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高三数学复习专题分段函数


专题二

分段函数

专题二 分段函数

专题二 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.分段函数 (1)分段函数定义:对于自变量 x 的不同的取值范围,有着不同的对应 法则,这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数. (2)定义域:各段函数定义域的并集. (3)值域:各段函数值域的并集

. 2.分段函数的常见问题 (1)分段函数的图象.(2)分段函数的函数值. (3)分段函数的单调性:分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即 可. (4)分段函数的奇偶性:先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是 奇(偶)函数,再由 x>0,-x<0,分别代入各段函数式计算 f(x)与 f(-x) 的值,若有 f(x)=-f(-x),当 x=0 有定义时 f(0)=0,则 f(x)是奇函数; 若有 f(x)=f(-x),则 f(x)是偶函数.

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要点热点探究 ? 探究点一 分段函数的单调性
分段函数的单调性,首先应该判断各段函数的单调性, 若每一段函数单调性一致,再判断分界点处函数值的关系, 符合单调性定义, 则该函数在整个定义域上单调递增或递减, 不符合,则必须分开说明单调性.
x a ? ? ?x>1?, 例 1 若 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递 . ?4- ?x+2?x≤1? ? ?? 2?

增 函数,则实数 a 的取值范围为________. .

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【解析】 因为 f(x)是定义在 R 上的增函数,故 y= ? a? a x ? ? a 和 y= 4-2 x+2 均为增函数, 所以 a>1 且 4- >0, 即 1<a<8. 2 ? ? 又画出该分段函数图象, 由图象可得,该函数还必须满足: ? a? 1 a ≥?4-2?×1+2,即 a≥4. ? ? 综上,a 的取值范围为 4≤a<8.

[4,8)

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【点评】 在处理分段函数的单调性时,易错在当每一段 函数为单调递增时,误以为整个函数也是单调递增,还需要 看分界点处的函数值的关系,如本题所给图象.

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?

探究点二

分段函数的值域

由于分段函数的值域为每一段函数值域的并集,所以分段 函数的值域一般需要进行比较各段最值之间的大小关系后,才 能明确.
例 2 已知函数 f(x)=x2+a|lnx-1|(a>0). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值; (2)当 x∈[1,+∞)时,求 f(x)的最小值.

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【解答】 (1)当 a=1,x∈[1,e]时,f(x)=x2-lnx+1, 1 f′(x)=2x-x≥f′(1)=1, 所以 f(x)在[1,e]上单调递增,所以 f(x)max=f(e)=e2. a (2)①当 x≥e 时,f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+x, ∵a>0,∴f′(x)>0 恒成立, ∴f(x)在[e,+∞]上为增函数,故当 x=e 时,ymin=f(e)=e2. a 2? a?? 2 ??x- ②当 1≤x<e 时, f(x)=x -alnx+a, f′(x)=2x-x=x?x+ 2?? ? a (i)当 ≤1,即 0<a≤2 时,f′(x)在(1,e)上为正数, 2 所以 f(x)在区间[1,e)上为增函数, 故当 x=1 时,ymin=1+a,且此时 f(1)<f(e)=e2;

a? ?. 2?

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(ii)当 1< 上大于 0, 所以
? f(x)在区间?1, ? ? a? a ? ?上为减函数,在? ,e?上为增函数, 2? 2 ? ? ? a 3a a a a? ?<f(e)=e2; 时,ymin= - ln ,且此时 f? 2 2 2 2 2? ? ? a 2 <e, 即 2<a<2e 时, f′(x)在?1, 2 ?

? a ? a? ?上小于 0, 在 ? , e? 2? ? 2 ?

故当 x=

a (iii)当 ≥e,即 a≥2e2 时,f′(x)在(1,e)上为负数, 2 所以 f(x)在(1,e)上为减函数,故当 x=e 时,ymin=f(e)=e2.

?1+a,0<a≤2, ?3 a a a 综上所述,函数 y=f(x)的最小值 ymin=? 2 -2ln2,2<a<2e2, ? 2 ?e ,a≥2e2.

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【点评】 一般地,含有绝对值符号的函数也是一种分 段函数,如本题所给函数 f(x)=x2+a|lnx-1|,所以在研究其 值域时,首先要通过分类讨论去掉其绝对值,再讨论每一段 函数的单调性,最后再比较各段函数的最小值,从而求得函 数的最小值.

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探究点三

实际问题中的分段函数模型

在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型, 在将 题干中的文字语言转化为函数模型时, 要注意不同情况下, 所 对应的不同函数模型.

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例 3 某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染, 某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每 投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克/ ?x+2?0<x≤4?, ?4 升)满足 y=mf(x),其中 f(x)=? 当药剂在水中释放 6 ? ?x>4?, ?x - 2 的浓度不低于 4(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度 不低于 4(毫克/升)且不高于 10(毫克/升)时称为最佳净化. (1)如果投放的药剂质量为 m=4,试问自来水达到有效净化一共 可持续几天? (2)如果投放的药剂质量为 m,为了使在 7 天(从投放药剂算起包 括 7 天)之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的值.

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【解答】

?x+8?0<x≤4?, (1)因为 m=4,所以 y=? 24 ?x-2?x>4?.

当 0<x≤4 时,x+8≥4,显然符合题意; 24 当 x>4 时, ≥4?4<x≤8.综上,0<x≤8. x-2 所以自来水达到有效净化一共可持续 8 天. mx ? ? 4 +2m?0<x≤4?, (2)由 y=m· f(x)=? 6m ? ?x-2?x>4?

知在区间(0,4]上单调递增,

6m 6m ≤y<3m,所以 ≤y≤3m. 5 5 6m 10 为使 4≤y≤10 恒成立,只要 ≥4 且 3m≤10 即可,即 m= . 5 3 即 2m<y≤3m,在区间(4,7]上单调递减,即 所以为了使在 7 天之内的自来水达到最佳净化,投放的药剂质量 m 应该为 10 . 3

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【点评】 本题的实际应用题所给函数模型为分段函数 模型,模型无需建立(变式题需要建立模型),本题的难点所 在是对“有效净化”和“最佳净化”这两个词语的转化.

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[2011· 湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善 整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度 v(单 位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0; 当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时. 研 究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次 函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上 某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大, 并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

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【解答】 (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 ? ?200a+b=0, 20≤x≤200 时, 设 v(x)=ax+b, 再由已知得? ? ?20a+b=60, 1 ? ?a=-3, 解得? ?b=200. 3 ? 60,0≤x<20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?1 ?200-x?,20≤x≤200. ? ?3

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60x,0≤x<20, ? ? (2)依题意并由(1)可得 f(x)=?1 x?200-x?,20≤x≤200. ? ?3 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; ? 1 1? ?x+?200-x??2 10000 当 20≤x≤200 时, f(x)= x(200-x)≤ ? ? = 3 . 3 3? 2 ? 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x = 100 时, f(x) 在区间 [0,200] 上取得最大值 3 ≈3333, 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大 值约为 3333 辆/小时.

专题二 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.分段函数在概念上的理解易出问题,会以为它是几个 函数,要明确的是分段函数不论分几段,都是一个函数,只不 过是每一个部分有着不同的解析式和图象. 2.分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点,难 度不大, 如 2010 和 2011 年所考查的题. 分段函数的单调性和 值域以及实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的 重点, 尤其是含参数的分段函数性质, 此时用好分类讨论和数 形结合这两个思想,会起到事半功倍的效果. 3.分段函数的奇偶性很少考查,如有涉及,可画出分段 函数的图象,转化为图象的对称性进行研究.

专题二 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
例 [2011· 江 苏 卷 ] 已 知 实 数 a≠0 , 函 数 f(x) = ? ?2x+a,x<1, ? 若 f(1 - a) = f(1 + a) , 则 a 的 值 为 ? ?-x-2a,x≥1, ________.
3 【答案】 - 4 【解析】 当 a>0 时, f(1-a)=2-2a+a=-1-3a=f(1+a), 3 a=- <0,不成立;当 a<0 时,f(1-a)=-1+a-2a=2+2a+a 2 3 =f(1+a),a=- . 4

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[ 2011· 福建卷] 已知函数
x ? ?2 ,x>0, f(x)=? ? ?x+1,x≤0.

若 f(a)

+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 A 【解析】 由已知,得 f(1)=2; 又当 x>0 时,f(x)=2x>1,而 f(a)+f(1)=0, ∴f(a)=-2,且 a<0, ∴a+1=-2,解得 a=-3,故选 A.

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已知函数
3 ? ?x ,x≤0, f(x)=? ? ?ln?x+1?,x>0.

若 f(2-x2)>f(x),

则实数 x 的取值范围是________.
(-2,1) 【解析】 画出函数的图象,如下图所示,

由图象可得, 该函数是定义在 R 上的增函数, 故 2-x2>x, 解得-2<x<1.


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