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重庆高考数学试题分类汇编——概率(文)


重庆高考数学试题分类汇编——概率(文)
2009 年 8.12 个篮球队中有 3 个强队,将这 12 个队任意分成 3 个组(每组 4 个队) , 则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为( ) A.
1 55

B.

3 55

C.

1 4

D.

/>
1 3

【答案】B 解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有
C3 C9 C8 C4 A2
2 3 1 4 4

C 12 C 8 C 4 A3
3

4

4

4

种,而 3 个强队恰好被分

在同一组分法有

,故个强队恰好被分在同一组的概率为

3 3 1 4 4 2 4 4 4 3 C 9 C 9 C 8 C 4 A 2 C 1 2 C 8 C 4 A 3 =。 55

17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽 的成活率分别为 和
6 5 4 5

,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中:

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅰ)至少有 1 株成活的概率; (Ⅱ)两种大树各成活 1 株的概率. 解: 设 A k 表示第 k 株甲种大树成活,
l ? 1, 2 k ? 1, 2

; 设 B l 表示第 l 株乙种大树成活,

则 A1 , A 2 , B1 , B 2 独立,且 P ( A1 )

? P ( A2 ) ?

5 6

, P ( B1 ) ? P ( B 2 ) ?

4 5

(Ⅰ)至少有 1 株成活的概率为:
1 2 1 2 899 1 ? P ( A1 ? A 2 ? B 1 ? B 2 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? P ( A 2 ) ? P ( B 1 ) ? P ( B 2 ) ? 1 ? ( ) ( ) ? 6 5 900

(Ⅱ)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概 率为:
P ? C2
1

5 1 6 6

?C2

1

4 1 5 5

?

10 36

?

8 25

?

4 45

2008 年 (9)从编号为 1,2,?,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最 大号码是 6 的概率为(B) (A)
1 84

(B)

1 21

(C)

2 5

(D)

3 5

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 8 分, (Ⅱ)小问 5 分.)

在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中, 只有一个是正确的.若对 4 道选 择题中的每一道都任意选定一个答案,求这 4 道题中: (Ⅰ)恰有两道题答对的概率; (Ⅱ)至少答对一道题的概率. 解:视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是 4 次独立重复试验,且每次试 验中“选择正确”这一事件发生的概率为 由独立重复试验的概率计算公式得: (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为
4 1 2 3 2 P4 ( 2 ) ? C 2 ( ) ( ) 4 4

1 4

.

?

27 128

.

(Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为
0 1 0 3 4 1 ? P4 ( 0 ) ? 1 ? C 4 ( ) ( ) 4 4

?1?

81 256

?

175 256

.

解法二:至少有一道题答对的概率为
3 2 1 1 2 1 2 3 2 3 1 3 3 4 1 4 3 0 C 4 ( )( ) ? C 4 ( ) ( ) ? C 4 ( ) ( ) ? C 4 ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4

? ?

108 256 175 256

?

54 256

?

12 256

?

1 256

.

2007 年 7 从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则 所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为(C) (A)
1 4

(B)

79 120

(C)

3 4

(D)

23 24

17(本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为
3 4 和 4 5

,且各次射击相互独立。

(Ⅰ)若甲、乙各射击一次,求甲命中但乙未命中目标的概率; (Ⅱ)若甲、乙各射击两次,求两命中目标的次数相等的概率. 解: (Ⅰ)设 A 表示甲命中目标,B 表示乙命中目标,则 A、B 相互独立,且 P(A)=
3 4 , P(B) ? 4 5

,从而甲命中但乙未命中目标的概率为
4? 3 ? ? ?1 ? ? ? . 4 ? 5? 20 3

P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ) ?

(Ⅱ)设 A1 表示甲在两次射击中恰好命中 k 次,B1 表示乙有两次射击中恰 好命中 l 次。

依题意有
k ? 3 ? ? 1 ? P ( A1 ) ? C 2 ? ? ? ? ?4? ?4? l ? 4 ? ? 1 ? P ( B1 ) ? C 2 ? ? ? ? ?5? ?5? l k 2?k

, k ? 0 ,1, 2 .

2?l

, l ? 0 ,1, 2 .

由独立性知两人命中次数相等的概率为
P ( A 0 B 0 ) ? P ( A1 B 1 ) ? P ( A 2 B 2 ) ? P ( A 0 ) P ( B 0 ) ? P ( A1 ) P ( B 1 ) ? P ( A 2 ) ? P ( B 2 ) ?1? ?1? ? ? ·? ? ?4? ?5? = 1 16 ? 1 25
2 2

3 1 4 1 1 2 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? ? C 2 · · ·C 3 · · ? C 2 ·? ? C 2 ·? ? 4 4 5 5 ?4? ?5? 3 4 ? 4 25 ? 9 16 ? 16 25 = 193 400 = 0 . 4825 .

2

2

?

2006 年 17.(本小题满分 13 分)甲、乙、丙三人在同一办公室工作,办公室里只有一部电话 机,设经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为 、 、
6 3 1 1 1 2

.若

在一段时间内打进三个电话,且各个电话相互独立.求: (Ⅰ)这三个电话是打给同一个人的概率; (Ⅱ)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率. 解: Ⅰ) ( 由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式, 所求概率为
1 3 1 3 1 3 1 p ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? 6 3 2 6

(Ⅱ)这是 n

? 3, p ?

1 6

的独立重复试验,故所求概率为

5 2 1 2 5 P3 ( 2 ) ? C 3 ( ) ( ) ? . 6 6 72

2005 年 15.若 10 把钥匙中只有 2 把能打开某锁,则从中任取 2 把能将该锁打开的 概率为 .
9 10 17 45 8 9 7 8

18. (本小题满分 13 分)加工某种零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序 的合格率分别为 、 、 ,且各道工序互不影响.

(Ⅰ)求该种零件的合格率; (Ⅱ)从该种零件中任取 3 件,求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一 件合格品的概率.

(Ⅰ)解: P

?

9 10

?

8 9

?

7 8

?

7 10


7 10

(Ⅱ)解法一: 该种零件的合格品率为 恰好取到一件合格品的概率为 至少取到一件合格品的概率为 解法二: 恰好取到一件合格品的概率为 C 31 ? 至
C3 ?
1

,由独立重复试验的概率公式得:
7 10 3 10 )
3

C3 ?
1

?(

3 10

)

2

? 0 . 1 8 9,

1? (

? 0 .9 7 3 .

7 10

?(

3 10

)

2

? 0 . 189

, 的 概 率 为


2


) ?
2


? C3 (
3


7 )
3









7 10

?(

3 10

)

2

? C3 (

7 10

3 10

? 0 . 973 .

10

2004 年 11. 已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯炮, 这些灯炮的外形与功率都相同且灯 口向下放着,现需要一只卡口灯炮使用,电工师傅每次从中任取一只并不放 回,则他直到第 3 次才取得卡口灯炮的概率为 ( D ) A.
21 40

B.

17 40

C.

3 10

D.

7 120

18. (本小题满分 12 分) 设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5。 (1)三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目 标的概率; (2)若甲单独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率. 解: (I)设 AK 表示“第 k 人命中目标” ,k=1,2,3. 这里,A1,A2,A3 独立,且 P(A1)=0.7,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5. 从而,至少有一人命中目标的概率为
1 ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) ? 1 ? P ( A 2 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) ? 1 ? 0 . 3 ? 0 . 4 ? 0 . 5 ? 0 . 94

恰有两人命中目标的概率为
P ( A1 ? A 2 ? A 3 ? A1 ? A 2 ? A 3 ? A1 ? A 2 ? A 3 ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) ? P ( A1 ? A 2 ? A 3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) ? P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) ? 0 .7 ? 0 .6 ? 0 .5 ? 0 .7 ? 0 .4 ? 0 .5 ? 0 .3 ? 0 .6 ? 0 .5 ? 0 . 44

答: 至少有一人命中目标的概率为 0.94, 恰有两人命中目标的概率为 0.44 (II)设甲每次射击为一次试验,从而该问题构成三次重复独立试验.又已 知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为 0.7,故所求概率为
P3 ( 2 ) ? C 3 ( 0 . 7 ) ( 0 . 3 ) ? 0 . 441 .
2 2

答:他恰好命中两次的概率为 0.441.


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