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2012年实验中学省重点中学推荐生第一次选拔考试数学试卷(含答案)-


2012 实验中学省重点中学推荐生第一次选拔考试数学试卷
一、选择题(每题 4 分,共 24 分) 1.已知 P 是半径为 15 的⊙ O 内一点,过点 P 的所有弦中,长为整数的弦有 24 条,则 OP 为( A.10 B.12 C.15 D.18 )

3 2.如图,反比例函数 y=- (x>0)图象经过矩形 OABC 边 AB 的中点 E,交边

BC 于 F 点,连接 EF、OE、OF, x 则△ OEF 的面积是( A. 3 2 9 B. 4 ) 7 C. 3 5 D. 2 )

3.已知 a 为非负整数,关于 x 的方程 2x-a 1-x-a+4=0 至少有一个整数根,则 a 可能取值的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

1121231234 1 2 3 k 4.给出一列数 , , , , , , , , , .... ,, , …. ,….在这列数中,第 50 个值等于 1 的项的序号 是:( .. 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 k k-1 k-2 1 A.4900 B.4901 C.5000 D.5001

5.如图:⊙ O1 与⊙ O2 外切于 P,⊙ O1,⊙ O2 的半径分别为 2,1.O1A 为⊙ O2 的切线,AB 为⊙ O2 的直径,O1B 分别交⊙ O1,⊙ O2 于 C,D, 则 CD+3PD 的值为( 7 A. 3 5 2 B. 3 )
A

2 11 C. 3

4 3 D. 3 )

O1

1 6.若实数 a、b 满足 a-ab+b2+2=0,则 a 的取值范围是( 2 A.a≤-2 B.a≥4 C.a≤-2 或 a≥4

P
C D

O2

D.-2≤a≤4

B

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7.现有一副三角板如图,中间各有一个直径为 4 cm 的圆洞,现将三角形 a 的 30° 角的那一头插入三角板 b 的圆洞内,则三角形 a 通 过三角板 b 的圆洞的那一部分的最大面积为________cm2.(不计三角板的厚度,精确到 0.1 cm2) 8.已知函数 S=|x-2|+|x-4|.若对任何实数 x、y 都有 S≥m(-y2+2y)成立,则实数 m 的最大值为_______. 9.直线 l:m(2x-y-5)+(3x-8y-14)=0 被以 A(1,0)为圆心,2 为半径的⊙ A 所截得的最短弦的长为________. 10.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切,如果球的半径为 4,则三棱柱的体积为 。

11.如图,AB 为⊙ O 的直径,C 在⊙ O 上,并且 OC⊥ AB,P 为⊙ O 上的一点,位于 B、C 之间,直线 CP 与 AB 的延长线交于点 Q, 过点 Q 作直线与 AB 垂直,交直线 AP 于 R,BQ=6,则 QR=



3 3 12.如图,双曲线 y= (x>0)的图象上,△ OA1B1,△ A1A2B2,…,△ An-1AnBn 均为正三角形,则点 An 的坐标为________. x

三、解答题(共 26 分) 13.(14 分)如图,已知在平面直角坐标系 xoy 中,过点 P(0,2)任作一条与抛物线 y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点分别为 A、B, 若∠ AOB=90° , (1)判断 A、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值,并说明理由; (2)确定抛物线 y=ax2(a>0)的解析式; (3)当△ AOB 的面积为 4 2时,求直线 AB 的解析式.

- 1 -

14.(12 分)直角坐标系中,⊙ O1 经过坐标原点,分别与 x 轴,y 轴正半轴交于 A、B, (1) 如图① 若点 O 到 AB 的距离为 的值。 (2)如图② ,若⊙ O1 经过 M(2,2),作△ BOA 的内切圆直径为 d,求 d+AB 的值。 12 1 1 , 过点 A 的切线与 y 轴交点 C, 过点 O 的切线交 AC 于点 D, 过点 B 的切线交 OD 于 E, 求 + 5 CD BE

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参考答案 一、选择题(将正确选项的序号填在相应的表格中,每小题 4 分,共 24 分) 题 号 答 案 B 1 B 2 C 3 B 4 D 5 C 6

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7. 8+4√3 8. 2 9. 2 √2 10. 384√3 11. 6 12. (2√3n , 0)

三、解答题(共 26 分) 13.(14 分)如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(0,2)任作一条与抛物线 y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点分别为 A、B, 若∠ AOB=90° ,(1)判断 A、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值,并说明理由;(2)确定抛物线 y=ax2(a>0)的解析式; (3)当△ AOB 的面积为 4 2时,求直线 AB 的解析式. 解:(1)A、B 两点纵坐标的乘积是一确定值.理由:设直线 AB 的解析式为 y=kx+2, ?y=kx+2, 由? 得 ax2-kx-2=0. 2 ?y=ax , k 2 则 x1+x2= ,x1x2=- . a a 设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2,

2 2 2 22 所以 y1y2=ax2 ax2 1· 2=a (x1x2) =a -a =4……..5 分

(2)过点 A 作 AM⊥ x 轴于 M,过点 B 作 BN⊥ x 轴于 N,∵ ∠ AOB=90° ,所以∠ AOM+∠ BON=90° , ∴ ∠ AOM=∠ OBN. AM MO ∴ Rt△ AOM∽ Rt△ OBN,∴ = , ON NB

y1 -x1 2 1 1 即 = ,∴ -x1x2=y1y2,由-- =4,得 a= ,∴ y= x2……………10 分 x2 y2 a 2 2 (3)S△AOB=x2-x1= x2+x12-4x1x2= 4k2+16=4 2, ∴ k=± 2,∴ 直线 AB 的解析式为 y=± 2x+2…………………14 分 12 14.(12 分)直角坐标系中,⊙ O1 经过坐标原点,分别与 x 轴,y 轴正半轴交于 A、B,(1) 如图① 若点 O 到 AB 的距离为 ,过点 A 的 5 1 1 切线与 y 轴交点 C,过点 O 的切线交 AC 于点 D,过点 B 的切线交 OD 于 E,求 + 的值。 CD BE (2)如图② ,若⊙ O1 经过 M(2,2),作△ BOA 的内切圆直径为 d,求 d+AB 的值。 解:(1)延长 BE 交 x 轴于点 F, 作 OM⊥ AB 交 AB 于点 M, ∵ ∠ OMA=∠ CAB=∠ FBA=90° ,∴ BF∥ OM∥ AC. 又 ∵ B、O、A 为切点,△ BOF、△ AOC 为直角三角形, ∴ ∠ EBO=∠ EOB, ∴ ∠ EFO=∠ EOF,∴ OE=EB=EF. 同理 OD=AD=CD.∵ △ AOM∽ △ AFB, AM OM OM BM OM OM △ BOM∽ △ BCA,∴ = = , = = , AB BF 2BE AB AC 2CD 1 OM OM AM BM OM 1 1 1 2 5 + ∴ + = + =1 = ,∴ + = = . ……….7 分 2BE 2CD AB AB 2 BE CD BE CD OM 6 (2)设△ AOB 的内切圆分别切 OA、OB、AB 于点 P、Q、T,如图 2 所示. ∴ BQ=BT,AP=AT,OQ=OP=.∴ BQ=BT=OB-,AP=AT=OA-. ∴ AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d.则 d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB. 在 x 轴上取一点 N,使 AN=OB,连接 OM、BM、AM、MN.∵ M(2,2) , ∴ OM 平分∠ AOB,∴ OM=2,∴ ∠ BOM=∠ MON=45° ,∴ AM=BM, 又∵ ∠ MAN=∠ OBM,OB=AN, ∴ △ BOM≌ △ ANM,

(

)

∴ ∠ BOM=∠ ANM=45° ,∠ ANM=∠ MON,∴ OM=NM∠ OMN=90° , - 3 -

∴ OA+OB=OA+AN=ON=×OM=×2=4.∴ d+AB=4.………..12 分

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