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凯里一中第二学期期末考试试题


凯里一中 2012-2013 学年度高一年级第二学期期末考试

数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。

第Ⅰ卷
(本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

/>
2 1.已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} ? (a, b) ,则 a ? b ? A .? 3 B .3 D .1 . C .?1

2.等差数 {an } 中,已知 a6 ? 2a3 ? 30 ,则 a 4 ?

A .7

B . 10

C . 11

D . 13 .

? x? y?2?0 ? 3.设变量 x , y 满足 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最大值和最小值分别是 ? x ? y ?8 ? 0 ?
A . 3 , ? 11 B . ? 3 , ? 11

C . 11 , ? 3

D . 11 , 3 .

4.如右图所示, O 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的上底面

A1 B1C1 D1 的中心,将此正方体挖去四棱锥 O ? ABCD 后,
所得几何体的俯视图可以是

D1 A1

O

C1 B1

B A D

C

A.

B.

C.

D.

5.已知直线 l 经过点 A(?1,2) 和 B(2,3) 两点,且与直线 y ? kx ? b 平行,则

1 ,b ? R ; 3 1 C . k ? ? ,b ? R ; 3
A .k ?

B .k ?

1 7 ,b ? ; 3 3 1 11 D . k ? ? ,b ? . 3 3

6. ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 所对的边,已知 b 2 ? c 2 ? a( 3c ? a) ,则

A . B ? 1500 ;

B . B ? 300 ;

C . B ? 1200 ;

D . B ? 600 .

高一数学试卷共 4 页第 1 页

7.某长方体的长、宽、高分别是 3cm 、 2cm 、 1 cm ,该长方体的八个顶点都在一个球面 上,则这个球的表面积是

A . 56? cm2 ;
8.函数 f ( x ) ?

B . 12? cm2 ;

C . 6? cm2 ;

D .14? cm2 .

A . 12 ;

4 ? 9 x ( x ? 1) 的最小值是 x ?1 B .3 ; C . 21 ;

D . 25 .

9.圆 C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 3 ? 0 与 y 轴交于 A 、 B 两点,则 ?ABC 的面积为

A . 15 ;

B .6 7 ;

C .3 7 ;

D .2 3.

10.已知 l , m 是空间两条不重合的直线, ? , ? 是空间的两个不同的平面,则下列结论 中正确的是

A .若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? ;

B .若 l // ? , ? ? ? ,则 l // ? ;

C. ? // ? ,m ? ? , ? // ? ,m ? ? , 若l ? m , 则l ? ? ; D . 若l ? ? , 则l ? m .
11.如右图所示, AB 是半径为 2cm 的半圆 O 的直径, CDEF 为矩形,其中, C , D 在 直径 AB 上, E , F 在半圆弧上,则矩形 CDEF 的面积的最大值是

F

E

A . 4 cm2 ;

B . 4 2 cm2 ;

C . 2 3 cm2 ;

D . 4 3 cm2 .

A
A

C

O D

B

12.如图所示, ABCD 是空间四边形, E 、 F 、 G 、 H 分别 是线段 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点, AB ? AD ? BD ? 4 ,

H E D G F C

BC ? CD ? AC ? 2 5 ,则 A 点到平面 EFGH 的距离是
6 A. ; 6
C.

2 5 B. ; 5
D.

B

55 ; 5

2 55 . 5

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

高一数学试卷共 4 页第 2 页

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在题中横线上.

13. 等比数列 {an } 中, a 2 ? 4 , a3 ? 8 ,则函数 f ( x ) ? (答案用区间表示) . 14.某几何体的三视图如图所示, (其中俯视图是 半径为 2cm 的圆)则该几何体的体积为

1 x 2 ? a4

的定义域为

4cm


4cm

正视图

侧视图

15.直线 l 在两条坐标轴上的截距相等,且经过点

P(2,3) ,则 l 的斜率为



16.用两个平行平面去截球,截面的面积分别是 7? 和 12? ,如这两个平行平面的距离是 1 ,则这个球的 体积是 .

俯视图

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知直线 l 经过点 P(2,?3) ,且与直线 2 x ? 3 y ? 1 垂直. (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)圆 C 的圆心为 C (1,2) ,且与直线 l 相切,求圆 C 的标准方程.

18. (本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A , B , C 所对的边 c 分别是 a , b , c ,且 b ? 2 3 , A ?
(Ⅰ)求 a sin B ; (Ⅱ)若 S ?ABC ? 6 3 ,求 a .

?
3



19. (本小题满分 12 分)
高一数学试卷共 4 页第 3 页

D1 A1 D A E B F B1

C1

C

如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是线段 AB 和 A1C1 的中点. (Ⅰ)求证: EF // 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)若异面直线 AA 1 , EF 所成的角为 ? ,求 cos ? .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x?3 . x ? (a ? 1) x ? a
2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求满足条件 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) ? 0 ,求 x 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ? (Ⅰ)确定常数 k ,并求 {an } ; (Ⅱ)求数列 {

1 2 n ? kn (k ? N *) ,且 S n 的最大值为 8 . 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn . 2n

*22. (本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过点 P(4,2) 且与 x 轴正半轴交于 B 点, 与射线 y ? 4 x ( x ? 0) 在第一象限交于 A 点(如图) . (Ⅰ)当 P 为线段 AB 的中点时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)求 ?AOB 面积的最小值.

y l y =4x A P(4,2) B O x

高一数学期末主试卷参考答案
高一数学试卷共 4 页第 4 页

题号 答案

1 D

2 B

3 A

4 C 14.

5 B

6 A

7 D 15. ? 1 或

8 C

9 C

10 D

11 A

12 C

3 ; 16. 256 . ? 2 3 2 17.解:(Ⅰ)设直线 l 的斜率为 k ,由于直线 2 x ? 3 y ? 1 的斜率为 ? , 3 2 3 依题意得 ? k ? ?1 ? k ? 3 2 3 故得直线 l 的方程为 y ? 3 ? ( x ? 2) ,即 3x ? 2 y ? 12 ? 0 ………5 分 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知直线 l 的方程为 3x ? 2 y ? 12 ? 0 则 C (1,2) 到 l 的距离为 | 3 ?1 ? 2 ? 2 ? 12 | ? 13 32 ? 2 2 依题意知圆 C 的半径 r ? 13 ………10 分 ?圆 C 的标准方程为 ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 13 a b 18.解:(Ⅰ)由正弦定理得 ? ? a sin B ? b sin A , sin A sin B ? 3 由 b ? 2 3, A ? ? a sin B ? 2 3 ? ………6 分 ?3 3 2 1 (Ⅱ)由 S ?ABC ? 6 3 ? bc sin A ? 6 3 2 1 3 ? ? 2 3c ? ?6 3?c?4 3 2 2
13. (??,?4) ? (4,??) ; 由余弦定理得 a ? b 2 ? c 2 ? 2bc sin A ? 6 19.证明:(Ⅰ)取 C1 B1 的中点 G ,连接 GB , GF ………12 分

8? cm 3 ; 3

1 由 F , G 分别是 C1 A1 , C1 B1 的中点 ? FG // A1 B1 , ? 2 1 又 E 是 AB 的中点, ? EB // A1 B1 ? 2 ? FG // EB ? 四边形 EBGF 是平行四边形
?

D1 A1 D A E
………6 分

F

C1 G B1 C B

? BG // EF 又 EF ? 平面 BCC1 B1 , BG ? 平面 BCC1 B1 ? EF // 平面 BCC1 B1
在 ?GBB1 中,设 BB1 ? 2 ? G1 B ? 1, BG ? 5 ,于是得

(Ⅱ) (Ⅰ)得 BG // EF ,又 AA1 // EF ,故 AA , EF 所成的角等于 ?GBB1 ,即 ?GBB1 ? ? 1

cos? ?

BB1 2 5 ? BG 5

………12 分

20.解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 由 f ( x) ? 0 ?

x?3 x?3 ? x ? 3x ? 2 ( x ? 1)(x ? 2)
2

x?3 ? 0 ? ?3 ? x ? 1 或 x ? 2 ( x ? 1)(x ? 2) 故 x 的取值范围是 (?3,1) ? (2,??) x?3 x?3 (Ⅱ) f ( x) ? ,由 f ( x) ? 0 ? ?0 ( x ? 1)(x ? a) ( x ? 1)(x ? a)
高一数学试卷共 4 页第 5 页

………6 分

当 0 ? a ? 1 时, ? x ? ?3 或 a ? x ? 1 当 a ? 1 时, ? x ? ?3 当 a ? 1 时, ? x ? ?3 或 1 ? x ? a 综上可知, 当 0 ? a ? 1 时,x 的取值范围是 (??,?3) ? (a,1) ; 当 a ? 1 时,x 的取值范围是 (??,?3) ; 当a ?1 时, x 的取值范围是 (??,?3) ? (1, a) ………12 分

1 2 1 1 n ? kn ? ? (n ? k ) 2 ? k 2 2 2 2 1 1 2 2 则当 n ? k 时, S n 的最大值为 k ? k ? 8 4 2 解得 k ? 4(k ? ?4 ? 0 舍去) 1 这时 S n ? ? n 2 ? 4n 2 7 9 当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? ,当 n ? 1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ? n 2 2 9 ? a n ? ? n(n ? N *) 2 9 ? 2a n n (Ⅱ) 设 bn ? ? n ?1 ? n 2 2 2 3 n ?1 n Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 n ? 2 上两式相减并化简得 T n ? 4 ? 2 n ?1 22.解(Ⅰ)设 A 点坐标为 ( x1 ,4 x1 ) , B 点坐标为 ( x2 ,0)
21.解:(Ⅰ)由 S n ? ? 由中点坐标公式得

………6 分

………10 分 ………12 分

x1 ? x 2 ? ?4 ? 2 ? x ? 1 得 A , B 两点的坐标分别为 (1,4) 和 (7,0) ?? 1 ? 4 x1 ?x 2 ? 7 ? 2? 2 ? ?直线 AB 的方程为 2 x ? 3 y ? 14 ? 0
(Ⅱ) 设 A 点坐标为 ( x1 ,4 x1 ) , B 点坐标为 ( x2 ,0) ,依题意, x1 由 A 、 P 、 B 三点共线,得

………6 分

? 0, x2 ? 0 ,且 4 x1 ? 2

4 x1 ? 2 0 ? 2 7 x1 1 ? ? x2 ? ( x1 ? ) x1 ? 4 x 2 ? 4 2 x1 ? 1 2
依题意得 S
?AOB

?

14x12 1 xB y A ? 2 2 x1 ? 1

………10 分

7 1 7 1 ? [(2 x1 ? 1) ? ? 2] ? ? (2 (2 x1 ? 1) ? 2) ? 14 2 2 x1 ? 1 2 2 x1 ? 1 1 即 当且仅当 2 x ? 1 ? x1 ? 1 时等号成立 1 2 x1 ? 1 故当 A 点坐标为 (1,4) 时, S ?AOB 取得最小值 14 ………12 分

高一数学试卷共 4 页第 6 页


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