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山东省莱芜市莱芜一中2013高三4月模拟数学(文)试题 Word版含答案


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文 科 数 学 模 拟
第 I 卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题: (本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A ? {x | x ? a ? (a2 ? 1)i}(a ? R, i是虚数单位), 若A ? R ,则 a= (C) A.1 B.-1 C.± 1 D.0

2.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 a sin A ? b sin B ? c sin C ,则

?ABC 的形状是(D)
A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.不确定

3. “ ? ? 2 ”是“函数 y ? sin(?x ? ? ) 的最小正周期为 ? ”的( A ) A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方 程是 B A. (x-3)2+( y ?

7 2 ) =1 3

B.

(x-2)2+(y-1)2=1

C. (x-1)2+(y-3)2=1

D. ( x ?

3 2 ) +(y-1)2=1 2

5.一个简单几何体的主视图,左视图如图所示,则其俯视图不可能为 C A. 长方形; B. 直角三角形; C. 圆; D. 椭圆.

6. 设 l , m , n 表示不同的直线, ?,?,? 表示不同的平面,给 出下列四个命题: ①若 m ∥ l ,且 m ? ? . 则 l ? ? ; ②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? .则 l ∥ ? ; ③若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n ,则 l ∥m∥n ; ④若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , ? ? ? ? n, 且 n∥ ? ,则 l ∥m . 其中正确命题的个数是( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 7.点 P 是曲线 y=x 一 1nx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是 B A.1 B. 2 C.2 D.2 2

8.在 ?ABC 中,?BAC ? 60 ° AB ? 2, AC ? 1, E、F 为边 BC 的三等分点,则 AE? AF , 等于( A )

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A.

5 3

B.

5 4

C.

10 9

D.

15 8

9. 已 知 各 项 为 正 数 的 等 差 数 列 ?an ? 的 前 20 项 和 为 100 , 那 么 a7 ? a14 的 最 大 值 为 ( A) A.25 B.50 C.100 D.不存在

10.在图(1)的程序框图中,任意输入一次 x(0 ? x ? 1) 与 y(0 ? y ? 1) ,
开始

则能输出数对 ( x, y ) 的概率为

(A)
任意输入x(0≤x≤1)

1 A. 8

3 B. 8

7 C. 8

1 D. 4

任意输入y(0≤y≤1) 1 y≥x+ ? 2 是 输出数对(x,y) 结束 否

图(1)

x2 y 2 11. 设双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 的一条渐近线与抛物线 y2 = x 的 a b
A.(1,

一个

交点的横坐标为 x0,若 x0>1,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是( C )

6 ) 2

B. ( 2 ,+∞)

C. (1, 2 )

D. (

6 ,+∞) 2

? x ? 3 x ( x ? 0) ? 12. 若函数 f ( x) ? ? 1 3 在定义域上只有一个零点,则实数 a 的取值范围 ? x ? 4 x ? a( x ? 0) ?3
是(A) A. a ?

16 3

B. a ?

16 3

C. a ?

16 3

D. a ?

16 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。 )

2 1 ,则 cos?? ? 2? ? 的值等于____ ? ___________. 3 9 2 2 14.已知 a ? 0, b ? 0 , ?a ? 1??b ? 1? ? 1 ,则 (a ? 1)(b ? 1) 的最小值为 9
13.已知 sin ? ? 15.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,他们是由整 数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为



1 ( n ? 2) ,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如: n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 …,则第 10 行第 3 个数字是 ? ? , ? ? , ? ? 1 2 2 2 3 6 3 4 12

1 360



16.函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对任意的 x1 、 x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

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则称函数 f ( x ) 在 D 上为“非减函数”.设函数 g ( x) 在 [0,1] 上为“非减函数”,且满足以下三 个条件: (1) g (0) ? 0 ; (2) g ( ) ?

x 3

1 g ( x) ; (3) g (1 ? x) ? 1 ? g ( x) ,则 g (1) ? 1 2



g(

5 )? 12

g(

5 1 )? 12 2



解 在 ( 3 ) 中 令 x=0 得 g (0) ? 1 ? g (1) ? 0 , 所 以 g (1)? 1 在 ( 1 ) 中 令 x ? 1 得 ,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 g ( ) ? g (1) ? , (3) ? , 在 中令 x ? 得 g( ) ? 1? g( ) , g( ) ? , 故 因 ? 2 3 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 1 5 1 5 1 所以 g ( ) ? g ( ) ? g ( ) ,故 g ( ) ? 3 12 2 12 2
三、解答题;(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. ( 本 小 题 共 12 分 ) 在 ?ABC , a, b, c 分 别 为 角 A, B, C 的 对 边 , 若

B?C ? ? m ? ?s i 2 n ,1?, n ? ?? 2, c o 2 A ? 1? 且 m ? n s 2 ? ?
(1)求角 A 的度数 (2)当 a ? 2 3 且 ?ABC 的面积 S ? 解(1)由于

a2 ? b2 ? c2 4 3

时,求边 c 的值和 ?ABC 的面积。

n ? n ,所以

m ? n ? 2 cos2 A ? cos A ? 1 ? ?2 cos A ? 1??cos A ? 1? ? 0
所以 cos A ? ? 所以 A ?

2? 3

1 或1(舍去) 2

(2)由

S?


a2 ? b2 ? c2 4 3

及余弦定理得: tanC

?

3 ? ,? C ? ? B 3 6

a b ? 得c=2 sin A sin B 1 ? S ? ac sin B ? 3 2
18.(本小题共12分) 为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们 的候车时间(单位:分钟)作为样本分成 5 组,如下表所示: 组别 一 二 候车时间 人数 2 6

[0,5) [5,10)

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三 四 五

[10,15)
[15, 20)

4 2 1

[20, 25]

(Ⅰ)求这 15 名乘客的平均候车时间; (Ⅱ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅲ)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好 来自不同组的概率. 解: (Ⅰ)由图表得: 2.5 ?

2 6 4 2 1 ? 7.5 ? ? 12.5 ? ? 17.5 ? ? 22.5 ? 15 15 15 15 15

? 10.5 ,所以这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 分钟.---------3 分
(Ⅱ)由图表得:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8,所以,这 60 名乘客中 候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 60 ?

8 ? 32 .------6 分 15

(Ⅲ)设第三组的乘客为 a, b, c, d ,第四组的乘客为 e, f ,“抽到的两个人恰好来自不同的 组”为事件 A .-------------------------------------7 分 所得基本事件共有 15 种,即 (a, c), (a, b), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ),

(b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,--------------10 分
其 中 事 件 A 包 含 基 本 事 件 8 种 , 由 古 典 概 型 可 得 P ( A) ?

8 ,即所求概率等于 15

8 .--------------------------------------------------------12 分 15
19. (本小题共12分) 如图,四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE , AE ? BE ? 2 , AB ? 2 2 . (Ⅰ)求证: AE ? CE ; (Ⅱ)设 M 是线段 AB 的中点,试在线段 CE 上 确定一点 N ,使得 MN // 平面 ADE 17.(共 13 分) 证明: (Ⅰ)∵ AE ? EB ? 2, AB ? 2 2 , ∴ AE ? BE ? AB ,
2 2 2

E A M B

∴ AE ? BE .----------------------2 分 ∵ AD ? 平面 ABE , ∴ AD ? AE ,又 BC // AD , ∴ BC ? AE ,---------------------4 分 又 BC ? BE ? E , ∴ AE ? 平面 BCE , ∴ AE ? CE .----------------------6 分

D

C

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com ( Ⅱ ) 设 BE 的 中 点 为 F , CE 的 中 点 为 N , 连 接

MN , MF , NF ,----7 分
又 M 是 AB 的中点, ∴ MF // AE , NF // BC // AD . ∵ MF ? 平面 ADE , AE ? 平面 ADE , ∴ MF // 平面 ADE .-----------------------------9 分 同理可证 NF // 平面 ADE , 又 MF ? NF ? F , ∴平面 MNF // 平面 ADE , ∴ MN // 平面 ADE .----------------------------12 分 所以,当 N 为 CE 中点时, MN // 平面 ADE .------13 分 20. (本小题共 12 分)

E F A M N B

D

C

已知数列 {an } 为公差不为 0 的等差数列, Sn 为前 n 项和, a5 和 a7 的等差中项为 11 , 且 a2 ? a5 ? a1 ? a14 .令 bn ? (Ⅰ)求 an 及 Tn ; (Ⅱ)是否存在正整数 m, n ( 1 m ? n ) , T1 Tm, Tn , 成等比数列?若存在,求出所有的 ? 使得

1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an?1

m, n 的值;若不存在,请说明理由.
解: (Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得

? a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ? a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d )
所以 an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 ……………3 分 由 bn ?

整理得 ?

?a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 ?? ?a1 ? 1 ?d ? 2a1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ……………5 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 n 1 m n , Tn ? ,所以 T1 ? , Tm ? 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1

所以 Tn ?

(Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知, Tn ?

若 T1 , Tm , Tn 成等比,则有

Tm 2 ? T1 ? Tn ? ( ?

m 2 1 n m2 n ) ? ? ? ? ………8 分 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6 n ? 3

4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 3 4m ? 1 ? 2m 2 ? ? ? ,。。(1) 。。。 m2 n n m2

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因为 n ? 0 ,所以 4m ? 1 ? 2m ? 0 ? 1 ?
2

6 6 ,……………10 分 ? m ? 1? 2 2

因为 m ? N ? , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,带入(1)式,得 n ? 12 ; 综上,当 m ? 2, n ? 12 可以使 T1 , Tm , Tn 成等比数列。……………12 分 21 (本小题共 12 分) 如图 (6) 设点 F1 (?c,0) 、F2 (c,0) 分别是椭圆 C : , 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF ? PF 2 最小值为 0 . 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l1 , l2 均与椭圆 C 相切,且 l1 // l2 ,试探究在 x 轴上是 否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点 B 坐标; 若不存在,请说明理由.
y

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 2 a

x F1 o F2

图(6)

解: (1)设 P ( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y) , F2 P ? ( x ? c, y)

a2 ?1 2 PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ? x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a? 2 a uuu uuu r r 2 2 由 PF1 ? PF2 最小值为 0 得 1 ? c ? 0 ? c ? 1 ? a ? 2 ,
∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(2)①当直线 l1 , l2 斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m, y ? kx ? n 把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0
2 2 2

∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m 2 ? 1 ? 2k 2
2 2 同理, n ? 1 ? 2k

更多资源请到 乐学易考网 下载:luckstudy.com ∴ m2 ? n2 ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意,∴ m ? ?n 设在 x 轴上存在点 B(t , 0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | 、 ? ? 1 ,即 | k 2t 2 ? m2 |? k 2 ? 1 , 2 2 k ?1 k ?1
把 1 ? 2k 2 ? m2 代入并去绝对值整理,

k 2 (t 2 ? 3) ? 2 或者 k 2 (t 2 ?1) ? 0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ; 、 ②当直线 l1 , l2 斜率不存在时,其方程为 x ?

2和x?? 2, 、

定点 (?1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ?1)( 2 ? 1) ? 1 ; 定点 (1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ?1) ? 1 ; 综上所述,满足题意的定点 B 为 (?1, 0) 或 (1, 0) 22. (本小题共 14 分) 已知函数 f(x)=ax-1-lnx(a ? R) . (I)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=l 处取得极值,对 ?x ? ?0,???, f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实 数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 x>y>e-l 时,求证:ex y> 解: (1) f ( x ) ? a ?
'


1n( x ? 1) . 1n( y ? 1)

1 x

' 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 函数 f (x) 在区间 ?0,??? 单调递减,不存在极值

当 a ? 0 时,在区间 ? 0, 到极小值 (2)由第一问知 a ? 1

? ?

1 1? ?1 ? ? 上单调递减,在区间 ? ,?? ? 单调递增,所以在 x ? 处取 a a? ?a ?

x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 1 ln x 1? ? ?b x x 1 ln x 2 2 令 g ( x) ? 1 ? ? 可得 g (x) 在区间 0, e 上递减,在区间 e ,?? 单调递减 x x

?

?

?

?

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g ( x ) ? g (e 2 ) ? 1 ?
(3)证明 e x ? y ?

1 1 即b ? 1? 2 2 e e

ln?x ? 1? ex ey ? ? ln? y ? 1? ln?x ? 1? ln? y ? 1?

令 g ( x) ?

ex ln?x ? 1?

1 ? ? e x ?ln?x ? 1? ? x ? 1? ? ? 因为 g ( x) ' ? 2 ln ?x ? 1?
显然函数 h( x) ? ln ? x ? 1? ?

1 在 ?e ? 1,??? 上单调递增 x ?1

? h( x ) ? 1 ?

1 ? 0 即 g ( x) ' ? 0 e

ex ey ? g (x) 在 ?e ? 1,??? 上单调递增,即 ? ln?x ? 1? ln? y ? 1?
1n( x ? 1) . 1n( y ? 1)

所以当 x>y>e-l 时, ex y>




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