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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.2导数的概念》导学案


§ 1.1.2 导数的概念
学习目标
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义; 2.会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:气球的体积 V 与半径 r 之间的关系是 r (V ) ? 时,气球的平均膨胀率.
3

3V ,求当

空气容量 V 从 0 增加到 1 4?

复习 2 :高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 的关系为: . 求在 1 ? t ? 2 这段时间里,运动员的平均速度. h( t ) ? ? 4.9t2 ? 6.5 t ? 10

二、新课导学 学习探究 探究任务一:瞬时速度 问题 1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知: 1. 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度.
探究任务二:导数 问题 2: 瞬时速度是平均速度

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f , ? lim ? x ? 0 ?x ?x 我 们 称 它 为 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 导 数 , 记 作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 即
得导数的定义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim
?x ?0

?s 当 ?t 趋近于 0 时的 ?t

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
王新敞
奎屯 新疆

注意:(1)函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可以为 0 (3)

王新敞
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?y 是函数 y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率, 它的几何意义是过曲线 ?x y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率
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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的处瞬时变化率, ?x ?0 ?x 它反映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度.
(4)导数 f ( x0 ) ? lim
/

小结:由导数定义,高度 h 关于时间 t 的导数就是运动员的瞬时速度,气球半径关于体积 V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.

典型例题 例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果 0 在第 xh 时,原油的温度(单位: c )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

总结:函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减;它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例 2 已知质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),

?s . ?t ?s (2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 . ?t
(1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求

(3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度

小结: 利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; 第二步:求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ; ? ?x ?x
?x ?0

第三步:取极限得导数 f ?( x0 ) ? lim

?y . ?x

动手试试 练 1. 在例 1 中,计算第 3h 和第 5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

练 2. 一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s(t ) ? t 2 (位移单位:m,时间单位:s),求小球 在 t ? 5 时的瞬时速度
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三、总结提升 学习小结 这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念, 它是用平均速度的极限来定义的, 主要记住
公式:瞬时速度 v= lim

s(t ? ?t ) ? s(t ) ?t ?0 ?t

王新敞
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知识拓展 导数存在 ? 连续 ? 有极限

学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为( ?t ? 0 ? t A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 2. y ? x 2 在 x =1 处的导数为( ) A.2 x B.2 C. 2 ? ?x D.1
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3. 在 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 中, ?x 不可能( ?x



A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.大于 0 或小于 0 4.如果质点 A 按规律 s ? 3t 2 运动,则在 t ? 3 时的瞬时速度为 1 f [ x0 ? k ] ? f ( x0 ) 2 5. 若 f ?( x0 ) ? ?2 ,则 lim 等于 k ?0 k


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