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材料力学考试复习


1.1、图示平行杆系 、 、 AB(AB的变形略 1.1、图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁 AB(AB的变形略 去不计) 去不计),在横梁上作用着荷载 G。如杆 1、2、3 的截面积、 、 、 的截面积、 长度、弹性模量均相同, 长度、弹性模量均相同,分别 为 A ,l ,E。试求 1、2、3 、 、 三杆的轴力 N1,N2,N3 。

3

2

1

l
B

a C

a A

G

解:(1) 平衡方程

∑x = 0

3

2

1

l
B

a C

a A

x =0
∑ y =0

N1 + N2 + N3 ?G = 0
∑mB = 0
G
N3
2 3 1

N2

N1

N1? 2a + N2 ? a = 0
这是一次超静定问题, 这是一次超静定问题, 且假设均为拉杆。 且假设均为拉杆。
x

B

C

A

G

3 3 2 1

2

1

l
B

a C

a A

C

B

A

?l 3
C′

?l 2

B′

?l1

A′

G (2) 变形几何方程

?l1 + ?l3 = 2?l 2
N2 l ?l 2 = EA

(3) 物理方程

N1l ?l1 = EA

l = N3 ?l3 EA

3 3 2 1

2

1

l
B

a C

a A

C

B

A

?l 3
C′

?l 2

B′

?l1

A′

G 补充方程

N1 + N3 = 2N2

3 3 2 1

2

1

l
B

a C

a A

C

B

A

?l 3
C′

?l 2

B′

?l1

A′

G (4) 联立平衡方程与补充方程求解

N1 + N2 + N3 ?G = 0 N1? 2a + N2 ? a = 0 N1 + N3 = 2N2

x =0

G N1 = ? 6 G = N2 3 5G N3 = 6

1.2、 1.2、刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。尺寸 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。 如图所示,拉力P为已知。求各杆内力。 如图所示,拉力P为已知。求各杆内力。

N1

1

2 N2

3 N3

A P
40 80

B

C

80

单位:mm

75

变形相容 条件? 条件?
变形后三根杆 与梁仍铰接在 一起。 一起。
N1 1 2 N2 3 N3

A P

B

C

变形几何 方程? 方程?
2Δ2 = Δ + Δ l l l3 1

Δ1 l

Δ2 l

Δ3 l

A1
40 80

B1
80

C1

75

N1l1 ?l1 = EA

N2l2 ?l2 = EA

N3l3 ?l3 = EA

补充方程
2N2l2 = N1l1 + N3l3 (1)

2Δ2 = Δ + Δ l l l3 1

静力方程

N1

1

2 N2

3 N3

A P

B

C

∑M (F) = 0
c

120P ?160N1 ? 80N2 = 0(2)

Δ1 l

Δ2 l

Δ3 l

∑M

A

(F) = 0
40 80 80

80N2 +160N3 ? 40P = 0(3)

联立以上三个方程, 联立以上三个方程, 以上三个方程 即可求出N 即可求出N1,N2,N3。

75

2.1、圆轴如图所示。已知 d1=75mm,d2=110mm。 、圆轴如图所示。 , 。 材料的许用切应力[τ 材料的许用切应力 τ]=40MPa,轴的许用单位扭转角 ,轴的许用单位扭转角 [?’]=0. 8°/m,切变模量 ? ,切变模量G=80GPa。 。 试校核该轴的扭转强度和刚度。 试校核该轴的扭转强度和刚度。

8kN.m

5kN.m 3kN.m

d2 A C B

d1

8KN.m

5KN.m 3KN.m

d2 A C 8KN.m B 3KN.m

d1

+

解:画扭矩图

T τ =W
2

2 t2

= 8×10 π (d 2) 16

3 3

= 30.1MPa < [τ ]

8kN.m

5kN.m 3kN.m

d2 A C 8kN.m B 3kN.m

d1

+

τ1=

T W

1 t1

=

3×10 π (d 1)
16

3 3

= 36.2MPa < [τ ]

8kN.m

5kN.m 3kN.m

d2 A C 8kN.m B 3kN.m

d1

+

?′ = T GI
2

2 P2

×

180o

π
0

= 0.4 m < [? ′]
0
0

?′ = T GI
1

1 P1

× 180 = 0.69 m < [? ′]

π

2.2、图示实心圆轴外径 d = 60mm ,在横截面上分别受外力 、 矩mB = 3.8 KN.m , mC= 1.27KN.m 作用,已知材料的剪切弹性模 作用, 截面对于A 量 G = 8×104 MPa。求 C 截面对于 截面的相对扭转角 φCA. × 。 .

mB

mC

A
0.7m

C B
1m

mB

mC

A
0.7m

C B
1m

解:由截面法得知

T AB = 2.53KN.m

T BC = ?1.27KN.m

需分段计算相对扭转角

φBA = T AB l AB , φCB = T BCl BC GI P GI P

IP

πd4 =
32

mB

mC

T AB = 2.53KN.m T BC = ?1.27KN.m

A
0.7m

C B
1m

2.35×103×0.7 T AB l AB = = +0.0174 rad φBA = 4 6 π GI P 8×10 ×10 × ×604 ×10?12 32 ?1.27×103×1 T BCl BC = = ?0.0125 rad φCB = π GI P 8×104 ×106 × ×604 ×10?12 32

mB

mC

T AB = 2.53KN.m T BC = ?1.27KN.m

A
0.7m

C B
1m

φCA =φBA +φCB = 0.0174? 0.0125 = +0.0049 rad

3.1、 简支梁受均布荷载作用,其荷载集度 、 简支梁受均布荷载作用,

q = 3.6 KN m

× 梁的跨长 l=3m ,横截面为 b × h = 120×180mm2 , 许用弯曲正应 横截面为
校核梁的强度。 ] ] Pa 力 [σ= 7M , 许用剪应力 [τ = 0.9MPa , 校核梁的强度。

q A B

q A B

(1) 梁的正应力强度校核 最大弯矩发生在跨中截面上, 最大弯矩发生在跨中截面上,其值为

M

m ax

ql = = 4.05KN.m 8

2

梁横截面的的抗弯截面系数为

bh = = 648000mm3 Wz 6
横截面上的最大正应力

2

] = Mmax = 6.25MPa < [σ σax m Wz

(2) 梁的剪应力强度校核

梁最大的剪力为

ql Qmax = = 5.4KN 2

矩形截面的面积为

A = bh = 21.6×10 m
?5

2

梁横截面上的最大剪应力

3 Q τ max = × = 0.375MPa < [τ 2 A

]

所以此木梁是安全的。 所以此木梁是安全的。

3.2、教材:例5.3 、教材:

3.3、 梁的受力及横截面尺寸如图所示, 试: 、 梁的受力及横截面尺寸如图所示, 1. 绘出梁的剪力图和弯矩图; 绘出梁的剪力图和弯矩图; 2. 确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力; 确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力; 3. 确定梁内横截面上的最大切应力; 确定梁内横截面上的最大切应力; 4. 画出最大正弯矩和最大负弯矩横截面上正应力的 分布规律。 分布规律。

q=10kN/m m=8kN?m

C 2m

A

B 4m

60

20

20 80

80

20

q=10kN/m m=8kN?m

C 2m RA

A

B 4m RB

解. 画剪力图和弯矩图 支座反力为

RA = 22 KN

RB = 18 KN

剪力图
m=8kN?m

q=10kN/m

CA段:水平直线 段 FSC = 0 AB段:斜直线 段 FSA右 = RA = 22KN 右
22KN

C 2m

A RA

B 4m RB

FSB左 = - RB = -18KN 左 FSmax=22kN, 发生在 发生在A 截面右侧 +

18KN


m=8kN?m

q=10kN/m

FS(x) = - RB + q x = 0

C 2m

A RA

B 4m E RB x

X = 1.8 m

22KN

+

18KN

弯矩图
m=8kN?m

q=10kN/m

CA段:水平直线 段 C MC右 = -m= -8KN.m 右 AB段:二次抛物线 段 MB = 0 2m A RA
x=1.8

B 4m
E

RB

16.2KN.m

+

-

1 2 M E = RB ? q x 2 =16.2K .m N

8KN.m

2. 计算截面的几何性质
(1) 中性轴的位置 以横截面底边为参考轴, 以横截面底边为参考轴,
y2 y1 20

60

20

80

则形心位置
80 20

∑ A yi i yC = ∑A i 60× 20×110 + 80× 20× 60 + 80 × 20 ×10 = 60 × 20 + 80 × 20 + 80× 20 = 55.5m m

过形心作中性轴 z
y1 20

60

20

y2 = yC = 55.5 mm y1 = 64.5 mm

80

z
y2 80

20

(2) 计算横截面对中性轴的惯性矩

60

20

Iz = ∑Izi
3 2 1 = ×60× 20 + 60× 20×(y1 ?10) 12 3 2 1 + × 20×80 + 20×80×(y1 ? 20 ? 40) 12 3 2 1 + ×80× 20 + 80× 20×(y2 ?10) 12

y1

20 80

z
y2 80

20

= 7.9×10 m

-6

4

(3) 计算中性轴任一边截面对中性轴 的静矩
y1 20

60

20

S

* zm ax

= 80× 20×( y2 ?10) y2 ? 20 + 20×( y2 ? 20) × 2 = 8.45×10-5 m3
y2 80

80

z

20

60 8KN.m

20

16.2KN.m

3. 确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力
AC任意截面: 任意截面: 任意截面

+

y1 y2

20 80

z
80

20

MA y1 Pa = 65.3M σt max = Iz MA y2 Pa = 56.2M σ cmax = Iz

60 8KN.m y1 20

20

16.2KN.m 80 20

E截面: 截面: 截面

ME y2 Pa = 113.8M σt max = Iz ME y1 Pa =132.3M σCmax = Iz

+
z
y2

-

80

60 8KN.m y1 20

20

16.2KN.m 80 20

全梁上: 全梁上:

σt max =113.8M Pa σc max =132.3M Pa

+
z
y2

-

80

4. 确定梁内横截面上的最大切应力
22KN

梁内横截面上的最大切 梁内横截面上的最大切应力 发生在A右侧截面的中性轴上 发生在 右侧截面的中性轴上 右侧

+

18KN

τ max

* Fs max Sz max = =12MPa Izd

5. 画出最大正弯矩和最大负弯矩横截面上正应力的分布规律。 画出最大正弯矩和最大负弯矩横截面上正应力的分布规律。
60 8KN.m y1 20 80 20

16.2KN.m 80 20

E 截面

σ t max

+
z
y2

σ c max

σ

t max

AC 各截面

σ

c max

4.1、空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构。受力如图。 、空心圆杆 和 杆焊接成整体结构 受力如图。 杆焊接成整体结构。 AB杆的外径 D=140mm,内,外径之比 d/D=0.8,材料的 杆的外径 , , 杆的强度。 许用应力 [σ]=160MPa。试用第三强度理论校核 杆的强度。 σ 。试用第三强度理论校核AB杆的强度

0.8m

10KN D A 15KN B

C

解:将力向B截面 将力向 截面 形心简化得

0.8m

10KN D

P=25KN

A 15KN

B

m =15×1.4 ?10×0.6 =15KN.m
AB为扭转和平面 为 弯曲的组合变形。 弯曲的组合变形。
A

C

P
m B

P=25KN

P
A m B

m =15×1.4 ?10×0.6 =15KN.m
画扭矩图和弯矩图 固定端截面为危险截面 T=15KN.m

15KN.m

+

Mmax = 20KN.m
32

1 2 2 σ r3 = T + M = 157.26 < [σ ] W

20KN.m

-

πD3 (1? 4) W= α

4.2、教材习题 8.12 、

5.1、教材例9.1 、教材例 5.2、 压杆截面如图所示。若绕 y 轴失稳可视为两端固定, 、 压杆截面如图所示。 轴失稳可视为两端固定, 轴失稳可视为两端绞支。已知, 若绕 z 轴失稳可视为两端绞支。已知,杆长 l =1m ,材料的弹性 材料的弹性 模量 E = 200GPa,σP = 200MPa。求压杆的临界应力。 , 。求压杆的临界应力。

z y

30mm

z

解:
y

λ1 = π

E σP

= 99
30mm

1 (0.03×0.023) I = y = 12 = 0.0058m iy A 0.03×0.02

= I z = 0.0087m iz A
λy = ?y l iy = 86

? y = 0.5

?z = 1

?z l =115 λz = iz

λy =

?y l iy

= 86

?z l =115 λz = iz

轴先失稳, 因为 λz > λy , 所以压杆绕 z 轴先失稳,用 λz 计算 。 用欧拉公式计算临界力。 λz =115 > λ1 ,用欧拉公式计算临界力。

π E = 89.5KN Pcr = Aσcr = A? 2 λz
2

6.1、外伸梁受力如图所示,已知弹性模量EI。梁材料 、外伸梁受力如图所示,已知弹性模量 。 为线弹性体。 截面的挠度。 为线弹性体。求梁 C 截面和 D 截面的挠度。

P
A C B D

P

a

a

a

RA

RB

P 1

P2

P
A C B D

P

RA

a

a

a

RB
RB = P1 + 3P2 2

P1 ? P2 RA = 2

P 1
x2
A C

P
B D

P2 P

RA

x1

x3

a

a

RB a

AC: : CB: : BD: :

M(x1) =

P1 ? P2 x1 2 P1 ? P2 M(x2) = x2 ? P1(x2 ? a) 2 M(x3) = ?P2 x3

P 1
x2
A C

P
B D

P2 P

(1) 求 C 截面的位移

RA

x1

x3

a

a

RB a

AC: :

P1 ? P2 M(x1) = x1 2 P ? P2 M(x2) = 1 x2 ? P1(x2 ? a) 2

?M(x1) x1 = 2 ? P1

CB: :

?M(x2) x = ? 2 +a 2 ? P1
?M(x3) =0 ? P1

BD: M(x3) = ?P2 x3 :

P1 ? P2 M(x1) = x1 2
?M(x1) x1 = 2 ? P1
A

P 1
x2
C

P
B D

P2 P

M(x2) =

?M(x2) x2 = ? +a 2 ? P1
M(x3) = ?P2 x3
?U fC = ?P1

P1 ? P2 x2 ? P1(x2 ? a) 2 RA

x1

x3

a

a

RB a

?M(x3) =0 ? P1

P1=P2=P

M( x2) ?M( x2) a = ∫ 0? dx1 + ∫ ? ? dx2 + ∫0 0? dx EI ?P1
a 0 2a a

= ? Pa 12EI

3

(↑)

P 1
x2
A C

P
B D

P2 P

(2) 求 D 截面位移

RA

x1

x3

a

a

RB a

AC: : CB: : BD: :

P ? P2 M(x1) = 1 x1 2 P1 ? P2 M(x2) = x2 ? P1(x2 ? a) 2

?M(x1) x =? 1 ? P2 2 ?M(x2) x =? 2 2 ? P2 ?M(x3) = ?x3 ? P2

M(x3) = ?P2 x3

P1 ? P2 M(x1) = x1 2
?M(x1) x =? 1 2 ? P2
A

P 1
x2
C

P
B D

P2 P

P1 ? P2 M(x2) = x2 ? P1(x2 ? a) 2
?M(x2) x =? 2 2 ? P2

RA

x1

x3

a

a

RB a

M(x3) = ?P2 x3
?U fD= ?P2

?M(x3) = ?x3 ? P2

2a a = ∫a [? P1( x2 ? a)](? x2)dx2 + ∫0 (? P2 x3)(? x3)dx3 2 P =P =P
1 2

= 9Pa (↓) 12EI

3

P 1
x2
A C

P
B D

P2 P

RA

x1

x3

a

a

RB a
3 3

Pa + 9Pa = 2Pa fC+ fD= ? 12EI 12EI 3EI

3

6.2、圆截面杆ABC,(∠ABC=900)位于水平平面内,已知 、圆截面杆 ,(∠ 位于水平平面内, ,( 杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E , G 。求C 截面处的铅垂位移 。不计剪力的影响。 不计剪力的影响。

A

l
q B C

l

A

l
q B

P
C

l

x

BC:弯曲变形 :

qx M ( x ) = ? Px ? 2

2

?M(x) = ?x ?P

A

A

l
q B

l P
C B

Q

l

x

m

Q = P + ql
ql m = Pl + 2
2

(弯曲变形) 弯曲变形) (扭转变形) 扭转变形)

AB为弯曲与扭转的组合变形 为

A

A

l
q B

l P
x C x B

Q

Q = P + ql
m

l

ql m = Pl + 2

2

M ( x ) = Qx = ( P + ql ) x ql T ( x ) = m = Pl + 2
2

?M(x) =x ?P

?T(x) =l ?P

BC:弯曲变形 :
A

l
x B q

qx M( x) = ? Px ? 2
P
C

2

?M(x) = ?x ?P

l

x

AB:弯扭组合变形 :

M ( x ) = Qx = ( P + ql ) x

?U fC = ?P P=0
l 0

M(x) ?M(x) dx =∫ EI ?P
l 0

?M(x) =x ?P
ql T ( x ) = m = Pl + 2
2

M(x) ?M(x) T(x) ?T(x) dx + dx]} +{∫ [ EI ?P GIP ?P

?T(x) =l ?P

?U fC = ?P P=0 M(x) ?M(x) dx =∫ EI ?P l M( x) ?M( x) dx +{∫0[ EI ?P T( x) ?T( x) dx]} + GI P ?P
l 0

BC:弯曲变形 :

qx M( x) = ? Px ? 2
?M(x) = ?x ?P

2

AB:弯扭组合变形 :

M ( x ) = Qx = ( P + ql ) x

1 l qx )(?x)dx = ∫0 (? EI 2 1 l + ∫0 qlx ? x ?dx EI 1 l ql2 + ? l ? dx ∫0 GI P 2

2

?M(x) =x ?P 2 ql T ( x ) = m = Pl + 2 ?T(x) =l ?P

?U fC = ?P P=0

1 l qx )(?x)dx = ∫0 (? EI 2 1 l + ∫0 qlx ? x ?dx EI 1 l ql2 + ? l ? dx ∫0 GI P 2
11ql ql (↓) = + 24EI 2GIP
4 4

2

πd4 I=
64

IP

πd4 =
32


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