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新人教B版必修2高中数学课堂设计1.1.7 柱、锥、台和球的体积(2)学案


1.1.7 学习目标 柱、锥、台和球的体积(2) 自主学习 1.了解球的体积公式. 2.会计算简单组合体的体积. 3.培养学生的空间想象能力和思维能力. 自学导引 1.球的表面积 设球的半径为 R,则球的表面积 S=________, 即球的表面积等于它的大圆面积的______倍. 2.球的体积 设球的半径为 R,则球的体积 V=__________. 对点讲练 知识点一 球的体积和表面积的计算 例1 (1)球的体积是 32π ,则此球的表面积是( 3 16π C. 3 64π D. 3 ) A.12π B.16π (2)一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面,球心到这个平面的 距离为 4 cm,则球的体积为( 100π 3 A. cm 3 ) 208π 3 B. cm 3 1 500π 3 C. cm 3 点评 416 13π 3 D. cm 3 遇到球的表面积及体积的有关计算问题时, 我们的分析方 向就是要充分利用条件去确定球心的位置和半径,只要这两点确定 了,那球的表面积及体积问题就会迎刃而解. 变式训练 1 球的截面把垂直于截面的直径分成 1∶3 的两段, ) D.4 3π 若截面圆半径为 3,则球的体积为( A.16π 16π B. 3 32π C. 3 知识点二 有关几何体的外接球与内切球问题 例2 在半球内有一个内接正方体, 试求这个半球的体积与正方 体的体积之比. 2 点评 解决与球有关的组合问题,可通过画过球心的截面来分 析,并注意组合体中半径与相关几何体的关系: ①长方体的 8 个顶点在同一个球面上, 则长方体的体对角线是球 的直径; 球与正方体的六个面均相切, 则球的直径等于正方体的棱长; 球与正方体的 12 条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. ②球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也 等于圆柱底面圆的直径. ③球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高. 变式训练 2 有三个球,第一个球内切于正方体六个面,第二个 球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求 这三个球的表面积之比. 知识点三 综合应用 例3 有一个倒圆锥形容器, 它的轴截面是一个正三角形, 在容 器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后 将球取出,求这时容器中水的深度. 点评 在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要通过作一适 当的截面,将立体几何问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指 3 的是圆锥的轴截面、球的大圆等. 变式训练 3 一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球, 在圆锥内又有一个内切球. 求:(1)圆锥的侧面积; (2)圆锥的内切球的体积. 1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成 直角三角形,进行相关计算. 2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何 体的各量体现在平面图形中,再进行相关计算. 课时作业 一、选择题 1.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( A.144π ,144π C.36π ,144π ) B.144π ,36π D.36π ,36π 2.如果两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积之 比为( ) B.2∶3 D.2∶9 A.8∶27 C.4∶9 3.三个球的半径之比为 1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余 4 两个球的表面积之和的( A.1 倍 B.2 倍 ) 9 C. 倍 5 7 D. 倍

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