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高中数学数列复习(师)


数列复习

一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想: 2.等差数列与等比数列的联系 1)若数列 ?an ? 是等差数列,则数列 {a an } 是等比数列,公比为 a d ,其中 a 是 常数, d 是 ?an ? 的公差。 (a>0 且 a≠1) ; 2)若数列 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,则数列 ?loga an ? 是等差数列,公

差 为 loga q ,其中 a 是常数且 a ? 0, a ? 1 , q 是 ?an ? 的公比。 3)若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常数数列。 3.等差与等比数列公式性质 4、典型例题分析 【题型 1】 等差数列与等比数列的联系

例 1 (2010 陕西文 16)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1, a3,a9 成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 解: (Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

1

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) ,
m

1 ? 2d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 a =2n,由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+22+23+?+2n= 【题型 2】 例 2
2(1 ? 2 n ) n+1 =2 -2. 1? 2

与“前 n 项和 Sn 与通项 an” 、常用求通项公式的结合

已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同,且 a1+2a2+

22a3+?+2n-1an=8n 对任意的 n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列.求 数列{an}与{bn}的通项公式。 解:a1+2a2+22a3+?+2n-1an=8n(n∈N*) 当 n≥2 时,a1+2a2+22a3+?+2n-2an-1=8(n-1)(n∈N*) ①-②得 2n-1an=8,求得 an=24-n, 在①中令 n=1,可得 a1=8=24-1, ∴an=24-n(n∈N*). b2=-2, ∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2,∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2= 2n-6, 法一(迭代法) bn=b1+(b2-b1) +(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=8+(-4)+ (-2)+?+(2n -8) =n2-7n+14(n∈N*). 法二(累加法) 即 bn-bn-1=2n-8, bn-1-bn-2=2n-10, ? b3-b2=-2,
2

① ②

由题意知 b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-

b2-b1=-4, b1=8, 相加得 bn=8+(-4)+(-2)+?+(2n-8) =8+ (n-1)(-4+2n-8) =n2-7n+14(n∈N*). 2

【题型 3】 例3

中项公式与最值(数列具有函数的性质)

(2009 汕头一模) 在等比数列 {an} 中, an>0 (n ? N*) , 公比 q ? (0,1),
S S1 S 2 ? ? ???? n 1 2 n

且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,a3 与 as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通 项公式; (2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 当 最大时,求 n 的值。
2 2 解: (1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, a3 + 2a3a5 + a5 =25

又 an>o,?a3+a5=5 4

又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=

而 q ? (0,1) ,所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, q ?

1 ,a1=16,所以, 2

?1? an ? 16 ? ? ? ? 2?

n ?1

? 25?n

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所 以 , {bn} 是 以 4 为 首 项 , - 1 为 公 差 的 等 差 数 列 。 所 以 ,
n(9 ? n) S n 9 ? n , ? 2 n 2 Sn S S 所以,当 n≤8 时, >0,当 n=9 时, n =0,n>9 时, n <0, n n n Sn S1 S 2 当 n=8 或 9 时, ? ? ? ? ? ? 最大。 1 2 n Sn ?

3

二、数列的前 n 项和 1.数列求和的方法(1) (1)公式法:1)等差数列求和公式;2)等比数列求和公式;3)可转化 为等差、等比数列的数列; (2)分组求和法: (3)倒序相加法: (4)裂项相消法: . 3.典型例题分析 【题型 1】 例1 公式法

2 2 2 等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2n-p, 则 a12 ? a2 = ? a3 ? ..........? an

________. 解:1)当 n=1 时, a 1 ? 2 - p ; 2)当 n ? 2 时, a n ? Sn - Sn-1 ? (2n - p) - (2n-1 - p) ? 2 n-1 。 因为数列 {an } 为等比数列,所以 a1 ? 2 - p ? 21-1 ? 1 ? p ? 1 从而等比数列 {an } 为首项为 1,公比为 2 的等比数列。
2 故等比数列 a 2 n 为首项为 1,公比为 q ? 4 的等比数列。

? ?

1(1- 4 n ) 1 n a ? a ? a ? ........? a ? ? (4 - 1) 1- 4 3
2 1 2 2 2 3 2 n

【题型 2】

分组求和法

例 2 数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且点 (an , an?1 ) ( n ? N? ) 在函数 f ( x) ? x ? 2 的图象 上.(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {an } 中,依次抽取第 3,4,
4

6,?, 2 n ?1 ? 2 ,?项,组成新数列 {bn } ,试求数列 {bn } 的通项 bn 及前 n 项 和 Sn . 解: (Ⅰ)∵点 (an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? x ? 2 的图象上,∴ an?1 ? an ? 2 。 ∴ an?1 ? an ? 2 ,即数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项,2 为公差的等差数列, ∴ an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 。 (Ⅱ)依题意知: bn ∴ Sn ? b1 ? b2 ?

? a2n?1 ?2 ? 2(2n?1 ? 2) ?1 ? 2n ? 3
n n i ?1 i ?1

? bn = ? (2i ? 3) ? ? 2i ? 3n =

2 ? 2n ?1 ? 3n ? 2n ?1 ? 3n ? 2 . 1? 2

【题型 3】 例3

裂项相消法

(2010 年东城二模 19 改编)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 1 ,

(Ⅰ)证明数列 ?bn ? 是等比数列; Sn?1 ? 4an ? 1 ,设 bn ? an?1 ? 2an . ( Ⅱ ) 数 列

?cn ?
3





cn ?

l

1 o g 2 bn ?

(n ? N* ) 3





Tn ?

1

c

2

? c

2

c ?3 c

?cn ? ? 。 4 cn

c1 c
① ②

证明: (Ⅰ)由于 Sn?1 ? 4an ? 1 , 当 n ? 2 时, Sn ? 4an?1 ? 1 . ① ? ②得

an?1 ? 4an ? 4an?1 . 所以

an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) .

又 bn ? an?1 ? 2an ,

所以 bn ? 2bn?1 .

因为 a1 ? 1 ,且 a1 ? a2 ? 4a1 ? 1 ,所以 a2 ? 3a1 ? 1 ? 4 . 所以 b1 ? a2 ? 2a1 ? 2 .故数列 ?bn ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列.
5

解: (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 2n ,则 cn ?

1 1 ( n ? N* ) . ? log 2 bn ? 3 n ? 3

Tn ? c1c2 ? c2c3 ? c3c4 ?

? cncn?1 ?

1 1 1 ? ? ? 4? 5 5? 6 6? 7

?

1 (n ? 3)(n ? 4)

?

n 1 1 ? ? . 4 n ? 4 4(n ? 4)

4.数列求和的方法(2) (5)错位相减法: . (6)累加(乘)法 (7)并项求和法: (8)其它方法:归纳、猜想、证明;周期数列的求和等等。 5.典型例题分析 【题型 4】 例4 错位相减法

2 4 6 2n 求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项 2 2 之积 2 4 6 2n 设 Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ② (设制错位) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 (错位相减) 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2
6

【题型 5】 例5

并项求和法

求 S100 =1002-992+982-972+?+22-12

解:S100 =1002-992+982-972+?+22-12=(100+ 99)+(98+97)+?+ (2+1)=5050. 【题型 6】 求和等等 例6 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

累加(乘)法及其它方法:归纳、猜想、证明;周期数列的

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1

(找通项及特征) =



1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?
n个1

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) ( 分 组 求 和 ) = 9 9 9 9

1 10(10n ? 1) n 1 1 1 ? ? = (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ) ? ??? ? 9 10 ? 1 9 9 9 ?? n个1



1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81

三、数列的通项公式 1.通项公式的求法(1) (1)定义法与观察法(合情推理:不完全归纳法) :直接利用等差数列或 等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的 题目;有的数列可以根据前几项观察出通项公式。 (2)公式法:在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为:

?a1 ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1

(n ? 1) (n ? 2, n ? N)

( 数 列 {an } 的 前

n

项 的 和 为
7

sn ? a1 ? a2 ?

? an ).

(3)周期数列 (4)由递推式求数列通项 类型 1 递推公式为 an?1 ? an ? f (n)

解法: 把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) , 利用累加法(逐差相加法)求解。 类型 2 (1)递推公式为 an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

解法:把原递推公式转化为

(2)由 an?1 ? f (n)an 和 a1 确定的递推数列 ?an ? 的通项可如下求得: 由已知递推式有 an ? f (n ?1)an?1 , an?1 ? f (n ? 2)an?2 ,? ? ? , a2 ? f (1)a1 依 次向前代入,得 an ? f (n ? 1) f (n ? 2) ? ? ? f (1)a1 ,这就是叠(迭)代法的基本 模式。 类型 3 递推公式为 an?1 ? pan ? q(其中 p,q 均为常数,( pq( p ? 1) ? 0) ) 。
q ,再利用换 1? p

解法:把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 元法转化为等比数列求解。 3.典型例题分析 【题型 1】 周期数列

例1

若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? 2 a , ( 0 ? a ? ) n n ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 =____。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

答案:
8

5 。 7

【题型 2】

递推公式为 an?1 ? an ? f (n) ,求通项
1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

例2

已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

解:由条件知: a n?1 ? a n ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之,即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n

【题型 3】

递推公式为 an?1 ? f (n)an ,求通项
2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

例3

已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

解:由条件知

an?1 n ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个 an n ?1 a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? n ? ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? n a1 n a1 a2 a3 an?1 2 3 4

等式累乘之,即 又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3 3n

9

【题型 4】

递 推 公 式 为 an?1 ? pan ? q ( 其 中 p , q 均 为 常 数 ,

,求通项 ( pq( p ? 1) ? 0) ) 例4 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求 {an } 的通项

公式。 解法 1:设 an ? m ? 3(an?1 ? m) ,即有 an ? 3an?1 ? 2m ,对比 an ? 3an?1 ? 2 ,得 m ? 1 ,于是得 an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) ,数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 3 为 公比的等比数列,所以有 an ? 2 ? 3n?1 ?1 。 解法 2: 由已知递推式, 得 an?1 ? 3an ? 2, an ? 3an?1 ? 2,(n ? 2) , 上述两式相减, 得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ,因此,数列 {an?1 ? an } 是以 a2 ? a1 ? 4 为首项,以 3 为公比的等比数列。所以 an?1 ? an ? 4 ? 3n?1 ,即 3an ? 2 ? an ? 4 ? 3n?1 ,所以

an ? 2 ? 3n?1 ?1 。 小结与拓展:此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列,再利 用等比数列的性质进行求解,构造的办法有两种,一是待定系数法构造,
设 an?1 ? m ? p(an ? m) ,展开整理 an?1 ? pan ? pm ? m ,比较系数有
pm ? m ? b ,所以 m ? b ,所以 a ? b 是等比数列,公比为 p ,首项为 n p ?1 p ?1

a1 ?

b 。二是用做差法直接构造, an?1 ? pan ? q , an ? pan?1 ? q ,两式相 p ?1

减有 an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) , 所以 an?1 ? an 是公比为 p 的等比数列。 也可用 “归 纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得很多的一种题型. 4.通项公式的求法(2) (5)构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分 剖析,有时会联想出一种适当的辅助模型,如某种数量关系,某个直观图 形,或者某一反例,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这种思维方 法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的 通项公式,此类题通常较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1)构造等差数列或等比数列
10

由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若 能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法. 2)构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差, 然后采用迭加的 方法就可求得这一数列的通项公式. 3)构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式, 然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方 法. 4)构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使 问题得以解决. (6)归纳猜想证明法 数学归纳法 (7)已知数列 {an } 前 n 项之积 Tn,一般可求 Tn-1,则 an= 能忘记讨论 n ? 1 ). 如 : 数 列 {an } 中 , 对 所 有 的 n ? N ? 都 有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , 则
Tn (注意:不 Tn-1

a3 ? a5 ? __________.
四、典型例题分析 【题型 5】 例5 构造法:1)构造等差数列或等比数列

都有等式: an ? 2an ? 4Sn 成立,求 ?a n ?的通项 a n .
2
2 解: an ? 2an ? 4Sn ? an?1 ? 2an?1 ? 4S n?1 ,

设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对于任意正整数 n,
2

2 2 ∴ an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ? 4(S n ? S n?1 ) ? 4an (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,∵ an ? an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 . 即 ?a n ?是以 2

为公差的等差数列,且 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? a1 ? 2 . ∴ an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n 【题型 6】 构造法:2)构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差, 然后采用迭加的
11

方法就可求得这一数列的通项公式。 2 2 例6 设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列, 且 an (n∈N*) , ? an ?1 ? nan ? nan?1 ? 0 , 求数列的通项公式 an. 解:由题设得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? n) ? 0 . ∵ an ? 0 , an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 0 . ∴ an ? an?1 ? n
an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?(an ? an?1 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n(n ? 1) 2

【题型 7】

构造法:3)构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方 法.
1 ,前 n 项的和 Sn ? n 2 an ,求 a n ?1 . 2 解: an ? Sn ? Sn?1 ? n2 an ? (n ?1) 2 an?1 ? (n2 ?1)an ? (n ?1) 2 an?1 a n ?1 , ? n ? an?1 n ? 1 a a a n ?1 n ? 2 1 1 1 ? ? ? ? ∴ an ? n ? n?1 ? 2 ? a1 ? n ?1 n 3 2 n(n ? 1) an?1 an?2 a1 1 ∴ an?1 ? (n ? 1)(n ? 2)

例7

数列 ?a n ?中, a1 ?

【题型 8】

构造法:4)构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使 问题得以解决. 2 例 8 设正项数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ? 2an ?1 (n≥2).求数列 ?a n ?的通项 公式. an ?1 an ?1 n n n 解: 两边取对数得: 设 bn ?o loga loga g l a 2 ? 1 ? 2 log2 , 2 ? 1 ? 2(log2 ? 1) , 2 ? 1, 则 bn ? 2bn?1

?bn ?是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log12 ?1 ? 1 .
n ?1

n?1 n?1 n n , loga ?1 , bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 , loga 2 ?1 ? 2 2 ?2

∴ an ? 22

?1

12


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