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[名校联盟]四川省成都翔博教育咨询公司高三数学复习:点线面中档卷


1. 如图正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 4 2 , 高 SE ? 8 , 点 F 在高 SE 上, 且 SF ? x , 记过点 A, B, C, D, F 的球的半径为 R ? x ? ,则函数 R ? x ? 的大致图像是( )

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2.右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的(

>


3. 如图, 已知正方体 ABCD-A1B1C1 D1, E、 F 分别是平面 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心, 则 EF 和 CD 所成的角是(

).

A.60° B.45° C.30° D.90° 4.在空间,设 l , m , n 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题中为假命题 的是 ... A、若 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,则 l ? ? B、若 l // ? , l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m C、若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l // m ,则 l // n D、若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? 或 ? ? ? 5.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为棱 AA1 、 CC1 的中点,则在空间中与直线 A1D1 、 EF 、 CD 都相交的直线有

D1

C1

A1

B1

F

E D A B C

A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.无数条 6.用 M 表示平面, a 表示一条直线,则 M 内至少有一直线与 a ( ) (A) 平行; (B)相交; (C)异面; (D)垂直。 7.BC 是 Rt△ABC 的斜边,AP⊥平面 ABC,PD⊥BC 于点 D,则图中共有直角三角形的个数是( )

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8.已知命题“直线 l 与平面 ? 有公共点”是真命题,那么下列命题: ①直线 l 上的点都在平面 ? 内; ②直线 l 上有些点不在平面 ? 内; ③平面 ? 内任意一条直线都不与直线 l 平行. 其中真命题的个数是( ) A.3 B. 2 C.1 D.0 9.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题中真命题是 ( ) A. m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C. ? ? ? , m ? ? , n ∥ ? ? m ? n B. ? ? ? ,?

? ? m, m ? n ? n ? ?

D. ? ∥ ? , m ? ? , n ∥ ? ? m ? n

10.在空间,异面直线 a , b 所成的角为 ? ,且 sin ? ?

1 , 则 cos ? =( 2

)

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

3 3 或? 2 2

D. ?

1 2

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分

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二、填空题(题型注释) 11.下面四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB//平面 MNP 的图形是____________

12 . 已 知 直 线 上

0 1 n 个 点 最 多 将 直 线 分 成 Cn ? Cn ? n ?1 段 , 平 面 上 n 条 直 线 最 多 将 平 面 分 成

0 1 2 Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 k 部分(规定:若 k ? n, 则 Cn ,则类似地可以推算得到空间里 n 个平面最多将空 ? 0) 2
部分

间分成



13. 、设 a , b 是两个不重合的平面, l , m 是两条不同的直线,给出下列命题: (1) 若 l ? ? , m ? ? , l ∥ ? , m ∥ ? ,则 ? ∥ ? (2)若 l ? ? , l ∥ ? , ? ? ? ? m ,则 l ∥ m (3)若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l , 则 m ? ? (4)若 l ? ? , m ∥ l , ? ∥ ? ,则 m ? ? ,其中正确的有 14. 如图, 在边长为 2 的菱形 ABCD 中,
0

(只填序 号)

' ' ?BAD ? 600 , 现将 ?ABD 沿 BD 翻折至 ?A BD , 使二面角 A ? BD ? C

的大小为 60 ,求 A B 和平面 BDC 所成角的正弦值是 ▲ ;

'

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A'

D

C

A

B

___. 15.已知 PA 垂 直平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC ? BD ,则平行四边形 ABCD 一定是 __________
(填形状) 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

16.如图四棱锥 E—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形。∠ABC=45°,BE=BC= 2 3 面 BCE⊥平面 ACE,AE⊥EB D M C B

EA=EC=6,M 为 EC 中点,平

A

E (I)求证:AE⊥BC (II)求四棱锥 E—ABCD 体积 17.如图 5 所示,在正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中,E 是 DD 1 的中点

(Ⅰ)求直线 BE 和平面 ABB1 A 1 所成的角的正弦值, (Ⅱ)在 C1 D1 上是否存在一点 F,使从 B1F // 平面 A 1BE ?证明你的结论.

18.如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形, BE ? BC , AE ? BE, M 为 CE 上一点,且

BM ? 面ACE .
(Ⅰ)求证: AE ? BC ; (Ⅱ)若点 N 为线段 AB 的中点,求证:. MN / /面ADE D C M A N B

E 19. (本题满分 12 分)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AB ? 5 ,AA1= 4,点 D 是 AB 的中点 (Ⅰ)求证:AC⊥BC1 (Ⅱ)求二面角 D ? CB1 ? B 的平面角的正切值

PD ? DC ? 2, DF ? PC E 是 PA 中点, PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面, 20. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,
①求证: BC ? 平面 PDC ②求证:平面 DEF ? 平面 PBC (13 分)

21. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PB ? BC, PD ? CD ,且 PA ? 2 , E 为 PD 中 点.

P E A D C
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B

(1)求证: PA ? 平 面 ABCD ; (2)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值. 22.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, AB ? 2 , ?BAD ? 60? .
P

D A C B

(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)若 PA ? AB ,求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

参考答案 1.A 【解析】

? O E中 A ,有 试 题 分 析 : 设 过 点 A, B, C, D, F 的 外 接 球 球 心 为 O , 在 R t

R2 ?16 ? (8 ? R ? x)2
R? ? x2 1 2x ? ? 6x 1 ?









?8 6

? x?

x

0 ? 8 ? x 28 x 4 ,当且仅当 ? ? 即 8 4 2 ??xx 2

1 ? ?

x=4 时,R(x)取最小值 4,故选 A 考点:本题考查了函数的性质 点评:构造半径函数,然后 利用对号函数的性质求出最值,属基础题 2.A 【解析】解:旋转体是由一个圆锥和一个圆台组成的,可知上面是直角三角形,下面是倒放 的直角梯形,旋转以前的图形为两平面图形组合而成的,可知选选 A. 3.B 【解析】 试题分析:本题利用空间向量来求异面直线所成角,首先建立以 D 为原点的坐标系,进而 写出两直线的方向向量,求两方向向量的夹角,从而确定直线所成角 考点:异面直线所成角 点评:向量在解决立体几何问题时将大量的思维代之以数据计算 4.D
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【解析】设 m ? ?

? , n ? ? ? ,因为 ?

? ? l ,所以在 l 上任意取一点 P ,过点 P 在平

面 ? 内作 PA ? m 。因为 ? ? ? , m ? ?

? 所以 PA ? ? 。过点 P 在平面 ? 内作 PB ? n ,

同理可得 PB ? ? ,则 A, B 重合且 A ? l ,故 PA 所在直线即直线 l ,所以 l ? ? ,A 正确; 因为 l / /? ,则存在 n ? ? , n ? ? 有 l / / n ,而 l / / ? ,所以 n / / ? 。由线面平行性质定理可 得 n / / m ,从而有 l / / m ,B 正确;

l ??

因为 ? , ? , ? 是三个不同的平面, 所以 l ? ? , l ? ? , 而 l // mm ?,m ? ? ? , , ?? ,

所以 l / /? ,由线面平行性质定理可得 l / / n ,C 正确;

? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? 或 ? , ? 任意相交,D 不正确,故选 D
5.D 【解析】 试题分析:如图, A1D1 上任意取一点 K ,作平面 KDCL ,注意 E , F 在此平面的两侧, EF 与 此平面交于 H , KL DC ? KH 与 DC 不平行, 即直线 KH 与三条直线 A 1D 1 , EF , CD 都

相交,而 K 是 A1D1 上任意一点,所以,这种直线有无数条。

考点:空间直线间的位置关系 点评:本题要求学生要有一定的空间想象能力,学生在求解时的入手点不易找到,有一定难 度 6.D 【解析】 试题分析:若 a 与 M 相交,则则 M 内没有直线与 a ,故 A 错误;若 a / / M ,则 M 内没有直 线与 a 相交,故B错误;若 a ? M ,则 M 内没有直线与 a 异面,故C错误;故选 D。 考点:直线、平面之间的位置关系 点评:直线与直线之间的位置关系有三种:平行、异面和相交。解决本题可用到排除法。 7.A 【解析】 试题分析:因为 AP⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 PA⊥BC, 又 PD⊥BC 于 D,连接 AD,PD∩PA=A,所以 BC⊥平面 PAD,又 AD?平面 PAD,所以 BC⊥AD;
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又 BC 是 Rt△ABC 的斜边,所以∠BAC 为直角,所以图中的直角三角形有:△ABC,△PAC, △PAB,△PAD,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB.故答案为:8。 考点:线面垂直的性质定理;线面垂直的判定定理。 点评:本题着重考查了线面垂直性质与判定定理的应用,考查细心分析问题能力,解决问题 的能力,属于中档题。 8.D 【解析】 试题分析:因为,命题“直线 l 与平面 ? 有公共点”是真命题,即包括了两种情况, 一是直线 l 与平面 ? 有一个公共点---相交; 二是,直线 l 与平面 ? 有无数多公共点---直线在平面内. 所以,① 直线 l 上的点都在平面 ? 内,是假命题;②直线 l 上有些点不在平面 ? 内,是假命 题; ③平面 ? 内任意一条直线都不与直线 l 平行,是假命题. 故选 D. 考点:直线与平面 9.D 【解析】A:m⊥α,n?β,m⊥n 时,α、β 可能平行,也可能相交,不一定垂直,故 A 不 正确 B:当 α⊥β,α∩β=m 时,若 n⊥m,n?α,则 n⊥β,但题目中无条件 n?α,故 B 也不一
[来源: 学_科_网 Z_X_X_K]

定成立, C:α⊥β,m⊥α,n∥β 时,m 与 n 可能平行、相交或异面,不一定垂直,故 C 错误 D:α∥β,m⊥α,n∥β 时,m 与 n 一定垂直,故 D 正确 故选 D. 10.A 【解析】 试题分析:因为

?

是 异 面 直 线 a , b 所 成 的 角 , 所 以 ? ? ? 0,

? ?

??

? ,所以 2?

cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

3 . 2

考点:本小题主要考查异面直线所成角的范围和同角三角函数关系的应用. 点评:应用 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 时,一定要注意 ? 的取值范围,注意是一个解还是两个解. 11.①④ 【解析】 试题分析:根据空间直线与平面平行的判定定理知①④可以得出 AB//平面 MNP. 考点:本小题主要考查空间直线与平面平行的判定. 点评:要判定直线与平面平行,主要是依据 直线与平面平行的判定定理.
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0 1 2 3 12. Cn ? Cn ? Cn ? Cn

【解析】这里推理依次为一维,二维,三维等情况,根据已有结论的构成,可以推算得到空
0 1 2 3 间里 n 个平面最多将空间分成 Cn 部分。 ? Cn ? Cn ? Cn

13 . (2)(4) 【 解 析 】 (1) 没 说 明 两 直 线 相 交 . 错 ;(2) 正 确 ;(3) 没 说 明 直 线 m 在 平 面 ? 内 . 错 ; (4) 因 为 l ? ? , m ∥ l , 所以 m ? ? ,又因为 ? ∥ ? ,则 m ? ? .正确. 14.0.75 【解析】取 BD 中点 O ,连接 A ' O, CO ,过点 A ' 作 A ' E ? CO ,连接 BE 因为 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 , O 为 BD 中点 所以 A ' O ? BD, CO ? BD , A' O? 角,从而有 ?A ' OC ? 60 因为 A ' O ? BD, CO ? BD ,所以 BD ? 面 A ' OC ,所以 BD ? A ' E 而 A ' E ? CO ,所以 A ' E ? 面 ABCD ,则 ?A ' BE 是 A ' B 和平面 BDC 所成角 在 Rt ?A ' OE 中,因为 A ' O ? 3, ?A ' OC ? 60 ,所以 OE ?

3, OB? 1,则 ?A ' OC 是二面角 A '? BD ? C 的平面

3 3 , A' E ? 2 2

从而有 BE ? OE 2 ? OB 2 ?

7 2 7 3 , 所 以 A'B ? 2 , 从 而 , A' E ? 2 2

t 'A 所 以 在 R?
sin ?A ' BE ?
15.菱形 【解析】

B中 E , 因 为 BE ?

3 A' E 3 ? ,即 A ' B 和平面 BDC 所成角的正弦值为 4 A' B 4

试题分析:因为 PA ? 面ABCD,BD ? 面ABCD,所以PA ? BD,由PC ? BD,PA ? PC=P , 所以 BD ? 面PAC, 又AC ? 面PAC, 所以AC ? BD ,所以平行四边形 ABCD 一定为菱形。 考点:线面垂直的性质定理;线面垂直的判定定理。 点评:对角线垂直的平行四边形一定为菱形。 16. (1)根据题意,由于 BM⊥平面 ACE, AE⊥BM,那么可以根据线面垂直的性质定理得到 证明。 (2) 12 3 【解析】 试题分析: (1)证明:BE=BC, M 为 EC 中点 ∴BM⊥EC 又平面 BCE⊥平面 ACE 且交于 EC ∴BM⊥平面 ACE, AE⊥BM 又 AE⊥EB EB BM=B BM、EB ? 平面 BCE ∴AE⊥平面 BCE, AE⊥BC

(2)设 E 点到平面 ABCD 距离为 h

BM ? BC2 ? CM 2 ? 12 ? 9 ? 3

VA?BCE ? VE ? ABC
1 1 S?BCE ? AE ? S ?ABC ? h 3 3

1 1 1 3 ? 6 ? 3 ? 6 ? AB ? BC ? Sin45 ? h ? AE 2 ? EB 2 ? 2 3 ? h 2 2 2 2
? 1 3 6 1 3 6 1 ?4 3? 6 ?h h ? VE ? ABCD ? ? ? 2 ? AB ? BC ? Sin45 ? 12 3 2 2 3 2 2

考点:锥体的体积和线线垂直 点评:主要是考查了空间中线面位置关系,以及锥体体积的计算,属于中档题。 17.略 【解析】略 18.见解析. 【解析】 ( I ) 证 明 的 关键 是 BM ? AE . , AE ? BE , 从 而 证 明 AE ? 面BCE , 进 而得

AE ? BE .
(II)证明的关键是证明 MN//AF. 证明: (I)由 BM ? 面ACE ,得: BM ? AE . 又 AE ? BE ,故 AE ? 面BCE , AE ? BC. D F A N B C M ...................6 分

E (Ⅱ)取 DE 中点 F , 连接 AF , MF . 则 MF / /

1 1 CD, 又 AN / / CD ,故 MF / / AN , 2 2
...12 分

从而四边形 ANMF 为平行四边形,进而 MN / / AF . 故 MN / /面ADE . 19.

(Ⅰ)证明:直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面 三边长 AC=3,BC=4,AB=5,
AC 2 ? BC 2 ? AB2

∴ AC⊥BC, 又 AC⊥ C1C ,且 BC C1C ? C ∴ AC⊥平面 BCC1 , 又 BC1 ? 平面 BCC1 ∴ AC⊥BC1

???????2 分

??????????????4 分 ??????????????5 分

(Ⅱ)解法一:取 BC 中点 E ,过 D 作 DF ? B1C 于 F ,连接 EF
C1 B1

A1 F C D A E B

D 是 AB 中点,

∴ DE / / AC ,又 AC ? 平面 BB1C1C ∴ DE ? 平面 BB1C1C , 又
EF ? 平面 BB1C1C , BC1 ? 平面 BB1C1C

∴ DE ? EF ∴ B1C ? DE 又

DF ? B1C 且 DE

DF ? D

∴ B1C ? 平面 DEF , EF ? 平面 DEF ∴ B1C ? EF ∴
? EFD



DF ? B1C
是 二 面 角

D?

1

? B

的 C

平 B



角 ??????????10 分 AC=3,BC=4,AA1=4, 3 ∴在 ?DEF 中, DE ? EF , DE ? , EF ? 2 2 ∴
3 DE 3 2 tan ?EFD ? ? 2 ? EF 4 2

??????????????1

1分 ∴
3 2 4







D ? B1C ? B









????????????12 分

、 z轴 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 解 法 二 : 以 CA 分 别 为 x、 y 、 C、 B C1C

系 ???6 分 AC=3,BC=4,AA1=4,
3 2, 0) , B1 (0, 0, 0) , B(0,4, 0) C (0, 0, 0) , D ( , ∴ A(3, 4, 4) , 2 3 2, 0) , ∴ CD ? ( , 2
A1

z C1 B1

C B D A x y

CB1 ? (0, 4, 4)
n1 ? (1, 0, 0) ,






CBB1C1









???????7

设平面 DB1C 的法向量 n2 ? ( x0,y0,z0 ) , 则 n1 , n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角 D ? CB1 ? B 的大小 ??8 分

?3 ? ? n2 ? CD ? 0 ? x0 ? 2 y0 ? 0 则由 ? ? ?2 n ? CB ? 0 ? ? ? 2 1 ?4 y0 ? 4 z0 ? 0

令 x0 ? 4 ,则 y0 ? ?3 , z0 ? 3

∴ n2 ? (4, ?3,3)

????10 分 ?????11 分

cos ? n1, n2 ??

3 2 n1 ? n2 4 ,则 tan ? n1, n2 ?? ? 4 | n1 | ? | n2 | 34

∵二面角 D ? B1C ? B 是锐二面角 ∴二面角 D ? B1C ? B 的正切值为
3 2 4

???????? 12 分

【解析】略 20.证明:



? ? PD ? ABCD ? PD ? BC (2分) ? ? ? ? BC ? PDC (6分) ? BC ? ABCD ? ABCD为正方形 ? BC ? CD(4分) ?

? BC ? PDC ? DF ? BC, 又DF ? PC ? DF ? PCB ? DF ? PDC ? ②
又 DF ? DEF ? 平面 DEF ? 平面 PBC

【解析】略 21. (1)推证 BC ? 平面 PAB ,得到 BC ? PA ,同理可证 CD ? PA , PA ? 平面 ABCD . (2) cos? ? cos ? m, AP ?? m ? AP ? 3 。 3 m ? AP
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【解析】 试题分 析: (1)证明:∵底面 ABCD 为正方形, ∴ BC ? AB ,又 BC ? PB , ∴ BC ? 平面 PAB ,∴ BC ? PA 同理可证 CD ? PA , ∴ PA ? 平面 ABCD . (2)建立如图的空间直角坐标系, A ? xyz , z P E A C D y

???2 分 ???4 分

B x

则 A(0, 0, 0), C (2, 2, 0), E (0, 1 , 1) . 设 m ? ( x, y, z ) 为平面 AEC 的一个法向量,

???6 分

则 m ? AE , m ? AC .又 AE ? (0 ,1 ,1), AC ? (2 ,2 ,0),

? y ? z ? 0, 令 x ? 1, 则 y ? ?1, z ? 1, ?? ?2 x ? 2 y ? 0.

m ? (1, ? 1, 1) ???9 分
又 AP ? (0,0,2) 是平面 ACD 的一个法向量, ???10 分 设二面角 E ? AC ? D 的大小为 ? ,则
cos? ? cos ? m, AP ?? m ? AP m ? AP ? 3 3

???12 分

考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系,角的计算。 点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、 体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法” 。利用几何法,要遵循“一作、二 证、三计算”的步骤。本题通过空间直角坐标系,利用向量知识可简化证明过程。把证明问 题转化成向量的坐标运算,这种方法带有方向性。 22. (Ⅰ)先证 AC ? BD , PA ? BD ,进而证明 BD ⊥平面 PAC ,从而得证; (Ⅱ)

7 7

【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD . 又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BD . 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ⊥平面 PAC . 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC 分 (Ⅱ)依题意,知
P

??6

N M A C B D

平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD ,

过点 B 作 BM ? AD ,垂足为 M ,则 BM ? 平面 PAD . 在平面 PAD 内过 M 作 MN ? PD ,垂足为 N ,连 BN , 则 PD ⊥平面 BMN ,所以 ?BNM 为二面角 A ? PD ? B 的一个平面角 . ∵ AB ? AD , ?BAD ? 60? , ∴ BM ? 分 又 PA ? AB ,故 MN ? 分 ??9 分

3 AB ? 3 , 2

DM ? 1 .

??10

2 14 . 所以 BN ? . 2 2

??11

MN ? ∴ cos ?BNM ? BN

2 2 ? 7. 7 14 2

即二面角 A ? PD ? B 的余弦值为

7 . 7

??12

分 考点:本小题主要考查空间中线线垂直的证明和二面角的求解. 点评:在空间中证明直线、 平面间的位置关系时,要紧扣判定定理和性质定理,定理中要 求的条件要一一列举出来,缺一不可.


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