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西藏拉萨中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷


西藏拉萨中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一.选择题(每小题 4 分,共 40 分) :每小题均有 4 个选项,其中有且仅有一个选项是符合 题意的.将符合要求的字母填入答题卡内相应位置. 1.sin690°=() A. B. C. D.

2.已知平面向量 =(3,1) , A.﹣3 B.﹣1

,且 C. 3

,则 x=() D.1

3.按如图所示的程序框图,在运行后输出的结果为()

A.36

B.45

C.55

D.56

4.要从已编号(1~60)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验,用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是() A.5、10、15、20、25、30 B. 3、13、23、33、43、53 C. 1、2、3、4、5、6 D.2、4、8、16、32、48 5.已知 A. B. ,则 tanα=() C. D.

6.在△ ABC 中,a=5,b=8,C=60°,则

的值为()

A.﹣20

B.20

C.

D.

7.下列区间中,使函数 y=sinx 为增函数的是() A.[0,π] B. C. D.[π,2π]

8.已知等腰三角形的一个底角的正弦值等于 A.﹣ B. ﹣

,则这个等腰三角形的顶角的余弦值为() C. D.

9.已知如图是函数 y=2sin(ωx+φ) (|φ|<

)的图象上的一段,则()

A.ω=

,φ=
2

B.ω=

,φ=﹣

C.ω=2,φ=

D.ω=2,φ=﹣

10.函数 f(x)=sin x+4cosx+2 的值域为() A.(﹣∞,3] B.[﹣2,6] C.[﹣2,7]

D.(﹣∞,7]

二.填空题(每空 4 分,共 16 分;将答案填入答题卡内相应位置) : 11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图 (如图) . 为了分析居民的收入与年龄、 学历、 职业等方面的关系, 要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 200 人作进一步调查,则在[1500,3000](元)月收入段应抽出 人.

12.sin164°sin224°+sin254°sin314°=. (以具体数字作答) 13. (仅文科生做)对具有线性相关关系的变量 x 和 y,测得一组数据如下: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若已求得它们的回归方程的 为 6.5,则这条直线的回归方程为.

14.设



,且

,则锐角 α 为.

三.解答题(共 44 分) : 15. (1)计算 (2)已知 sinα= ,α∈ .求 . 的值.

16.已知向量 , 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,若 = ﹣4 , = +2 ,求 (1) ? ; (2)| + |. 17.如图,已知△ OAB 中,点 B 关于点 A 的对称点为 C,D 在线段 OB 上,且 OD=2DB, DC 和 OA 相交于点 E.设 (1)用 、 表示向量 (2)若 =λ 、 = , . = .

,求实数 λ 的值.

18.已知 f(x)=﹣4cos x+4 sinxcosx+5,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大值时的 x 的值的集合.

2

西藏拉萨中学 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷

一.选择题(每小题 4 分,共 40 分) :每小题均有 4 个选项,其中有且仅有一个选项是符合 题意的.将符合要求的字母填入答题卡内相应位置. 1.sin690°=() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 由于 690°=720°﹣30°,利用诱导公式即可求得 sin690°的值. 解答: 解:∵690°=720°﹣30°, ∴sin690°=sin(720°﹣30°) =sin(﹣30°) =﹣sin30° =﹣ . 故选 B. 点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,属于基础题.

2.已知平面向量 =(3,1) , A.﹣3 B.﹣1

,且 C. 3

,则 x=() D.1

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 解答: 解:∵ ∴ ; 便可得到 ; ,进行数量积的坐标运算即可求出 x.

∴x=1. 故选:D. 点评: 考查向量垂直的充要条件,以及数量积的坐标运算. 3.按如图所示的程序框图,在运行后输出的结果为()

A.36

B.45

C.55

D.56

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 本题所给的是一个循环结构的框图, 由图可以看出, 此是一个求正整数前十个数和 的算法框图,由公式计算出 S 的值,选出正确答案 解答: 解:由题意,如图此循环程序共运行十次,依次加上 1,2,3,…,10,即 S 代表 的是正整数前十个数的和, 故 S=1+2+3+…+10= =55

故选 C 点评: 本题考查程序框图,解题的关键是理解题设中框图的意义,从中得出算法,由算法 求出输出的结果. 4.要从已编号(1~60)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验,用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是() A.5、10、15、20、25、30 B. 3、13、23、33、43、53 C. 1、2、3、4、5、6 D.2、4、8、16、32、48 考点: 系统抽样方法. 专题: 常规题型. 分析: 将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段, 分段的间隔要求相等, 系统抽样又 称等距抽样, 这时间隔一般为总体的个数除以样本容量, 若不能整除时, 要先去掉几个个体. 解答: 解:从 60 枚某型导弹中随机抽取 6 枚, 采用系统抽样间隔应为 =10,

只有 B 答案中导弹的编号间隔为 10, 故选 B

点评: 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干 部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本.

5.已知 A. B.

,则 tanα=() C. D.

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由 α 的范围,分为两种情况考虑:当 α∈(0, )或(
2 2

,π)时,cosα 的值有

两解,故由 sinα 的值,利用同角三角函数间的平方关系 sin α+cos α=1,求出 cosα 的值,再 由 sinα 及 cosα 的值,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,即可求出 tanα 的值. 解答: 解:∵sinα= ,α∈(0,π) , ∴cosα=± 则 tanα= =± . =± ,

故选 D 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握基本关系是解本题的关键, 同时 本题有两解,注意不要漏解.

6.在△ ABC 中,a=5,b=8,C=60°,则 A.﹣20 B.20

的值为() C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量的数量积的定义,注意向量的夹角必须起点相同,计算即可得到. 解答: 解: ? =| |?| |?cos(180°﹣60°)

=﹣abcos60°=﹣5×8× =﹣20. 故选 A. 点评: 本题考查平面向量的数量积的定义,考查运算能力,属于基础题和易错题. 7.下列区间中,使函数 y=sinx 为增函数的是() A.[0,π] B. C. D.[π,2π]

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题.

分析: 依据正弦函数的性质对四个选项进行判断,即可找出正确选项. 解答: 解:由函数 y=sinx 的性质知,其在区间 函数, 对 k 进行赋值,当 k=0 时所得的区间是 故选 C 点评: 本题考查正弦函数的单调性, 考查其单调区间的判断, 解答本题的关键是熟练掌握 正弦函数的单调性,熟知其单调区间的形式,从而依据性质得出正确选项. 上是增

8.已知等腰三角形的一个底角的正弦值等于 A.﹣ B. ﹣

,则这个等腰三角形的顶角的余弦值为() C. D.

考点: 两角和与差的正切函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 首先根据已知条件确定等腰三角形的角的关系式, 进一步利用三角函数的诱导公式 以及二倍角公式求出结果. 解答: 解:设等腰△ ABC 的底角为 A=B,顶角为 C, 所以:sinA= 根据 A+ C= , , ﹣ C)=cos C=
2

所以 sinA=sin( 则:cos∠C=2cos

, =﹣ .

﹣1=

故选:A. 点评: 本题考查的知识要点: 等腰三角形的性质、 二倍角公式、 三角函数诱导公式的应用, 三角函数值的求法.

9.已知如图是函数 y=2sin(ωx+φ) (|φ|<

)的图象上的一段,则()

A.ω=

,φ=

B.ω=

,φ=﹣

C.ω=2,φ=

D.ω=2,φ=﹣

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 根据周期可求得 ω 值,利用五点法作图的过程得 2× 解答: 解:由图象知函数周期 T= 所以 ω= =2. , 2) ,由五点法作图得,2× +φ= =π,

+φ=

,由此可求 φ 值.

又函数图象过点( 所以 ω=2,φ= .

,解得 φ=



故选 C. 点评: 本题考查五点作图的方法,在一个周期内,图象上的五个关键点的横坐标分别为: 0, ,π , ,2π.
2

10.函数 f(x)=sin x+4cosx+2 的值域为() A.(﹣∞,3] B.[﹣2,6] C.[﹣2,7] 考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值.

D.(﹣∞,7]

分析: 函数 f(x)=﹣(cosx﹣2) +7,结合 cosx∈[﹣1,1],利用二次函数的性质求得它 的值域. 解答: 解:函数 f(x)=sin x+4cosx+2=﹣cos x+4cosx+3=﹣(cosx﹣2) +7, 由于 cosx∈[﹣1,1],故当 cosx=1 时,f(x)取得最大值为 6,当 cosx=﹣1 时,f(x)取得 最小值为﹣2, 故函数 f(x)的值域为[﹣2,6], 故选:B. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二次函数的性质应用,属于基础题. 二.填空题(每空 4 分,共 16 分;将答案填入答题卡内相应位置) : 11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图 (如图) . 为了分析居民的收入与年龄、 学历、 职业等方面的关系, 要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 200 人作进一步调查,则在[1500,3000](元)月收入段应抽出 140 人.
2 2 2

2

考点: 分层抽样方法;频率分布直方图. 专题: 概率与统计.

分析: 先由频率分布直方图求出在[1500,3000](元)收入段的频率,根据分层抽样的规 则,用此频率乘以样本容量计算出应抽人数 解答: 解:由图得[1500,3000](元)收入段的频率是 0.0004×500+0.0005×500+0.0005×500=0.7 故用分层抽样方法抽出 200 人作进一步调查,则在[1500,3000](元)收入段应抽出人数为 0.7×200=140 故答案为 140. 点评: 本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则, 解题的关键是从直方图中求得相应收 入段的频率,再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数.

12.sin164°sin224°+sin254°sin314°= . (以具体数字作答)

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式化简四个三角函数值,再由两角和的余弦公式可得. 解答: 解:由诱导公式可得 sin164°=sin(180°﹣16°)=sin16°, sin224°=sin(180°+44°)=﹣sin44°, sin254°=sin(270°﹣16°)=﹣cos16°, sin314°=sin(270°+44°)=﹣cos44°, ∴sin164°sin224°+sin254°sin314° =﹣sin16°sin44°+cos16°cos44° =cos(16°+44°)=cos60°= 故答案为: 点评: 本题考查两角和与差的余弦公式,涉及诱导公式的应用,属基础题. 13. (仅文科生做)对具有线性相关关系的变量 x 和 y,测得一组数据如下: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若已求得它们的回归方程的 为 6.5,则这条直线的回归方程为 =6.5x+17.5. 考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 根据横标和纵标的平均数, 得到这组数据的样本中心点, 利用最小二乘法求出线性 回归方程的系数,代入样本中心点求出 a 的值,写出线性回归方程. 解答: 解:∵ (2+4+5+6+8)=5,

(30+40+60+50+70)=50, = ﹣6.5 =50﹣6.5×5=17.55,

故线性回归方程为: =6.5x+17.5; 故答案为: =6.5x+17.5 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用, 本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性 回归方程的系数,这是解答正确的主要环节.

14.设



,且

,则锐角 α 为 45°.

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量共线的充要条件求解即可. 解答: 解:设 且 , , , ,

所以:sinαcosα=

sin2α=1. 则锐角 α 为 45°. 故答案为:45°. 点评: 本题考查向量共线的充要条件的应用,基本知识的考查. 三.解答题(共 44 分) : 15. (1)计算 (2)已知 sinα= ,α∈ .求 . 的值.

考点: 三角函数的化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用三角函数的诱导公式化简;注意三角函数的符号以及名称; (2)首先求出 cosα,利用两角差的余弦公式求值. 解答: 解: (1)原式 = =

=



(2)因为 sinα=

,α∈ =cos cosα+sin

.所以 cosα= sinα=

,所以 .

点评: 本题考查了运用三角函数的诱导公式, 两角差的余弦公式化简三角函数式; 熟记公 式是关键.

16.已知向量 , 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,若 = ﹣4 , = +2 ,求 (1) ? ; (2)| + |.

考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用数量积的定义即可得出; (2)利用向量模的计算公式即可得出. 解答: 解: (1) (2)∵ ∴ = = = , = =2 =2 =2 =2×1× =1;

. 点评: 熟练掌握向量的数量积的定义和模的计算公式是解题的关键. 17.如图,已知△ OAB 中,点 B 关于点 A 的对称点为 C,D 在线段 OB 上,且 OD=2DB, DC 和 OA 相交于点 E.设 (1)用 、 表示向量 (2)若 =λ 、 = , . = .

,求实数 λ 的值.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)先判断出 A 为线段 BC 的中点,根据向量加法、减法,及数乘的几何意义即 可得到 (2) 可表示成: , ; ,而 ,从而根

据平面向量基本定理即可得到

,解出 λ 即可.

解答: 解: (1)根据条件 A 为线段 BC 中点; ∴ = = (2) 与 共线; ; = ; ; ; = ; ;

∴存在实数 μ,使 ∴ 又





解得



点评: 考查向量加法、减法,及数乘的几何意义,以及共线向量、平面向量基本定理. 18.已知 f(x)=﹣4cos x+4 sinxcosx+5,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最大值及当 f(x)取得最大值时的 x 的值的集合. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用可得解析式 f(x)=4sin(2x﹣ 三角函数的周期性及其求法即可解得 f(x)的最小正周期. (2)由 sin(2x﹣ 解. )=1,可求 2x﹣ =2k ,k∈Z,解得 x=k ,k∈Z,从而得 )+3,利用
2

解答: 解: (1)∵f(x)=﹣4cos x+4 =﹣4× =2 sin2x﹣2cos2x+3 )+3 .

2

sinxcosx+5

=4sin(2x﹣

∴f(x)的最小正周期 T= (2)当 sin(2x﹣ (x)取最大值 7, 此时 x 的值的集合为:{x|x=k

)=1 时,即 2x﹣

=2k

,k∈Z 时,即 x=k

,k∈Z 时,f

,k∈Z}.

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 三角函数的周期性及其求法, 正弦函 数的图象和性质,属于基础题.


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