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2016届高考数学大一轮复习 第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课时提升练 文 新人教版


课时提升练(三十七)
一、选择题

空间点、直线、平面之间的位置关系
)

1.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D

.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 【解析】 由公理 1 知,命题 A 正确.

对于 B,假设 AD 与 BC 共面,由 A 正确得 AC 与 BD 共面,这与题设矛盾,故假设不成立, 从而结论正确. 对于 C,如图,当 AB=AC,DB=DC, 当二面角 A?BC?D 的大小变化时,

AD 与 BC 不一定相等,故不正确.
对于 D,如图,取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,则由题设得 BC⊥AE,BC⊥DE. 根据线面垂直的判定定理得 BC⊥平面 ADE, 从而 AD⊥BC.故 D 正确. 【答案】 C 2.(2015·天水模拟)已知平面 α 和直线 l,则 α 内至少有一条直线与 l( A.平行 C.垂直 B.相交 D.异面 )

【解析】 直线 l 与平面 α 斜交时,在平面 α 内不存在与 l 平行的直线,∴A 错;l ∥α 时,在平面 α 内不存在与 l 相交的直线,∴B 错;l? α 时,在平面 α 内不存在与 l 异面的直线,∴D 错;无论以上哪种情形在平面 α 内都有无数条直线与 l 垂直.故选 C. 【答案】 C 3.若 P 是两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 【解析】 对于选项 A,若过点 P 有直线 n 与 l,m 都平行,则 l∥m,这与 l,m 异面矛 盾. 对于选项 B,过点 P 与 l,m 都垂直的直线,即过点 P 且与 l,m 的公垂线段平行或重合 的那一条直线. )

1

对于选项 C,过点 P 与 l,m 都相交的直线有一条或零条. 对于选项 D,过点 P 与 l,m 都异面的直线可能有无数条. 【答案】 B 4.(2015·石家庄模拟)如图 7?3?9 所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,H 分别是边 AB,

CF CG 2 AD 的中点,点 F,G 分别是边 BC,CD 上的点,且 = = ,则( CB CD 3

)

图 7?3?9 A.EF 与 GH 平行 B.EF 与 GH 异面 C.EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上 D.EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 【解析】 EF 与 GH 必相交,设交点为 M.因为点 M 在 EF 上,故点 M 在平面 ACB 上.同 理,点 M 在平面 ACD 上,即点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点,而 AC 是这两个平面的交线, 所以点 M 一定在直线 AC 上. 【答案】 D 5.(2014·珠海一中等六校联考)如图 7?3?10,正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,棱长为 1,黑 白

图 7?3?10 二蚁都从点 A 出发,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是

AA1→A1D1→?,黑蚁爬行的路线是 AB→BB1→?,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i+2 段
所在直线与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i∈N ). 设黑白二蚁走完第 2014 段后, 各 停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是( A.1 B. 2 C. 3 D.0 )
*

【解析】 由已知与图可知,白蚁“走完六段”后,又回到 A 点,故走完 2014 段后, 停留的点为 C 点,同理,黑蚁最后停留的点为 D1 点,所以此时黑白蚁的距离为 CD1= 2.

2

【答案】 B 6.如图 7?3?11,正三棱柱 ABC?A1B1C1 的各棱长(包括底面边长)都是 2,E,F 分别是 AB,

A1C1 的中点,则 EF 与侧棱 C1C 所成的角的余弦值是(

)

图 7?3?11 A. C. 5 5 1 2 B. 2 5 5

D.2

【解析】 如图,取 AC 中点 G,连 FG,EG,则 FG∥C1C,FG=C1C;

EG∥BC,EG= BC,故∠EFG 即为 EF 与 C1C 所成的角,在 Rt△EFG 中,cos
∠EFG= =

1 2

FG FE

2

2 5 = . 5 5

【答案】 B 二、填空题 7. 平面 α , β 相交, 在α , β 内各取两点, 这四点都不在交线上, 这四点能确定________ 个平面. 【解析】 设这四个点分别为 A,B,C,D,若点 D 在点 A,B,C 所确定的平面内,则 此时 A,B,C,D 四点共面;若点 D 不在点 A,B,C 所确定的平面内,则这四点能确定 4 个 平面,综上所述,这四点能确定 1 个或 4 个平面. 【答案】 1 或 4 8.如图 7?3?12 为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原 正方体中互为异面的对数为________对.

图 7?3?12 【解析】 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原
3

正方体中,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相 交,CD 与 EF 平行.故互为异面的直线有且只有 3 对. 【答案】 3 9.如图 7?3?13 所示,正方体的棱长为 1,B′C∩BC′=O,则 AO 与 A′C′所成角的度 数为________.

图 7?3?13 【解析】 ∵A′C′∥AC, ∴AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC. ∵OC⊥OB,AB⊥平面 BB′CC′, ∴OC⊥AB.又 AB∩BO=B, ∴OC⊥平面 ABO. 又 OA? 平面 ABO,∴OC⊥OA. 在 Rt△AOC 中,OC= 2 ,AC= 2, 2

OC 1 sin∠OAC= = , AC 2
∴∠OAC=30°,即 AO 与 A′C′所成角的度数为 30°. 【答案】 30° 三、解答题 10.如图 7?3?14 所示,等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC=90°,BC= 2,DA⊥AC,DA ⊥AB,若 DA=1,且 E 为 DA 的中点,求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值.

图 7?3?14 【解】 取 AC 中点 F,连 EF,BF,则 EF∥DC, ∴∠BEF 即为异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角). ∵DA=1,BC= 2,AB=AC. ∴DC= 2,
4

∴EF=

2 . 2

在△BEF 中,

BE=BF=
由余弦定理得 cos∠BEF=

5 ?1?2 2 1 +? ? = , 2 2 ? ?

EB2+EF2-BF2 2EB·EF



? 5?2 ? 2?2 ? 5?2 ? ? +? ? -? ? ?2? ?2? ?2?
2× 10 , 10 10 . 10 5 2 × 2 2



∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为

11.(2014·许昌调研)如图 7?3?15 所示,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与四边 1 1 形 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G,H 分别为 FA,FD 的 2 2 中点.

图 7?3?15 (1)求证:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? 【解】 (1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, 1 1 所以 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD, 2 2 故 GH 綊 BC. 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C,D,F,E 四点共面. 理由如下: 1 由 BE 綊 AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF,所以 EF 綊 BG. 2 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC,FH 共面.
5

又点 D 在直线 FH 上,所以 C,D,F,E 四点共面. 12.已知四面体 A?BCD 的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,求 a 的取值范围. 【解】 如图所示,AB= 2,CD=a,设点 E 为 AB 的中点,则 ED⊥AB,EC⊥AB,则 2 2 ,同理 EC= ,由构成三角形的条件知:0<a<ED+EC= 2,∴0<a 2 2

ED= AD2-AE2=
< 2.

6


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