.关键:从数形结合分析思路入手,提升应用思维. 教学方法 采用“讲练结合”的教学方法,让学生逐步地熟悉一次函数的应用. 教学过程 一、典例精讲 【例 5】小芳以 200 米/分的速度起跑后,先匀加速跑 5 分,每分提高速度 20 米/分,又匀速跑 10 分, 试写出这段时间里她的跑步速度 y(单位:米/分)随跑步时间 x(单位:?分)变化的函数关系式,并画出 函数图象. y= ?

?20 x ? 200(0 ? x ? 5) (5 ? x ? 15) ?300

【例 6】A 城有肥料 200 吨,B 城有肥料 300 吨,现要把这些肥料全部运往 C、D 两乡.从 A 城往 C、D 两 乡运肥料的费用分别为每吨 20 元和 25 元;从 B 城往 C、D?两乡运肥料的费用分别为每吨 15 元和 24 元,现 C 乡需要肥料 240 吨,D 乡需要肥料 260 吨,?怎样调运总运费最少? 解:设总运费为 y 元,A 城往运 C 乡的肥料量为 x 吨,则运往 D 乡的 肥料量为(200-x)吨.B 城运往 C、D 乡的肥料量分别为(240-x)吨与 (60+x)吨.y 与 x 的关系式为:y=?20x+25(200-x)+15(240-x)+24 (60+x) ,即 y=4x+10040(0≤x≤200) . 由图象可看出:当 x=0 时,y 有最小值 10040,因此,从 A 城运往 C 乡 0 吨,运往 D?乡 200 吨;从 B 城运往 C 乡 240 吨,运往 D 乡 60 吨,此 时总运费最少,总运费最小值为 10040 元. 拓展:若 A 城有肥料 300 吨,B 城有肥料 200 吨,其他条件不变,又 应怎样调运? 二、拓展延伸 课本 P119 练习. 三、课堂小结 由学生自我评价本节课的表现. 四、布置作业 课本 P120 习题 14.2 第 9,10,11 题. 板书设计
6000 5000 4000 3000 2000 1000 1 2 3 4 5 6 7 x(吨) y(元) l1 l2

77

14.2.2 一次函数(4)

1、一次函数的应用例: 练习:

14.3.1 一次函数与一元一次方程
教学目标 1.知识与技能 ? 用一次函数图像描述一元一次方程的解.

2.过程与方法 ? 经历探索一元一次方程与一次函数的内在联系,体会数与形结合的数学思想.

3.情感、态度与价值观 ? 培养良好的应用能力,体会代数的实际应用价值.

重、难点与关键 1.重点:理解用函数观点解决一元一次方程的问题. 2.难点:对一次函数与一元一次方程的再认识. 3.关键:应用数形结合的思想. 教具准备 直尺、圆规. 教学方法 采用“直观操作”教学方法,让学生在图形的认知中领会本节课内容. 教学过程 一、回顾交流,知识迁移 问题提出:请思考下面两个问题: (1)解方程 2x+20=0. (2)当自变量 x 为何值时,函数 y=2x+20 的值为 0? 【学生活动】观察屏幕,通过思考,得到(1)(2)的答案,回答问题. 、 【教师活动】 在学生充分探讨的基础上, 引导学生思考: “一元一次方程与一次函数之间有何内在联系” ? 【思路点拨】在问题(1)中,解方程 2x+20=0,得 x=-10;解问题(2)?就是要考虑当函数 y=2x+20 的 值为 0 时,所对应的自变量 x 为何值,这可以通过解方程 2x+20=0,?得出 x=-10.这两个问题实际上是一个 问题, 从函数图象上看, 直线 y=2x+20 与 x 轴交点的坐标是 (-10, , 0) 这说明, 方程 2x+20=0 的解是 x=-10. (课 本图 14.3-1) 【问题探索】
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教师叙述:由上面两个问题的关系,能进一步得到“解方程 ax+b=0(a,b 为常数”与“求自变量 x 为 何值时,一次函数 y=ax+b 的值为 0”有什么关系? 【学生活动】小组讨论,观察上述问题的图象,联系方程、函数知识,领会贯通,踊跃回答. 【师生共识】由于任何一元一次方程都可以转化为 ax+b=0(a,b 为常数,a≠0)?的形式,所以解一元 一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为 0 时,?求相应的自变量的值,从图象上看,这相当于已知直 线 y=ax+b,确定它与 x?轴交点的横坐标的值. 【教学形式】小组合作讨论,教师巡视、引导. 二、范例点击,领会新知 【例 1】一个物体现在的速度是 5 米/秒,其速度每秒增加 2 米/秒,?再过几秒它的速度为 17 米/秒? 【教师活动】激发学生思考. 【学生活动】先不看课本解答,独立地思考问题,抓住问题的本质: “设未知数,寻找等量关系. ”得出 方程,再应用函数的观点建立两个变量的关系式,上讲台演示自己的做法. 【评析】这两种解法分别从数与形两方面得出相同的结果,培养学生识图能力. 解法 1:设再过 x 秒物体的速度为 17 米/秒. 依题意得:2x+5=17 解得:x=6 解法 2:设速度 y(单位:米/秒)是时间 x(单位:秒)的函数. y=2x+5 由 2x+5=17 得 2x-12=0 由如图看出, 直线 y=2x-12 与 x 轴的交点为 (6, , x=6. 0) 得 三、拓展延伸 1.看图 2 填空: (1)当 y=0 时,x=_______. (2)直线对应的函数解析式是________. 2 . 一 元 一 次 方 程 0.5x+1=0 与 一 次 函 数 什么联系? 3.某种摩托车的油箱最多可储油 10 升,加满 剩油量 y(升)?与摩托车行驶路程 x(千米)之间 所示. 根据图象所提供的信息,回答下列问题: (1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米? (2)摩托车每行驶 100 千米消耗多少升汽油? (3)油箱中的剩余油量小于 1 升时,摩托车将自动报警,行 米后,?摩托车将自动报警. 四、课堂小结
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10 8 6 4 2 O
100 200 300 400 500

y

y=0.5x+1
1 -2 O



后,油箱中的
x

的关系式如图

y/升

驶多少千

x/千米

1.请同学们谈一谈,函数与方程的联系和区别. 2.对数形结合的思维方法进行总结. 五、布置作业 1.课本 P129 习题 14.3 第 1,2,5 题. 板书设计 14.3.1 一次函数与一元一次方程

1、用函数观点解决一元一次方程的问题例: 练习:

14.3.2 一次函数与一元一次不等式
教学目标 1.知识与技能 ? 区分一次函数与一元一次不等式的区别和联系.

2.过程与方法 ? 经历探索一次函数与一元一次不等式的关系的过程,掌握其应用方法.

3.情感、态度与价值观 ? 培养良好的数学抽象思维,体会本节课知识在现实生活中的应用价值.

重、难点与关键 1.重点:一次函数与一元一次不等式的关系. 2.难点:如何应用一次函数性质解决一元一次不等式的解集问题. 3.关键:从一次函数的图象出发,直观地呈现出一元一次不等式的解的范围. 教具准备 采用“问题解决”的教学方法. 教学过程 一、回顾交流,知识迁移 问题提出:请思考下面两个问题: (1)解不等式 5x+6>3x+10; (2)当自变量 x 为何值时,函数 y=2x-4 的值大于 0? 【学生活动】观察屏幕,通过思考,得到(1)(2)的答案,回答问题. 、 【教师活动】在学生充分探讨的基础上,引导学生思考: “一元一次不等式与一次函数之间有何内在联 系?” 【思路点拨】在问题(1)中,不等式 5x+6>3x+10 可以转化为 2x-4>0,?解这个不等式得 x>2;问题(2)
80

y
y=2x-4

O -4

2

x

就是解不等式 2x-4>0,得出 x>2 时函数 y=2x-4 的值大于 0,?因此这两个问题实际上是同一个问题,从直线 y=2x-4(如图)可以看出.当 x>2 时,?这条直线上的点在 x 轴的上方,即这时 y=2x-4>0. 【问题探索】 教师叙述:由上面两个问题的关系,能进一步得到“解不等式 ax+b>0”与“求自变量 x 在什么范围内, 一次函数 y=ax+b 的值大于 0”有什么关系? 【学生活动】小组讨论,观察上述问题的图象,联系不等式、函数知识,解决问题. 【师生共识】由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0(a,b 为常数,a≠0)的形式, 所以解一元一次不等式可以看出:当一次函数值大(小)于 0 时,求自变量相应的取值范围. 【教学形式】师生互动交流,生生互动. 二、范例点击,领悟新知 【例 2】用画函数图象的方法解不等式 5x+4<2x+10. 【教师活动】激发思考. 【学生活动】小组合作讨论,运用两种思维方法解决 例 2 问题. 解法 1:原不等式化为 3x-6<0,画出直线 y=3x-6(左 图) ,可以看出,当 x<2 时,这条直线上的点在 x 轴的下 方,即这时 y=3x-6<0,所以不等式的解集为 x<2.

解法 2:将原不等式的两边分别看作两个一次函数,画出直线 y=5x+4 与直线 y=2x+10(右图) ,可以看 出,它们交点的横坐标为 2,当 x<2 时,对于同一个 x,直线 y=5x+4 上的点在直线 y=2x+10 上相应点的下方, 这时 5x+4<2x+10,所以不等式的解集为 x<2. 【评析】两种解法都把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低. 三、拓展延伸 课本 P216 练习.

四、课堂小结 用一次函数图象来解一元一次方程或一元一次不等式未必简单,但是从函数角度看问题,能发现一次函 数、一元一次方程与一元一次不等式之间的关系,能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解, 这种用函数观点认识问题的方法,对于继续学习数学是重要的. 五、布置作业 课本 P129 习题 14.3 第 3,4,7,8,10 题.

板书设计

81

14.3.2 一次函数与一元一次不等式

1、用函数观点解决一元一次不等式的问题例: 练习:

14.3.3 一次函数与二元一次方程(组)
教学目标 1.知识与技能 ? 会应用一次函数的图像求解二元一次方程组的近似解.

2.过程与方法 ? 经历探索一次函数与二元一次方程(组)的过程,掌握函数与方程(组)的相互关系.

3.情感、态度与价值观 ? 培养识图能力,提高学生的抽象思维.

重、难点与关键 1.重点:一次函数与二元一次方程(组)的联系. 2.难点:认识函数与方程(组)的内在联系. 3.关键:从图形的识别入手,以方程与函数表示形式的转化为切入点. 教学方法 采用“讲授式”教学方法,让学生通过讲解,掌握分析思路. 教学过程 一、回顾交流,迁移知识 【知识回顾】 (1)方程 x+y=5 的解有多少个?写出其中的几个. (2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,在一次函数 y=5-x?的图象相同吗? (3)在一次函数 y=5-x 的图象上任取一点,它的坐标适合方程 x+y=5 吗? (4)以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5-x?的图象相同吗? 【思路点拨】1) ( 方程 x+y=5 是二元一次方程, 它的解有无数个, x=0 时 y=5, 时 y=4, 时 y=0??, 取 x=1 x=5 即?

?x ? 0 ?x ? 1 ?x ? 5 都是方程的解. , ? ? ?y ? 5 ?y ? 4 ?y ? 0
(2)如图所示,A(0,5) ,B(1,4) ,C(5,0)都在这 (3)在一次函数 y=-x+5 的图象上任取一点 C′,C′(3, 个图象上. 2)也就是当 x=3

时 y=2,它适合方程 x+y=5. (4)由(1) (3)可知,以方程 x+y=5 的解为坐标的 (2)
82

所有点组成的图

象与一次函数 y=-x+5 的图象相同,这是因为方程 x+y=5 可以用 x 的代数式表示 y,即 y=-x+5,y 是 x 的一次 函数. 【问题牵引】 教师叙述:我们知道,方程 3x+5y=8 可以转化为 y=-

3 8 3 8 x+ ,并且直线 y=- x+ 上每一个点的坐标(x, 5 5 5 5

y)都是方程 3x+5y=8 的解,由于任意一个二元一次方程都可以转化为 y=kx+b 的形式,所以每个二元一次方 程都对应一个一次函数,因此也对应一条直线. 请你解出二元一次方程组 ?

?3x ? 5 y ? 8 的解,并回答: ?2 x ? y ? 1

(1)与①②相对应的一次函数是怎样的解析式? (2)画出这两个函数的图象,它们的交点坐标中相对应的 x,y?值是否满足上述方程组? 【师生共识】 解二元一次方程组 ?

?3x ? 5 y ? 8 3 8 可以看作求两个一次函数 y=- x+ 与 y=2x-1 图象的交点 5 5 ?2 x ? y ? 1

坐标,P127 课本图 14.3-6,因此我们可以用画图象的方法解二元一次方程组. 二、范例点击,提高认知 【例 3】一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式 A 以每分 0.1 元的价格按上网时间计费;方 式 B 除收月基费 20 元外再以每分 0.05 元的价格按上网时间计费,?如何选择收费方式能使上网者更合算? 【思路点拨】由于计费与上网时间有关,所以可设上网时间为 x 分,若按方式 A 则收费 y=0.1x 元,若 按方式 B 则收费 y=0.05x+20 元,再求两函数交点.另一种思路是方式 B 与方式 A 两种计费的差额为 y 元, 则 y 随 x 变化的函数关系式为 y=(0.05x+20)-0.1x,即 y=-0.05x+20,再求出与 x 轴交点(400,0) ,然后 讨论. 具体解法见课本 P43~P44. 【归纳整理】 方程(组) 、不等式与函数之间互相联系,用函数观点可以把它们统一起来,解决问题时,应根据具体 情况灵活的、有机的把它们结合起来使用. 三、拓展延伸 课本 P128 练习. 四、课堂小结 体会二元一次方程组的解与一次函数的图象交点之间的关系,从“数”与“形”两个方面初步体会某些 方程组的解. 五、布置作业 1.课本 P129 习题 14.3 第 6,9,11 题,数学活动 1,2.

板书设计

83

14.3.3 一次函数与二元一次方程(组)

1、一次函数与二元一次方程(组)的联系例: 练习:

第十五章整式的乘除与因式分解
15.1.1 同底数幂的乘法
教学目标 1.知识与技能 ? ? 举例说明同底数幂乘法的运算法则. 应用同底数幂乘法的运算法则解决问题.

2.过程与方法 ? 经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能

84

力. 3.情感、态度与价值观 ? 在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.

重、难点与关键 1.重点:同底数幂乘法运算性质的推导和应用. 2.难点:同底数幂的乘法的法则的应用. 3.关键:幂的运算中的同底数幂的乘法教学,要突破这个难点,?必须引导学生,循序渐进,合作交流, 获得各种运算的感性认识,进而上各项到理性上来,提醒学生注意-a 与(-a) 的区别. 教学方法 采用“情境导入──探究提升”的方法,让学生从生活实际出发,认识同底数幂的运算法则. 教学过程 一、创设情境,故事引入 【情境导入】 “盘古开天壁地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一 个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从 此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变 成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流. 【教师提问】盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离 是多少? 光的速度为 3?10 千米/秒,太阳光照射到地球大约需要 5?10 秒,?你能计算出地球距离太阳大约有多 远呢? 【学生活动】开始动笔计算,大部分学生可以列出算式: 3?10 ?5?10 =15??10 ?10 =15??(引入课题) 【教师提问】到底 10 ?10 =?同学们根据幂的意义自己推导一下,现在分四人小组讨论. 【学生活动】分四人小组讨论、交流,举手发言,上台演示. 计算过程:10 ?10 =(10?10?10?10?10)?(10?10) =10?10?10?10?10?10?10 =10
7 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2

【教师活动】下面引例. 1.请同学们计算并探索规律. (1)2 ?2 =(2?2?2)?(2?2?2?2)=2 ; (2)5 ?5 =_____________=5 ; 7 6 () (3) (-3) ?(-3) =___________________=(-3) ; (4) (
3 4 () 3 4 ()

1 3 1 1 () ) ?( )=___________=( ) ; 10 10 10
4 ()

(5)a ?a =________________a . 提出问题:①这几道题目有什么共同特点?
85

3

②请同学们看一看自己的计算结果,想一想,这些结果有什么规律? 【学生活动】独立完成,并在黑板上演算. 【教师拓展】计算 a?a=?请同学们想一想.

a ?a ( a ?a a a ?a 【学生总结】a?a= (a? ? ? )? a ? ? ? ) ? (a ? ? ? ? ) =a ? ?? ? ?? ? ? ? ?
m个a n个a

m+n

?? ? ??
( m ? n ) 个a

这样就探究出了同底数幂的乘法法则. 二、范例学习,应用所学 【例】计算: (1)10 ?10 ; (2)a?a ; (3)a?a ?a ; (4)x?x +x ?x 【思路点拨】 (1)计算结果可以用幂的形式表示.如(1)10 ?10 =10 =10 ,但是如果计算较简单时也 可以计算出得数. (2)注意 a 是 a 的一次方,?提醒学生不要漏掉这个指数 1,x +x 得 2x ,提醒学生应该用 合并同类项. (3)上述例题的探究,?目的是使学生理解法则,运用法则,解题时不要简化计算过程,要让 学生反复叙述法则. 【教师活动】投影显示例题,指导学生学习. 【学生活动】参与教师讲例,应用所学知识解决问题. 三、拓展延伸 课本练习题. 【探研时空】 据不完全统计,每个人每年最少要用去 10 立方米的水,1 立方米的水中约含有 3.34?10 个水分子,那 么,每个人每年要用去多少个水分子? 四、课堂小结 1.同底数幂的乘法,使用范围是两个幂的底数相同,且是相乘关系,?使用方法:乘积中,幂的底数不 变,指数相加. 2.应用时可以拓展,例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘,仍成立,?底数和指数,它既可以取一 个或几个具体数,由可取单项式或多项式. 3.运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆. 五、布置作业 1.课本 P148 习题 15.1 第 1(1)(2) , ,2(1)题. 板书设计 15.1.1 同底数幂的乘法
6 19 3 3 3 3 4 3+4 7 3 4 3 3 5 2 2

1、同底数幂的乘法法则例: 练习:

15.1.2 幂的乘方
86

教学目标 1.知识与技能 ? ? 举例说明幂的乘方的运算法则; 应用幂的乘方的运算法则解决问题.

2.过程与方法 ? 经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应

用能力. 3.情感、态度与价值观 ? 培养学生合作交流意义和探索精神,让学生体会数学的应用价值.

重、难点与关键 1.重点:幂的乘方法则. 2.难点:幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 3.关键:要突破这个难点,在引导这个推导过程时,步步深入,层层引导,?要求对性质深入地理解. 教学方法 采用“探讨、交流、合作”的教学方法,让学生在互动交流中,认识幂的乘方法则. 教学过程 一、创设情境,导入新知 【情境导入】 大家知道太阳,木星和月亮的体积的大致比例吗?我可以告诉你,?木星的半径是地球半径的 10 倍,太 阳的半径是地球半径的 10 倍,假如地球的半径为 r,那么,?请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少? (球的体积公式为 V=
3 2

【学生活动】进行计算,并在黑板上演算. 解:设地球的半径为 1,则木星的半径就是 10 ,因此,木星的体积为 V 木星=
2

4 ? r3) 3

【教师引导】 (10 ) =?利用幂的意义来推导. 【学生活动】有些同学这时无从下手. 【教师启发】请同学们思考一下 a 代表什么?(10 ) 呢? 【学生回答】a =a?a?a,指 3 个 a 相乘. (10 ) =10 ?10 ?10 ,就变成了同底数幂乘法运算,根据同 底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,10 ?10 ?10 =10 【教师活动】下面有问题: 利用刚才的推导方法推导下面几个题目: (1) ) ; (2 ) ; (b ) ; (a (2) (3) (4)-(x ) . 【学生活动】推导上面的问题,个别同学上讲台演示. 【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(a)的结果是多少? 【学生活动】归纳总结并进行小组讨论,最后得出结论:
87
2 3 4 3 n 3 2 2 2 2 2 2+2+2 3 2 3 2 2 2 3 2 3

4 (10 . ? ? 2)3=?(引入课题) 3 2 3

=10 ,?因此(10 ) =10 .

6

2

3

6

(a ) = (a ? ? ? ) ? a a ?a
m n

m

m

m

个 ??n??? ? m ? m ? m ? ? ?? m ?

?? ??? ? ?
n个a m

=a .

mn

评析:通过问题的提出,再依据“问题推进”所导出的规律,利用乘方的意义和幂的乘法法则,让学生 自己主动建构,获取新知:幂的乘方,底数不变,指数相乘. 二、范例学习,应用所学 【例】计算: (1) (10 ) ; (b ) ; (x ) ; (2) (3) (4)-(x ) . 【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算. 【教师活动】启发学生共同完成例题. 【学生活动】在教师启发下,完成例题的问题:并进一步理解幂的乘方法则: 解: (10 ) =10 (1) (2) ) =b (b
3 4 3?4 3 5 3?5 3 5 3 4 n 3 7 7

=10 ; (x ) =x (3)
7 7

15

n

3

n?3

=x ;
49

3n

=b ; (4)-(x ) =-x

12

7?7

=-x .

三、随堂练习,巩固练习 课本 P143 练习. 【探研时空】 计算:-x ?x ? ) +x . (x 【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生,媒体显示练习题. 【学生活动】书面练习、板演. 四、课堂小结 1.幂的乘方(a ) =a (m,n 都是正整数)使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘. 2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,可以是字母,?也可以是单项式或多项式. 3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于,一个是“指数相乘” ,?一个是“指数相加” . 五、布置作业 课本 P148 习题 15.1 第 1、2 题.
m n mn 2 2 2 3 10

板书设计 15.1.2 幂的乘方

1、幂的乘方的乘法法则例: 练习:

15.1.3 积的乘方
教学目标
88

1.知识与技能 ? ? 举例说明积的乘方的运算性质; 应用积的乘方的运算性质解决问题.

2.过程与方法 ? 经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.

3.情感、态度与价值观 ? 通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活

的勇气和信心. 重、难点与关键 1.重点:积的乘方的运算. 2.难点:积的乘方的推导过程的理解和灵活运用. 3.关键:要突破这个难点,教师应该在引导这个推导过程时,步步深入,?层层引导,而不该强硬地死 记公式,只有在理解的情况下,才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用. 教学方法 采用“探究──交流──合作”的方法,让学生在互动中掌握知识. 教学过程 一、回顾交流,导入新知 【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容以及区别. 【学生活动】踊跃举手发言,解说老师的提问. 【课堂演练】 计算: (x ) (2)a?a (3)x ?x (x ) (1)
4 3 5 7 9 2 3

【学生活动】完成上面的演练题,并从中领会这两个幂的运算法则. 【教师活动】巡视,关注学生的练习,并请 3 位学生上台演示,?然后再提出下面的问题. 同学们思考怎样计算(2a ) ,每一步的根据是什么? 【学生活动】先独立完成上面的问题,再小组讨论. (2a ) =(2a )(2a )(2a )(2a ) ? ? ? (乘方的含义) =(2?2?2?2)(a ?a ?a ?a ) ? (乘法交换律、结合律) =2 ?a (乘方的意义与同底数幂的乘法运算) =16a
12 4 12 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 4

【教师活动】提出应用以上分析问题的过程,再计算(ab) ,说出每一步的根据是什么? 【学生活动】独立思考之后,再与同学交流. (ab) =(ab)(ab)(ab)(ab) ? ? ? (乘方的含义) =(aaaa)(bbbb) ? (交换律、结合律) =a ?b (乘方的含义) 【教师提问】 (1)请同学们通过计算,观察乘方结果之后,?你能得出什么规律?(2)如果设 n 为正整 数,将上式的指数改成 n,即: (ab) ,其结果是什么?
89
n 4 4 4

4

【学生活动】回答出(ab) =a b . 【师生共识】我们得到了积的乘方法则: (ab) =a b (n 为正整数) ,这就是说,积的乘方等于积的每个 因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
n n n

n

n n

( ?( ?a b b ?b (ab) = ( ab)? ab)? ? ab) ? ( aaa ? ? ) (b ? ? ? ? ) =a b
n

n n

??? ??? ?
n个

? ?? ?? ? ? ? ??
n个 n个

【教师活动】拓展训练:三个或三个以上的积的乘方,如(abc) , 【学生活动】回答出结果是(abc) =a b c . 二、范例学习,应用所学 【例】计算: (1) (2b) ; (2?a ) ; (-a) ; (-3x) . (2) (3) (4) 【教师活动】组织、讲例、提问. 【学生活动】踊跃抢答. 三、拓展延伸 课本 P144 练习. 【探研时空】 计算下列各式: (1) (-
3 3 2 3 4 n n n n

n

3 2 3 3 3 4 )? (- ) ; (a-b) ? (2) (a-b) ; 5 5
5 5 4 n 3n 2 2 3

(3) (-a ) ; (-2xy) ; (4) (5) (3a ) ; (xy ) -[(2x) ] ; (6) (7) ) -(x ) ; (x (8)-p? (-p) ; (9) ) ?t; (t (10) ) ? ) . (a (a 四、课堂小结 本节课注重课堂引入,激发学生兴趣, “良好开端等于成功一半” . 1.积的乘方(ab) =a b (n 是正整数) ,使用范围:底数是积的乘方.方法:把积的每一个因式分别乘 方,再把所得的幂相乘. 2.在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数,?也可以是整式,对三个以上因式的 积也适用. 3.要注意运算过程,注意每一步依据,还应防止符号上的错误. 4.在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系. 五、布置作业 1.课本 P148 习题 15.1 第 1、2 题.
n n n m 2 2 3 3 2 4 6 3 8 4 2

板书设计

90

15.1.3 积的乘方

1、积的乘方的乘法法则例: 练习:

15.1.4 单项式乘以单项式
教学目标 1.知识与技能 ? 进行简单的整式乘法运算.

2.过程与方法 ? 经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语

言表达能力. 3.情感、态度与价值观 ? 培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.

重、难点与关键 1.重点:单项式乘法运算法则的推导与应用. 2.难点:单项式乘法运算法则的推导与应用. 3.关键:通过创设一定的问题情境,?推导出单项式与单项式相乘的运算法则,可以采用循序渐进的方 法突破难点. 教学方法 采用“情境──探究”的教学方法,让学生在创设的情境之中自然地领悟知识. 教学过程 一、创设情境,操作导入 【手工比赛】 让学生在课前准备一张自己最满意的照片,自己制作一个美丽的像框.上课之后,首先来做游戏, “才 艺大献” ,把自己的照片加一个美丽的像框,看谁在 10 分钟之内,可以装饰出美丽的照片,谁的最好,老师 就送他个好礼物. 【教师活动】组织学生参加“才艺比赛” . 【学生活动】完成上述手工制作,与同伴交流. 【教师引导】在学生完成之后,教师拿出一张美丽的风景照片,提出问题:你们看这幅美丽的风景图片, 如何装饰它会更漂亮? 【学生回答】加一个美丽的像框. 【引入课题】假如要加一个美丽的像框,需要知道这幅图片的大小,现在告诉你,图片的长为 mx,宽为
91

x,你能计算出图片的面积吗? 【学生活动】动手列式,图片的面积为 mx?x=? 【教师提问】对于 mx?x=?的问题,前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则,现在请你运用 已学知识推导出它的结果. 【学生活动】先独立思考,再与同伴交流. 实际上 mx?x=m(x?x)=m?x =mx . 【拓展延伸】请同学们继续计算 mx?
2 2

5 x=? 4

【学生活动】先独立完成,再与同伴交流,踊跃上台演示. mx?

5 5 5 2 5 2 x=m? x?x=m? x = mx . 4 4 4 4
2 3 2

【教师活动】请部分学生上台演示,然后大家共同讨论. 【继续探究】计算: (1)x?mx; (2)2a b?3ab ; (abc) c. (3) ?b 【学生活动】独立完成,再与同学交流. 【教师活动】总结新知:我们根据自己做的题目的原则,得到单项式与单项式相乘的运算法则:单项式 与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,放在积的因式中. 二、范例学习,应用所学 【例 1】计算. (1)3x y? (-2xy ) (-5a b )(-4b c) (2) ? 【思路点拨】例 1 的两个小题,可先利用乘法交换律、?结合律变形成数与数相乘,同底数幂与同底数 幂相乘的形式,单独一个字母照抄. 【例 2】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为 7.9?10 米/秒,?则卫星运行 3?10 秒所走的 路程约是多少? 【教师活动】 :引导学生参与到例 1,例 2 的解决之中. 【学生活动】参与到教师的讲例之中,巩固新知. 三、问题讨论,加深理解 【问题牵引】 1.a?a 可以看作是边长为 a 的正方形的面积,a?ab 又怎样理解呢? 2.想一想,你会说明 a?b,3a?2a 以及 3a?5ab 的几何意义吗? 【教师活动】问题牵引,引导学生思考,提问个别学生. 【学生活动】分四人小组,合作学习.
3 2 2 3 2 3 2

92

四、拓展延伸 课本 P145 练习第 1、2 题. 五、课堂小结 本节内容是单项式乘以单项式,重点是放在对运算法则的理解和应用上. 提问: (1)请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则. (2)在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么? 六、布置作业 1.课本 P149 习题 15.1 第 3 题. 板书设计 15.1.4 单项式乘以单项式

1、单项式乘以单项式的乘法法则例: 练习:

15.1.5 单项式与多项式相乘
教学目标 1.知识与技能 ? 会进行简单的单项式与多项式的乘法运算.

2.过程与方法 ? 经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考

及语言表达能力. 3.情感、态度与价值观 ? 培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值.

重、难点与关键 1.重点:单项式与多项式相乘的法则. 2.难点:整式乘法法则的推导与应用. 3.?关键:应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来,注意知识迁移. 教学方法 采用“情境──探究”教学方法,让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则. 教学过程 一、回顾交流,课堂演练 1.口述单项式乘以单项式法则. 2.口述乘法分配律.
93

3.课堂演练,计算: (1) (-5x)(3x) (2) ? (-3x)(-x) ? (3)
2

1 2 2 xy? xy 3 3

(4)-5m ? (-

2

1 2 5 1 1 4 6 2 mn) (5)- x y -2x y? (- xy) 2 3 5

【教师活动】组织练习,关注中下水平的学生. 【学生活动】先独立完成上述“演练题” ,再相互交流,部分学生上台演示. 二、创设情境,引入新课 小明作了一幅水彩画,所用纸的大小如图 1,她在纸的左右两边各留了 幅画的画面面积是多少? 【学生活动】小组合作,讨论.

1 a 米的空白,请同学们列出这 6

【教师活动】在学生讨论的基础上,提问个别学生. 【情境问题 2】夏天将要来临,有 3 家超市以相同价格 n?(单位:元/台)销售 A 牌空调,他们在一年 内的销售量(单位:台)分别是 x,y,z,?请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入. 【学生活动】分四人小组,与同伴交流,寻求不同的表示方法. 方法一:首先计算出这三家超市销售 A 牌空调的总量(单位:台) ,?再计算出总的收入(单位:元) . 即:n(x+y+z) . 方法二:采用分别计算出三家超市销售 A 牌空调的收入,?然后再计算出他们的总收入(单位:元) . 即:nx+ny+nz.由此可得:n(x+y+z)=nx+ny+nz. 【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中,找到规律:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多 项式中的每一项,再把所得的积相加. 三、范例学习,应用所学 【例 1】计算: (-2a )(3ab -5ab ) ? . 解:原式=(-2a ) (3ab )-(-2a )(5ab ) ? =-6a b +10a b
3 2 3 3 2 2 2 3 2 2 3

【例 2】化简:-3x ? (
3 2 2

2

1 2 2 2 xy-y )-10x? y-xy ) (x 3
3 2 2

解:原式=-x y+3x y -10x y+10x y =-11x y+13x y
3 2 2

【例 3】解方程:8x(5-x)=19-2x(4x-3) 40x-8x =19-8x +6x
94
2 2

40x-6x=19 34x=19 x=

19 34

四、拓展延伸 课本 P146 练习. 【探研时空】 计算: (1)5x (2x -3x +8) (2)-16x(x -3y) (3)-2a (
2 2 2 3 2

1 2 4 1 2 2 2 3 ab +b ) ( x y -16xy) (4) ? xy 2 2 3

【教师活动】巡视,关注中差生. 五、课堂小结 1.单项式与多项式相乘法则:单项式与多项式相乘,?就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的 积相加. 2.单项式与多项式相乘,应注意(1) “不漏乘”(2)注意“符号” ; . 六、布置作业 课本 P149 习题 15.1 第 4、6 题.

板书设计 15.1.5 单项式乘以多项式

1、单项式乘以多项式的乘法法则例: 练习:

15.1.6 多项式与多项式相乘
教学目标 1.知识与技能 ? 按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.

2.过程与方法 ? 经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会其运算的算理.

3.情感、态度与价值观 ? 通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.

重、难点与关键
95

1.重点:多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 2.难点:多项式与多项式的乘法法则的应用. 3.?关键:多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决. 教学方法 采用“情境──探索”教学方法,让学生在设置的情境中,通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵. 教学过程 一、创设情境,操作感知 【动手操作】 首先,在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形,并且分成如下图 1?所示的四部分,标上字母. 【学生活动】拿出准备好的硬纸板,画出上图 1,并标上字母.

【教师活动】要求学生根据图中的数据,求一下这个矩形的面积. 【学生活动】与同伴交流,计算出它的面积为: (m+b)?(n+a) . 【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开,分成如下图两部分,如图 2.剪 开之后,分别求一下这两部分的面积,再求一下它们的和.

【学生活动】分四人小组,合作探究,求出第一块的面积为 m(n+a) ,第二块的面积为 b(n+a) ,它们 的和为 m(n+a)+b(n+a) . 【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开,将图形分成四部分,如图 3,?然后再求这四块长方形的 面积.

【学生活动】分四人小组合作学习,求出 S1=mn;S2=nb;S3=am;S4=ab,?它们的和为 S=mn+nb+am+ab. 【教师提问】依据上面的操作,求得的图形面积,探索(m+b) (n+a)应该等于什么? 【学生活动】分四人小组讨论,并交流自己的看法. (m+b)?(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab,因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩 形的面积进行了计算,那么,两次的计算结果应该是相同的,所以(m+b)?(n+a)=m(n+a)+b(n+a) =mn+nb+am+ab. 【师生共识】多项式与多项式相乘,用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的
96

结果相加. 字母呈现: 二、范例学习,应用所学 【例 1】计算: (1) (x+2) (x-3) (3x-1) (2) (2x+1) 【例 2】计算: (1) (x-3y) (x+7y) (2x+5y) (2) (3x-2y) 【例 3】先化简,再求值: (a-3b) +(3a+b) -(a+5b) +(a-5b) ,其中 a=-8,b=-6. 【教师活动】例 1~例 3,启发学生参与到例题所设置的计算问题中去. 【学生活动】参与其中,领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题. 三、随堂练习,巩固新知 课本 P148 练习第 1、2 题. 【探究时空】 一块长 m 米,宽 n 米的玻璃,长宽各裁掉 a?米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小) , 问台面面积是多少? 四、课堂小结 1.多项式与多项式相乘,?应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果,利用乘法分配 律来理解(m+n)与(a+b)相乘的结果,导出多项式乘法的法则. 2.多项式与多项式相乘,第一步要先进行整理,?在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项 时,要“依次”进行,不重复,不遗漏,且各个多项式中的项不能自乘,多项式是几个单项式的和,每一项 都包括前面的符号,在计算时要正确确定积中各项的符号. 五、布置作业 课本 P149 习题 15.1 第 5、6、7(2) 、9、10 题. 板书设计 15.1.6 多项式乘以多项式
2 2 2 2

=ma+mb+na+nb.

1、多项式乘以多项式的乘法法则例: 练习:

15.2.1 平方差公式(一)
教学目标 1.知识与技能 ? 能够推导平方差公式;
97

?

运用平方差公式进行简单计算.

2.过程与方法 ? 式. 3.情感、态度与价值观 ? 造性. 重、难点与关键 1.重点:平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解. 2.难点:平方差公式的应用. 3.关键:对于平方差公式的推导,我们可以通过教师引导,学生观察、?总结、猜想,然后得出结论来 突破;抓住平方差公式的本质特征,是正确应用公式来计算的关键. 教学方法 采用“情境──探究”的教学方法,让学生在观察、猜想中总结出平方差公式. 教学过程 一、创设情境,故事引入 【情境设置】 教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事 【学生活动】1 位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事,?其他学生认真听着,不时补充. 【教师归纳】听了这则故事之后,同学们应该懂得这么一个道理,学习千万不能像狗熊掰棒子一样,前 面学,后面忘,那么,上节课我们学习了什么呢?还记得吗? 【学生回答】多项式乘以多项式. 【教师激发】大家是不是已经掌握呢?还是早扔掉了呢?和小狗熊犯了同样的错误呢?下面我们就来做 这几道题,看看你是否掌握了以前的知识. 【问题牵引】计算: (1) (x+2) (x-2)(2) ; (1+3a) (1-3a) ; (3) (x+5y) (x-5y)(4) ; (y+3z) (y-3z) . 做完之后,观察以上算式及运算结果,你能发现什么规律?再举两个例子验证你的发现. 【学生活动】分四人小组,合作学习,获得以下结果: (1) (x+2) (x-2)=x -4; (2) (1+3a) (1-3a)=1-9a ; (3) (x+5y) (x-5y)=x -25y ; (4) (y+3z) (y-3z)=y -9z . 【教师活动】请一位学生上台演示,然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果,寻找规律. 【学生活动】讨论 【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律,这些是一类特殊的多项式
98
2 2 2 2 2 2

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公

通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性,体验数学活动充满着探索性和创

相乘,那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢? 【学生回答】可以用(a+b) (a-b)表示左边,那么右边就可以表示成 a -b 了,即(a+b) (a-b)=a -b . 用语言描述就是:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 【教师活动】表扬学生的探索精神,引出课题──平方差,并说明这是一个平方差公式和公式中的字母 含义. 二、范例学习,应用所学 【教师讲述】 平方差公式的运用,关键是正确寻找公式中的 a 和 b,只有正确找到 a 和 b,?一切就变得容易了.现在 大家来看看下面几个例子,从中得到启发. 【例 1】运用平方差公式计算: (1) (2x+3) (2x-3) ; (2) (b+3a) (3a-b) ; (3) (-m+n) (-m-n) . 填表: (a+b)(a-b) (2x+3)(2x-3) (b+3a)(3a-b) (-m+n)(-m-n) a 2x b a -b
2 2 2 2 2 2 2

结果
2

(2x) -3

【例 2】计算: (1)103?97 (2) (3x-y) (3y-x)-(x-y) (x+y) 通过做题,应该总结出:在两个因式中,符号相同的一项作 a,符号不同的一项作 b. 三、随堂练习,巩固新知 课本 P153 练习第 1、2 题. 四、课堂小结 本节课的内容是两数和与这两数差的积,公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质.运用平方差 公式应满足两点:一是找出公式中的第一个数 a,?第二个数 b;二是两数和乘以这两数差,这也是判断能否 运用平方差公式的方法. 五、布置作业 课本 P156 第 1、2 题. 板书设计

99

15.2.1 平方差公式(一)

1、平方差公式例: (a+b) (a-b)=a -b 练习:
2 2

15.2.1 平方差公式(二)
教学目标 1.知识与技能 ? 熟练应用平方差公式.

2.过程与方法 ? 经历平方差公式的运用过程,体会平方差公式的内涵.

3.情感、态度与价值观 ? 培养良好的运算能力,以及观察事物的特征的能力,感受到学习数学知识的实际价值.

重、难点与关键 1.重点:运用平方差公式进行整式计算. 2.难点:准确把握运用平方差公式的特征. 3.关键:弄清平方差公式的结构特点,左边: (1)两个二项式的积; (2)?两个二项式中一项相同,另 一项互为相反数.右边: (1)二项式; (2)两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方. 教学方法 采用“精讲.精练”分层递推的教学方法,让学生在训练中,熟练掌握平方差的特征. 教学过程 一、回顾交流,课堂演练 1.用平方差公式计算: (1) (-9x-2y) (-9x+2y) (-0.5y+0.3x) (2) (0.5y+0.3x) (3) (8a b-1) (1+8a b) (4)2008 -2009?2007 2.计算: (a+
2 2 2

1 1 b) (a- b)-(3a-2b) (3a+2b) 2 2

【教师活动】请部分学生上讲台“板演” ,然后组织学生交流. 【学生活动】先独立完成课堂演练,再与同学交流. 二、范例学习,巩固深化 【例 1】计算: (1) (

1 1 3 3 y+2 x) (2 x- y) ; 2 2 4 4
100

(2) (-

5 5 2 2 x-0.7a b) ( x-0.7a b) ; 6 6
2 2 4 4

(3) (2a-3b) (2a+3b) (4a +9b ) (16a +81b ) .

25 2 9 2 5 3 5 3 x ? y x+ y) ( x- y)= 4 16 2 4 2 4 5 5 2 2 (2)原式=(-0.7a b- x) (-0.7a b+ x) 6 6 5 25 2 2 2 2 4 2 =(-0.7a b) -( x) =0.49a b - x 6 36
解: (1)原式=( (3)原式=(4a -9b ) (4a +9b ) (16a +81b ) =(16a -81b ) (16a +81b ) =256a -6561b
8 8 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4

3 1 ?8 4 4 3 1 1 1 【思路点拨】因为 7 可改写为 8- ,8 可改写成 8+ ,这样可用平方差公式计算. 4 4 4 4 3 1 1 1 1 2 1 15 2 解:7 ?8 =(8- ) (8+ )=8 -( ) =64- =63 . 4 4 4 4 4 16 16
【例 2】运用乘法公式计算:7 【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式. 【学生活动】参与到例 1~2 的学习中去. 三、课堂演练,拓展思维 【演练题 1】想一想: (1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特征.

?6 ? 8 ? ? ? ?7 ? 7 ? ?

?13 ?15 ? ? ? ?14 ?14 ? ?

?61? 63 ? ? ? ?62 ? 62 ? ?

?59 ? 61 ? ? ? ?60 ? 60 ? ?

(2)从以上的过程中,你能寻找出什么规律? (3)请你用字母表现你所发现的规律,并得出结论. 【演练题 2】 1.计算: (1)118?122(2)105?95(3)1007?993 2.求(2-1) (2+1) +1) +1)?(2 +1)+1 的个位数字. (2 (2 【教师活动】组织学生进行课堂演练,并适时归纳. 【学生活动】先独立完成上面的演练题,再与同伴交流. 四、随堂练习,巩固提升 【探研时空】 1.计算:[2a -(a+b) (a-b)][(-a-b) (-a+b)+2b ]; 2.解不等式: (3x+4) (3x-4)<9(x-2) (x+3) ; 3.利用平方差公式计算:1.97?2.03; 4.化简求值:x -(1-x) (1+x) (1+x )其中 x=-2. 【教师活动】引导学生通过探究,领会平方差公式的真正意义. 【学生活动】分四人小组合作学习,互相交流.
101
4 2 2 2 2 4 32

五、课堂小结 提问式总结: 1.什么叫做平方差公式?它有什么特征? 2.你在应用过程中有什么感想? 3.在应用平方差公式时,应注意什么?举例说明. 六、布置作业 选用补充作业. 板书设计 15.2.1 平方差公式(二)

1、平方差公式例: (a+b) (a-b)=a -b 练习:
2 2

15.2.2 完全平方公式(一)
教学目标 1.知识与技能 ? ? 推导完全平方公式; 运用公式进行简单的运算.

2.过程与方法 ? 利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式.掌握完全平方公式的计算方法.

3.情感、态度与价值观 ? 培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性.

重、难点与关键 1.重点:完全平方公式的推导和应用. 2.难点:完全平方公式的应用. 3.关键:从多项式与多项式相乘入手,推导出完全平方公式,?利用几何模和割补面积的方法来验证公 式的正确性. 教具准备 制作边长为 a 和 b 的正方形以及长为 a 宽为 b 的纸板. 教学方法 采用“情境──探究”教学方法,让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵. 教学过程 一、创设情境,导入新知
102

【激趣辅垫】 寓言故事:请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事. 【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事,其他学生补充. 【教师活动】提出:你们从故事中学到了什么道理?(寓德于教) 【学生发言】比喻没有真才实学的人, 混在行家里充数,或以次货充好货. 【教师引导】对!所以我们在以后的学习和工作中,千万别滥竽充数,一定要有真才实学.好.今天同 学们喊得很响亮,我要看看有没有南郭先生,请同学们完成下面的几道题: (1) (2x-3) ; (x+y) ; (m+2n) ; (2x-4) . (2) (3) (4) 【学生活动】先独立完成以上练习,再争取上讲台演练, (1) (2x-3) =4x -12x+9; (x+y) =x +2xy+y ; (2) (3) (m+2n) =m +4mn+4n ; (2x-4) =4x -16x+16. (4) 【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项,观察、猜测它们的共同特点. 【学生活动】分四人小组,讨论.观察,探讨,发现规律如下: (1)?右边第一项是左边第一项的平方, 右边最后一项是左边第二项的平方,中间一项是它们两个乘积的 2 倍. (2)左边如果为“+”号,右边全是 “+”号,左边如果为“-”号,它们两个乘积的 2?倍就为“-”号,其余都为“+”号. 【教师提问】那我们就利用简单的(a+b) 与(a-b) 进行验证,请同学们利用多项式乘法以及幂的意 义进行计算. 【学生活动】计算出(a+b) =a +2ab+b ; (a-b) =a -2ab+b ,完成后,?一位学生上讲台板演. 【教师活动】利用学生的板演内容,引出本节课的教学内容──完全平方公式. 归纳:完全平方公式: (a+b) =a +2ab+b ; (a-b) =a -2ab+b . 语言叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的 2 倍. 为了让学生直观理解公式,可做下面的拼图游戏. 【拼图游戏】 解释: (1)现有图 1 所示的三种规格的硬纸片各若干张,?请你根据二次三项式 a +2ab+b ,选取相应种 类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,?并探究所拼出的正方形的代数意义.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)你能根据图 2,谈一谈(a-b) =a -2ab+b 吗? 【课堂活动】第(1)题由小组合作,在互动中完成拼图游戏,比一比,哪个四人小组快?第(2)题, 可以借助多媒体课件,直观地演示面积的变化,帮助学生联想到 (a-b) =a -b -2b(a-b)=a -2ab+b .
103
2 2 2 2 2

2

2

2

二、范例学习,应用所学 【例 1】运用完全平方公式计算: (1) (-x-y) ; (2y- (2)
2 2

1 2 ) 3
2 2

(1)解法一: (-x-y) =[(-x)+(-y)] =(-x) +2(-x) (-y)+(-y) =x +2xy+y ;
2 2 2

解法二: (-x-y) =[-(x+y)] =(x+y) =x +2xy+y . (2)解法一: (2y-

2

2

2

2

2

1 2 1 1 2 2 ) =(2y) -2?2y? +( ) 3 3 3

=4y -

2

4 1 y+ . 3 9

1 2 1 2 ) =[2y+(- )] 3 3 1 1 2 2 =(2y) +2?2y? (- )+(- ) 3 3
解法二: (2y- =4y -
2

4 1 y+ . 3 9
2

【例 2】运用乘法公式计算 9999 . 解:9999 =(10 -1) =10 -2?10 +1 =100000000-20000+1 =99980001. 三、随堂练习,巩固新知 【基础训练】
2 4 2 8 4

a b 2 2 - ) ; (2xy+3) ; (2) 3 2 1 2 2 (3) (-ab+ ) ; (7ab+2) . (4) 3
(1) ( 【拓展训练】 (1) (-2x-3) ; (2x+3) ; (2) (3) (2x-3) ; (3-2x) . (4) 【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后,让学生观察一下结果,看看有什么规律. 【学生活动】 分四人小组合作交流, 寻找规律如下: 把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方 (把 减去一个数看作加上一个负数) ,如果两个数是相同的符号,则结果中的每一项都是正的,如果两个数具有 不同的符号,?则它们乘积的 2 倍这一项就是负的. 【探研时空】 已知:x+y=-2,xy=3,求 x +y . 四、课堂小结 本节课学习了(a±b) =a ±2ab+b ,两个乘法公式,在应用时, (1)?要了解公式的结构和特征.让住
104
2 2 2 2 2 2 2 2 2

每一个公式左右两边的形式特征,记准指数和系数的符号; (2)掌握公式的几何意义; (3)弄清公式的变化 形式; (4)注意公式在应用中的条件; (5)应灵活地应用公式来解题. 五、布置作业 课本 P156 习题 15.2 第 3、4、8、9 题. 板书设计 15.2.2 完全平方公式(一)

1、完全平方公式例: (a±b) =a ±2ab+b 练习:
2 2 2

15.2.2 完全平方公式(二)
教学目标 1.知识与技能 ? ? 区分完全平方公式和平方差公式; 熟练应用完全平方公式和平方差公式解决问题;

2.过程与方法 ? 通过探索和理解乘法公式,感受乘法公式从一般到特殊的认知过程,拓展思维空间.

3.情感、态度与价值观 ? 培养良好的分析思想和与人合作的习惯,体会到数学算理的重要价值.

重、难点与关键 1.重点:正确应用乘法公式(平方差公式,完全平方公式) . 2.难点:对乘法公式的结构特征以及内涵的理解. 3.关键:对公式的结构特征进行具体的分析,?从中感悟公式的特点并加以概括. 教学方法 采用“精讲.精练”的教学方法,增强教学的有效性. 教学过程 一、回顾交流,拓展延伸 【教师提问】 1.请同学们说一说平方差公式与完全平方公式的内容. 2.这两个公式有什么区别?如何使用? 【学生活动】踊跃发言. 平方差公式: (a+b) (a-b)=a -b
2 2 2 2

完全平方公式: (a±b) =a ±2ab+b

2

105

这里的字母 a、b 可以是数、单项式、多项式. 二、范例学习,拓展知识 【例 1】计算(2a-3b-4) (2a+3b+4) 该题关键在于正确的分组,一般规律是:把完全相同的项分为一组,符合相反、绝对值相等的项分为另 一组. 【例 2】例 a=-1,b=2 时,求代数式[(
2

1 1 1 2 2 2 2 a+b) +( a-b) ]( a -2b )的值. 2 2 2
2

【例 3】已知 a+b=-2,ab=-15,求 a +b 的值. 解:∵(a+b) =a +2ab+b ,变形后可有 a +b =(a+b) -2ab. 把 a+b=-2,ab=-15 代入上式,则 a +b =(-2) -2?(-15)=34. 三、拓展延伸 【课堂演练】 演练题 1:应用乘法公式计算:1995 -1994?1996. 演练题 2:已知 a+b=-6,ab=8,求(1)a +b ; (a-b) . (2) 四、课堂小结 1.本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法,?注意平方差公式与完全平方公式的区别. 2.在乘法计算中,能用公式简便计算的应该使用公式,?要注意公式的应用条件,记住公式的模样,在 此前提下对具体题目进行细致观察,想办法将题目调整或变形,使之能使用公式,当然,有些不能使用公式 的整式乘法计算就只能运用一般的多项式乘法来进行了. 五、布置作业 课本 P157 第 5、6、7 题. 板书设计 15.2.2 完全平方公式(二)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1、完全平方公式例: (a±b) =a ±2ab+b 练习:
2 2 2

15.3.1 同底数幂的除法
教学目标 1.知识与技能 ? ? 举例说明同底数幂除法的运算法则; 应用同底数幂除法的运算法则解决实际问题.
106

2.过程与方法 ? 能力. 3.情感、态度与价值观 ? 感受数学法则、公式的简洁美、和谐美. 经历探究同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达

重、难点与关关键 1.重点:同底数幂的除法法则. 2.难点:同底数幂的除法法则的推导. 3.关键:采用数学类比的方法,引入幂的除法法则. 教学方法 采用“问题解决”教学方法. 教学过程 一、创设情境,导入新知 【情境引入】教科书 P159 问题: 一种数码照片的文件大小是 2 K,一个存储量为 2 M(1M=2 K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照 片?你是如何计算的? 【教师活动】组织学生独立思考完成,然后先组内交流(4 人小组) ,?接着再全班交流,鼓励学生积极 探索,应用数学转化的思想化陌生为熟悉,鼓励学生算法多样化,同样强调算理的叙述. 【学生活动】完成课本 P159“问题” ,踊跃发言,利用除法与乘法的互逆关系,求出 2 ÷2 =2 =256. 【继续探究】根据除法的意义填空,并观察计算结果,寻找规律: (1)7 ÷7 =7 ; (2)10 ÷10 =10 ; (3)x ÷x =x . 【归纳法则】一般地,我们有 a ÷a =a (a≠0,m,n 都是正整数,m>n) . 文字叙述:同底数的幂相除,底数不变,指数相减. 【教师活动】组织学生讨论为什么规定 a≠0? 二、范例学习,应用所学 【例 1】计算: (1)x ÷x ; (2)m ÷m; (3) (xy) ÷(xy) ; (m-n) ÷(m-n) . (4) 【特殊性质】探究课本 P160“探究”题. 根据除法的意义填空,并观察结果的规律: (1)7 ÷7 =()(2)100 ÷100 =() ; (3)a ÷a =() (a≠0) 【课堂活动】在学生完成上面的填空题之后,教师引导学生观察结论: (1)7 ÷7 =7
107
2 2 2-2 n n 2 2 5 5 7 2 8 4 9 3 7 m n m-n 7 3 () 12 7 () 7 2 () 16 8 8 8 6 10

=7 ; (2)100 ÷

0

5

100 =100

5

5-5

=100 ;
n n n-n

0

(3)a ÷a =a
0

=a (a≠0)

0

规定 a =1(a≠0) ,文字叙述如下: 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 【法则拓展】一般,我们有 a ÷a =a
m n m-n

(a≠0,m,n 都是正整数,并且 m≥n) ,?即文字叙述为: 同底数幂相除,底数不变,指数相减. 三、拓展延伸 课本 P160 练习第 1、2、3 题. 【探研时空】 下列计算是否正确?如果不正确,应如何改正? (1) (-xy) ÷(-xy) =-x y ; (2)6
2m+1 6 2 4 4

÷6 =6 =216;
2 10 10

m

3

(3)x ÷x ÷x=x ÷x=10 . 四、课堂小结 教师提问式总结: 1.同底数幂的除法法则? 2.a =1(a≠0)意义? 3.到目前为止,我们学习了哪些幂的运算法则?谈谈它们的异同点. 五、布置作业 课本 P164 第 1 题. 板书设计 15.3.1 同底数幂的除法
0

10

1、同底数幂的除法法则例: a ÷a =a
m n m-n

练习:

(a≠0,m,n 都是正整数,m>n)

15.3.2 单项式除以单项式
教学目标 1.知识与技能 ? 进行简单的单项式除以单项式运算;

2.过程与方法 ? 算.
108

经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式的运算法则的过程,掌握整式除法运

3.情感、态度与价值观 ? 培养学生探索的勇气和信念,增强挑战困难的勇气和信心.

重、难点与关键 1.重点:单项式除以单项式的运算法则. 2.难点:理解单项式除以单项式的法则并应用其法则计算. 3.?关键:运用类比数的运算方法切入到整式乘法的单项式乘以单项式运算法则的理解之中. 教学方法 采用“引导──发现”法进行教学. 教学过程 一、创设情境,导入新知 【激趣引入】 问题提出:林宁今年刚刚 3 岁,是幼儿园里最聪明的孩子,?李老师教他做算术,告诉他 5?6=30 后, 他马就知道 30÷5=6,你说他是怎样计算的呢? 【学生活动】回答上述问题:林宁利用了除法是乘法的逆运算得出的结果. 【教师活动】提出话题:我们前几天学习了整式的乘法,现在,不用老师讲解,你们能开始解决整式的 除法运算吗?谁可以告诉我单项式与单项式相除的法则? 【学生活动】思考回答:把它们的系数先相除,然后再把相同字母的幂相除,其他的字母连同它的指数 不变,作为商的因式. 【教师活动】引入课题,引导学生运用单项式除以单项式的法则计算下列几道题目. 【课堂演练】计算: (1) y)÷x ; (16m n )÷(2m n) (x (2) ; (3) y z)÷(3x y) (x 【学生活动】开始计算,然后总结归纳,上台演示,引入课题. 【归纳法则】 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指 数作为商的一个因式. 二、范例学习,应用所学 【例】计算: (1)63x y ÷7x y ; (2)-25a b c÷10a b. 三、拓展延伸 课本 P162 练习第 1、2 题. 【探研时空】 已知 10 =5,10 =4,求 10 四、课堂小结 单项式除以单项式运算时,要注意: 1.系数相除与同底数的幂相除的区别:后者运算时是将指数相减,?然而前者是有理数的除法.
m n 2m-3n 7 3 3 2 6 4 4 4 2 2 5 3 2 2 2

的值.

109

2.对于单项式除以单项式,仅仅考虑整除的情况. 五、布置作业 课本 P164 习题 15.3 第 2、4、7 题. 板书设计 15.3.2 单项式除以单项式

1、单项式除以单项式的除法法则例: 练习:

15.3.3 多项式除以单项式
教学目标 1.知识与技能 ? 进行简单的多项式除以单项式的运算.

2.过程与方法 ? 算. 3.情感、态度与价值观 ? 通过分组讨论学习, 体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性, 培养学生的团结协作精神, 利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的运算法则,掌握整式除法的运

使学生获得合作交流的学习方式. 重、难点与关键 1.重点:多项式除以单项式的运算法则的推导,以及法则的正确使用. 2.难点:多项式除以单项式的运算法则的熟练应用. 3.关键:从逆运算入手,?利用单项式与单项式相除的除法法则和分配律总结、归纳出多项式除以单项 式的法则. 教学方法 采用“激趣──导学”的教学法. 教学过程 一、小组合作,激趣导学 【课堂演练】 1. (-4a b) ÷(2ab ) 2.-16(x y ) ÷(-
3 4 3 2 2 2

1 4 5 2 xy); 2

110

3. (2xy) ? (-
2

2

1 5 3 2 3 2 4 x y z )÷(-2x y z) ; 5
2

4.18xy ÷(-3xy)-4x y÷(-2xy) . 【教师提问】(6xy+8y)÷(2y) “ ”如何计算? 【学生活动】相互讨论,大多数学生没有找到计算思路. 【教师活动】铺垫一道题目:计算(ad+bd)÷d, 计算: (1) y +4xy)÷x(2) (x (xy -2xy)÷(xy) 【学生活动】分四人小组完成并讨论多项式除以单项式的法则:多项式与单项式相除可以用分配律将它 转化为单项式与单项式相除,再利用单项式与单项式相除的法则进行计算. 【师生共识】多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加. 二、范例学习,应用所学 【例】计算: (1) (18x -4x -2x)÷2x (2) (36x y -14x y -7x y )÷(-7x y) (3)[(m-n) -n(2m+n)-8m]÷2m 三、拓展延伸 课本 P163 练习题. 【探研时空】下列计算是否正确?如不正确,应怎样改正? (1)-4ab ÷2ab=2b(2) (14a -2a +a)÷a=14a -2a. 四、课堂小结 多项式除以单项式时应注意运算中的问题:一是所除的商要写成省略括号的代数和,二是除式与被除式 不能交换,还要注意运算顺序,应灵活地运用有关运算公式. 五、布置作业 课本 P164 第 3、5、6、8 题. 板书设计 15.3.3 多项式除以单项式
2 3 2 2 2 4 3 3 2 2 2 2 4 2 3 2 3

1、多项式除以单项式的除法法则例: 练习:

15.4.1 因式分解
教学目标 1.知识与技能
111

?

区分因式分解与整式乘法的关系.

2.过程与方法 ? 经历从分解因数到分解因式的类比过程, 掌握因式分解的概念, 感受因式分解在解决问题中的作用.

3.情感、态度与价值观 ? 在探索因式分解的方法的活动中,培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意

识,体会数学知识的内在含义与价值. 重、难点与关键 1.重点:了解因式分解的意义,感受其作用. 2.难点:整式乘法与因式分解之间的关系. 3.关键:通过分解因数引入到分解因式,并进行类比,加深理解. 教学方法 采用“激趣导学”的教学方法. 教学过程 一、创设情境,激趣导入 【问题牵引】 请同学们探究下面的 2 个问题: 问题 1:720 能被哪些数整除?谈谈你的想法. 问题 2:当 a=102,b=98 时,求 a -b 的值. 二、丰富联想,展示思维 探索:你会做下面的填空吗? 1.ma+mb+mc=() ; () 2.x -4=() ; () 3.x -2xy+y =() . 【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式. 三、小组活动,共同探究 【问题牵引】 (1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解: ①(x+1) (x-1)=x -1; ②a -1+b =(a+1) (a-1)+b ; ③7x-7=7(x-1) . (2)在下列括号里,填上适当的项,使等式成立. ①9x (______)+y =(3x+y) (_______) ; ②x -4xy+(_______)=(x-_______) . 四、拓展延伸 课本练习. 【探研时空】计算:99 -99 能被 100 整除吗?
112
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

五、课堂小结 由学生自己进行小结,教师提出如下纲目: 1.什么叫因式分解? 2.因式分解与整式运算有何区别? 六、布置作业 选用补充作业. 板书设计 15.4.1 因式分解

1、因式分解例: 练习:

15.4.2 提公因式法
教学目标 1.知识与技能 ? ? 确定多项式各项的公因式; 应用提公因式法分解因式.

2.过程与方法 ? 使学生经历探索多项式各项公因式的过程,依据数学化归思想方法进行因式分解.

3.情感、态度与价值观 ? 培养学生分析、类比以及化归的思想,增进学生的合作交流意识,主动积极地积累确定公因式的初

步经验,体会其应用价值. 重、难点与关键 1.重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式. 2.难点:正确地确定多项式的最大公因式. 3.关键:提公因式法关键是如何找公因式.方法是:一看系数、二看字母.?公因式的系数取各项系数 的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂. 教学方法 采用“启发式”教学方法. 教学过程 一、回顾交流,导入新知 【复习交流】

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