当前位置:首页 >> 数学 >>

2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 选修4-5 选修 第2讲不等式的证明


第2讲 不等式的证明
最新考纲 了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分 析法、反证法、放缩法,并能用它们证明一些简单不等式.

基础诊断

考点突破

知识梳理
1.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b 时,等 号成立. a+b 定理 2:如果 a、b

为正数,则 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. a+b+c 3 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则 3 ≥ abc,当且仅 当 a=b=c 时,等号成立.
基础诊断 考点突破

定理 4: (一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1、 a2、 …、 a1+a2+…+an n an 为 n 个正数,则 ≥ a1a2…an,当且仅当 n a1=a2=…=an 时,等号成立. 2.柯西不等式 (1)设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, 当且仅当 ad=bc 时等号成立. ? n ?? n ? ? n ? 2 2 ? ?? ? ? ? (2)若 ai,bi(i∈N*)为实数,则? ?ai ?? ?bi ?≥? ?aibi?2,当且 i=1 i=1 i=1 ? ?? ? ? ? b1 b2 bn 仅当 a =a =…=a (当 ai=0 时,约定 bi=0,i=1,2,…, 1 2 n n)时等号成立.
基础诊断 考点突破

(3)柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则 |α||β|≥|α·β|,当且仅当 α,β 共线时等号成立. 3.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等.

基础诊断

考点突破

诊 断 自 测
a+m a 1.已知 a、b、m 均为正数,且 a<b,M=b,N= ,则 M、 b+m N 的大小关系是________.

a a+m m?a-b? 解析 M-N=b- = <0,即 M<N. b+m b?b+m?

答案 M<N

基础诊断

考点突破

2.设 a= 3- 2,b= 6- 5,c= 7- 6,则 a,b,c 的大 小关系为________.

1 1 1 解析 分子有理化得 a= , b= , c= , 3+ 2 6+ 5 7+ 6 ∴a>b>c.

答案 a>b>c

基础诊断

考点突破

3.若 0<a<b<1,则 a+b,2 ab,a2+b2,2ab 中最大的一个是 ________.

解析 ∵a+b>2 ab,a2+b2>2ab. 又(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), ∵0<a<1,0<b<1.∴a(a-1)+b(b-1)<0. ∴a2+b2<a+b.

答案 a+b

基础诊断

考点突破

4.(2014· 陕西卷)设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb= 5,则 m2+n2的最小值为________.

解析

∵a2+b2+m2+n2≥2(am+bn)(当且仅当 a=m,b=n

时等号成立),∵a2+b2=5,ma+bn=5, ∴5+m2+n2≥10,∴m2+n2≥5,∴ m2+n2 ≥ 5, 故 m2+n2的最小值为 5.

答案

5

基础诊断

考点突破

5.若 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,则 a+ b+ c的 最大值为________.

解析

( a+ b+ c)2=(1× a+1× b+1× c)2≤(12+12

+12)(a+b+c)=3. 1 当且仅当 a=b=c=3时,等号成立. ∴( a+ b+ c)2≤3.故 a+ b+ c的最大值为 3.

答案

3

基础诊断

考点突破

考点一 分析法证明不等式 【例 1】 设 a, b, c>0, 且 ab+bc+ca=1.求证: (1)a+b+c≥ 3. (2)
证明

a bc+

b ac+

c ab≥

3( a+ b+ c).
3,

(1)要证 a+b+c≥

由于 a,b,c>0,因此只需证明(a+b+c)2≥3. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,而 ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
基础诊断 考点突破

a2+b2 b2+c2 c2+a2 而这可以由 ab + bc + ca≤ 2 + 2 + 2 = a2 + b2 + c2(当且仅当 a=b=c 时等号成立)证得. ∴原不等式成立. (2) a bc+ b ac+ c a+b+c ab= abc .

由于(1)中已证 a+b+c≥ 3. 1 因此要证原不等式成立,只需证明 ≥ abc 即证 a bc+b ac+c ab≤1, 即证 a bc+b ac+c ab≤ab+bc+ca.
基础诊断 考点突破

a+ b+ c.

ab+ac 而 a bc= ab· ac≤ 2 , ab+bc bc+ac b ac≤ 2 ,c ab≤ 2 . ∴a bc+b ac+c ab≤
? ab+bc+ca? ?a=b=c= ? ? 3 ? 时等号成立 ?. 3 ?

∴原不等式成立.

基础诊断

考点突破

规律方法

分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不

能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系,较
难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途 径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.

基础诊断

考点突破

【训练1】 已知a、b、c均为正实数,且a+b+c=1,求证:(1 +a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c). 证明 ∵a、b、c均为正实数,且a+b+c=1,

∴要证原不等式成立,
即证[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥ 8[(a+b+c)-a][(a+b+c)-b][(a+b+c)-c],

也就是证 [(a + b) + (c + a)][(a + b) + (b + c)][(c + a) + (b +
c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b). ∵(c+a)+(a+b)≥2 ?c+a??a+b?>0,
(a+b)+(b+c)≥2 (b+c)+(c+a)≥2 ?a+b??b+c?>0. ?b+c??c+a?>0,



三式相乘得①式成立,故原不等式得证.
基础诊断 考点突破

考点二 用综合法证明不等式 【例 2】 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 (1)a+b+ab≥8;
? 1?? 1? (2)?1+a??1+b?≥9. ? ?? ?

基础诊断

考点突破

证明

(1)∵a+b=1,a>0,b>0,

?a+b a+b? ?1 1? ?b a? 1 1 1 1 1 a+b ? ? ∴ a + b + ab = a + b + ab = 2 ?a+b? = 2 ? = 2 ?a+b? + ? b ? ? ? ? ? ? a

+4≥4

b a a×b+4=8.

1 1 1 ∴a+b+ab≥8.
? 1?? 1? 1 1 1 (2)∵?1+a??1+b?=a+b+ab+1, ? ?? ? ? 1?? 1? 1 1 1 由(1)知a+b+ab≥8.∴?1+a??1+b?≥9. ? ?? ?

规律方法

利用综合法证明不等式,关键是利用好已知条件和

已经证明过的重要不等式.
基础诊断 考点突破

【训练 2】 已知 a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc=1, 1 1 1 求证: a+ b+ c<a+b+c . 证明 法一 ∵a,b,c 均为正实数,且互不相等,且 abc
=1, 1 bc+ 1 ca+ 1 1 1 1 1 1 + + + 1 b c c a a b ab< 2 + 2 + 2

∴ a+ b+ c= 1 1 1 =a+b+c .

1 1 1 ∴ a+ b+ c<a+b+c .
基础诊断 考点突破

1 1 法二 ∵a+b≥2 1 1 b+c ≥2

1 ab=2 c; 1 ac=2 b. a+ b+ c.

1 1 1 bc=2 a;c+a≥2

1 1 1 ∴以上三式相加,得a+b+c ≥

1 1 1 又∵a,b,c 互不相等,∴a+b+c > a+ b+ c.

基础诊断

考点突破

法三

∵a,b,c 是不等正数,且 abc=1,

bc+ca ca+ab ab+bc 1 1 1 ∴a+b+ c =bc+ca+ab= 2 + 2 + 2 > abc2+ a2bc+ ab2c= a+ b+ c. 1 1 1 ∴ a+ b+ c<a+b+c .

基础诊断

考点突破

考点三

利用柯西不等式求最值

【例 3】 (1)(2013· 湖北卷)设 x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2 =1,x+2y+3z= 14,则 x+y+z=________. 1 4 9 (2)已知 x、y、z 均为正实数,且 x+y+z=1,则:x +y + z 的 最小值为________.

基础诊断

考点突破

解析

(1)由柯西不等式,得

(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2, ∴(x+2y+3z)2≤14,则 x+2y+3z≤ 14, 又 x+2y+3z= 14, 14 14 3 14 y z ∴x=2=3,因此 x= 14 ,y= 7 ,z= 14 , 3 14 于是 x+y+z= 7 .

基础诊断

考点突破

(2)法一 利用柯西不等式.
?1 4 9? 由于(x+y+z)?x + y + z ?≥ ? ? ? ? ? ?

1 2 3? 2 x· + y· + z· ? =36. x y z? ?

1 4 9 所以x +y + z ≥36. 1 2 12 1 1 1 当且仅当 x =4y =9z ,即 x=6,y=3,z=2时,等号成立.
2

基础诊断

考点突破

1 4 9 1 4 法二 x +y + z =x (x+y+z)+y(x+y+z)+
?y 4x? ?z 9x? ?4z 9y? 9 ? + ?+? + ?+? + ?≥14+4+6+12= ( x + y + z ) = 14 + y ? ?x z ? ? y z ? z ?x

36. 1 1 1 当且仅当 y=2x,z=3x,即 x=6,y=3,z=2时,等号成立. 3 14 答案 (1) 7 (2)36 规律方法 根据柯西不等式的结构特征,利用柯西不等式对有
关不等式进行证明,证明时,需要对不等式变形,使之与柯西 不等式有相似的结构,从而应用柯西不等式.

基础诊断

考点突破

【训练3】 (2013·湖南卷)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a2+4b2+9c2的最小值为________.
解析 法一 ∵ (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx≤3(x2+y2+z2), 1 36 2 ∴a +4b +9c ≥3(a+2b+3c) = 3 =12.
2 2 2

∴a2+4b2+9c2 的最小值为 12.

基础诊断

考点突破

法二

由柯西不等式,得 (a2 + 4b2 + 9c2)· (12 + 12 + 12)≥(a· 1+

2b· 1+3c· 1)2=36,故 a2+4b2+9c2≥12, 1 1 1 2 当且仅当a=2b=3c,即 a=2,b=1,c=3时等号成立, 从而 a2+4b2+9c2 的最小值为 12.

答案 12

基础诊断

考点突破


相关文章:
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训_第4-4章_选修_第2讲
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训_第4-4章_选修_第2讲_数学_高中教育_教育专区。第2讲 参数方程 (建议用时:50 分钟) 一、填空题...
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训_第4-1章_选修_第2讲
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训_第4-1章_选修_第2讲_数学_高中教育_教育专区。第2讲 直线与圆 (建议用时:50 分钟) 一、填空题...
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训_第4-4章_选修_第1讲
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训_第4-4章_选修_第1讲_数学_高中教育_教育专区。第1讲 坐标系 (建议用时:50 分钟) 一、填空题 ...
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训 第4-4章 选修 第2讲参数方程
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训 第4-4章 选修 第2讲参数方程_数学_高中教育_教育专区。第2讲 参数方程 (建议用时:50 分钟) 一、...
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-5 不等式选讲
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-5 不等式选讲_数学_高中教育_教育专区。选修 4-5 不等式选讲 1.两个实数大小关系的基本事实 a>b?___;a=...
【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题 不等式训练 文(选修4-5)
创新设计】(全国通用)2016高考数学轮复习 专题 不等式训练 文(选修4-5)_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】 (全国通用)2016 高考数学轮复习 专题 不...
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:选修4-5 第1讲 不等式、含有绝对值的不等式
创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:选修4-5 第1讲 不等式、含有绝对值的不等式_高考_高中教育_教育专区。第1讲 [最新考纲] 不等式、...
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训_探究课2
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训_探究课2_数学_高中...①若 x0 > 0 ,则不等式组 (*) 的解集为 ( -∞, 0) 和 (x0 ,+...
【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义:选修4-5 不等式选讲 Word版含答案
【三维设计2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义:选修4-5 不等式选讲 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。选修 4-5 不等式选讲 第一节 绝对...
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训 探究课2
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训 探究课2_数学_高中...①若 x0>0,则不等式组(*)的解集为(-∞,0)和(x0,+∞),此时 f(x)...
更多相关标签: