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2013高考数学第二轮复习专题训练:定积分的概念


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定积分的概念
一、选择题 1. 已知 f ( a ) ? ? 10 (2 a x 2 ? a 2 x ) d x ,则 f ( a ) 的最大值是
A.
2 3

B.

2 9

C.

4 3

D.

4 9

2. 下列等于 1 的积分是
A. ? x dx
0 1

( B. ? ( x ? 1)dx
0 1



C. ? 1dx
0

1

D. ?

1

1 2

dx

0

3.

?|x
0

1

2

? 4 | dx =

( B.
1 ?2
p p



A.

21 3

22 3

C.
p

23 3

D.

25 3

4. 将和式的极限 lim
A. ?
?
1

? 3 ? ....... ? n
p

n? ?

n
1 p

P ?1

( p ? 0 ) 表示成定积分
1 x p D. ? ( ) dx 0 n





1 x

dx

0

B. ? x dx
0

1 1 p C. ? ( ) dx 0 x

5.

? ? (1 ? cos x ) dx 等于
2 ? 2

A. ?

B. 2

C. ? -2

D. ? +2

6. 给出下列四个结论:
①?
2?

sin xdx ? 0 ;
2 2

0

②命题“ ? x ? R , x ? x ? 0 " 的否定是“ ? x ? R , x ? x ? 0 ” ; ③“若 am ? bm , 则 a ? b ”的逆命题为真;
2 2

④集合 A ? { x | 充要条件. A.①③

x?4 x ?1

? 0}, B ? { x | ( x ? a ) ? 1} ,则“ a ? ( 2 ,3 ) ”是“ B ? A ”
2

则其中正确结论的序号为 B.①② C.②③④ D.①②④

7.

?

2

| x ? 1 | dx 的值是
2

0

A.

2 3

B. D.

4 3 8 3

C. 2

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8. ? 2 2 4 ? x 2 dx 的值是 ?
A.

?

B. ? D. 4?

2 C. 2?

二、填空题 9. 已知 t ? 1 ,若 ? (2 x ? 1) dx ? t 2 ,则 t =________________。 10. 已知函数 f ? x ? ?
sin ? x

?x

2

? 1? ? x ? 2 x ? 2 ?
2



(Ⅰ)方程 f ( x ) ? 0 在区间 [ ? 100,100] 上实数解的个数是__________; (Ⅱ)对于下列命题:① 函数 f ? x ? 是周期函数; ② 函数 f ? x ? 既有最大值又有最小值; ③ 函数 f ? x ? 的定义域是 R,且其图象有对称轴; ④对于任意 x ? ( ? 1 , 0) , f ?( x ) ? 0 ( f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数) .

11. 将和式 lim (
n? ?

1 n ?1

?

1 n?2

? ......... ?
1

1 2n

) 表示为定积分



12. 已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若 ? f ( x ) dx ? 2 f ( a ) 成立,则 a=___________。
?1

13. 设函数 f ( x ) ? ax 2 ? 1 ,若 ? f ( x ) dx ? 2 ,则 a ? _________.
0

1

三、解答题 14. 设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且
f′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. (2)若直线 x=-t(0<t<1=把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值.

15. 计算下列定积分的值
(1) ? ( 4 x ? x ) dx ;(2) ? ( x ? 1) dx ;
2 5 ?1 1 3 2

?
0

?
2 ?

(3) ? 2 ( x ? sin x )dx ; (4) ? 2? cos x dx
2

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答案
一、选择题 1. B 2. C 3. C 4. B 5. D
x 2 ? x 2

解析∵ 原 式 ? x ? sin x

?(

?
2

? sin

?
2

) ? [?

?
2

? sin( ?

?
2

)] ? ? ? 2 .故选 D

6. B 7. C 8. C 二、填空题 9. 2 10. 201 ;②③
解析: (Ⅰ)由于 x 2 ? 1 ? 0 , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ,故 f ( x ) ? 0 ? sin ? x ? 0 ? x ? k , k ? Z 在 [ ? 100,100] 中的整数个数 N ? 201 故 f ( x ) ? 0 在区间 [ ? 100,100] 上实数解的个数为 201 . (Ⅱ)命题①:由分母为 ( x ? 1) ? (1 ? x ) ? 1 ? ,易知 f ( x ) 不是周期函数,故为假命题; ? ?
2 2

命题②:由于 f ( x ) 是 R 上的连续函数,且 lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? 0 ,可知 f ( x ) 既有最大
x ? ?? x ? ??

值又有最小值,故为真命题; 命题③:由于 f ( x ) ?
sin ? x ( x ? 1)( x ? 2 x ? 2)
2 2
2

?

sin ? x
2 2 ( x ? 1) ? (1 ? x ) ? 1 ? ? ?

,故 f ? x ? 的定义域是 R

看到 y ? ( x ? 1) ? (1 ? x ) ? 1 ? 的对称轴为 x ? ,且 x ? 为 y ? sin ? x 的一条对称轴 ? ? 2 2
2

1

1

故x ?

1 2

为 f ( x ) 图象的对称轴,故为真命题;

命题④:由 f ? x ? 在定义域 R 上连续,且 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,可知 f ( x ) 不可能在 ( ? 1, 0) 上 为减函数,故为假命题.
1

11.

?

1 1? x

dx

0

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12. a=-1 或 a=-

1 3

13. 3 三、解答题 14. 解析: (1)设 f(x)=ax2+bx+c,则 f′(x)=2ax+b,
又已知 f′(x)=2x+2 ∴a=1,b=2. ∴f(x)=x2+2x+c 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴判别式Δ =4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x2+2x+1. (2)依题意,有所求面积= ? (3)依题意,有 ? ∴(
?t ?1 2
0 ?1

( x ? 2 x ? 1) dx ? (
2

1 3

x ? x ? x ) | ?1 ?
3 2 0

1 3

.

( x ? 2 x ? 1) d x ?

?

0 ?t

( x ? 2 x ? 1) d x ,
2

1 3

x ? x ? x ) | ?1 ? (
3 2

?t

1 3

x ? x ? x ) |?t , -
3 2 0

1 3

t3+t2-t+

1 3

=

1 3

t3-t2+t, 3-6t2+6t-1=0, 2t

∴2(t-1)3=-1,于是 t=1-

1
3

.

2

评述:本题考查导数和积分的基本概念.

15. 解析: (1)

(2)

(3)

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(4)

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