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1.2.3 空间几何体的直观图 课件(人教A版必修2)


1.2.3 空间几何体的直观图

画在地面上的斑 马线怎么会产生出了 立体感觉? 如何把立体图形

上图是浙江省台州的斑
马线披上的“立体彩装”.

画在纸上?

这些图形给人以立体的感觉,怎么才能画出呢?

三视图是用平 面图形表示空间图 形的一种重要方法, 但三

视图的直观性 较差,如何绘制空

间图形的直观图呢?

1.体会平面图形和空间几何体的直观图的含义.

2.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
(重点)

3.会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体
等空间几何体的直观图.(难点)

作图较复杂,又不易度量.

在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平

(或垂直),但斜的平行线则会相交,交点称为消点.

立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的 直观图,这种画法叫做斜二测画法.
投影规律

1.平行性不变,但形状、长度、
夹角会改变.

2.平行直线段或同一直线上的
两条线段的比不变. 3.在太阳光下,平行于地面的 直线在地面上的投影长不变.

(一)水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置,从适当的角度观察, 给人以平行四边形的感觉,如图.比较两图,其中 哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化?

哪些没有发生变化?

思考2:把一个直角梯形水平放置,得其直观图如

图,比较两图,其中哪些线段之间的位置关系、
数量关系发生了变化?哪些没有发生变化?

我们通过下面的例题一起来分析.

例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 画法:(1)在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴, y′轴,两轴相交于点O′,使∠ x′o y′=45°.
F A
y M

对称轴MN所在直线为y轴,两轴交于点O.画相应的x′轴,
建系时要尽量考
E

y'
O?

虑图形的对称性
D
x

O

x'

B

N

C

注意:画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶 点的位置.

(2)以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD,在y′轴上取M ' N ' ? 1 MN . 以点N′为中点,画B′C′∥x′轴,并且等于BC;再以M′为中
2

点,画E′F′∥x′轴,并且等于EF.
y
F A M E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

注意:水平放置的线段长不变,竖直放置的线段长 变为原来的一半.

(3)连接 A' B ' , C ' D' , D' E ' , F ' A' , 并擦去辅助线x′轴和y′轴,便
获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A' B'C ' D' E ' F ' .
y
F A M E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法
步骤.

【提升总结】 斜二测画法的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交 于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′ 轴,两轴交于点O′,且使∠x′o′y′=45°(或 135°),它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中 分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原 长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

思考3:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直

观图,如果把一个圆水平放置,看起来像什么图形?
在实际画图时用什么方法?

斜二测画法

( 二)

空间几何体的直观图的画法

思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图,可用斜

二测画法或椭圆模板画出一个底面,我们能否再用
一个坐标确定底面外的点的位置?
y

o

x

例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、 2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
D′ A′ D A B′ C C′

B

画法:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,
三轴交于点O,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°. (2)画底面.以点O为中心,在x轴 上取线段MN,使MN=____ 4 cm;在y轴

z
D
O

y
Q

1.5 cm,分别 上取线段PQ,使PQ=_____
过点M和N作y轴的平行线,过点 分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD.

M

C

A

N
B

x

P和Q作x轴的平行线,设它们的交点

P

(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些
平行线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.

D?

Z
B?
O

C?
Q

A?
M

y

D?

C?
B?
C

D
P

C

N
B

A

x

A?

D

A

B

思考2:怎样画底面是正三角形,且顶点在底面上的 投影是底面中心的三棱锥?
z C C M O S y

A

B

A

B

x

S

C A B

思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤 进行? 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图

例3 如图已知几何体的三视图,用斜二测画法画
出它的直观图. 分析:由几何体的三视 图知道,这个几何体是 一个简单组合体.它的 下部是一个圆柱,上部 是一个圆锥,并且圆锥 的底面与圆柱的上底面 重合.我们可以先画出 下部的圆柱,再画出上 部的圆锥.

正视图

侧视图

俯视图

画法:(1)画轴. 画x轴,z轴,使∠xOz = 90°. (2)画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度 等于俯视图中圆的直径,且OA = OB. 选择椭圆模板中适 当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.
(3)在Oz轴上截取点O',使OO'等于
相应的 正视图中OO'的长度,过点O'作平
A′
O?

Z P·

B′

行于轴Ox的轴O'x',类似圆柱下底 面的作法作出圆柱的上底面.

x?
B

A
O

x

(4)画圆锥的顶点.在Oz轴上截取点P,使PO?等于 正视图中相应的高度.

()成图连接 5 . PA',PB',AA',BB',整理得到三 视图表示的几何体的直观图 .
P

A′

O′

B′

A

O

B

1.下列关于直观图的说法不正确的是( A ) A.原图形中平行于 y 轴的线段,对应线段平行于直观图 中 y′轴,长度不变 B.原图形中平行于 x 轴的线段,对应线段平行于直观图 中 x′轴,长度不变
C . 画 与 直 角 坐 标 系 xOy 对 应 的 x′O′y′ 时 , ∠ x′O′y′可以画成 135° D.在画直观图时,由于选轴的不同所画直观图可能不同

2.AB=2CD,AB∥x 轴,CD∥y 轴,已知在直观图中, AB 的直观图是 A′B′,CD 的直观图是 C′D′,则( C ) A.A′B′=2C′D′ C.A′B′=4C′D′ B.A′B′=C′D′ 1 D.A′B′= C′D′ 2

[解析]

选 C.因为 AB∥x 轴,CD∥y 轴,

所以 AB=A′B′,CD=2C′D′, 所以 A′B′=AB=2CD=2(2C′D′)=4C′D′.

3.长方形的直观图可能是下列图形中的哪一个

( D )

A.①② C.①④⑤

B.①②③ D.②⑤

4.如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观 图是一个等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上 底边长均为1,求这个平面图形的面积.
y′ D′ C′ D C

A′(O′)

B′ x′ A

S ? 2? 2
B

空间几何体的直观图的特点:
1. 保持平行关系和竖直关系不变.

2. 保持水平长度和竖直长度不变;
3. 纵向长度取其一半.

三视图与直观图的异同
两种视图 相同点与联系 都是空间几何体的表现形 式,已知一种形式可转化为 另一种形式.三视图需有一 直观图 定的空间想象能力才能看 懂,供较专业的人们使用. 不同点 从三个不同位置观察得出的是三视 图,它能体现各部分的准确比例. 从一个位置观察而得出的是直观 图,它能直观地体现几何体的形状, 但某些方向上的尺寸失真.

三视图

不论做什么事,相信自己,别让别人的一

句话将你击倒。


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