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2.3.2抛物线的简单几何性质(问题导学)


第二章 圆锥曲线与方程
2.3.2 抛物线的简单几何性质 y

o

x


y o F

F y

形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px P P ( , x??2 0 ) x (p>0) 2 y y2= -2px P P (? , x ? 0 ) o x 2 (p>0) 2
x x

F o
y o F

x2=2py (p>0) x2= -2py (p>0)

P y??P (0, ) 2 2
P P (0, ? )y ? 2 2

先来研究抛物线 的简单几何性质.

y2=2px(p>0)
l

y
M

1、范围

x?0

N

2、对称性 关于x轴对称
3、顶点 4、离心率 (0,0) e=1
K

o

F

x


y o F


x

范围 x≥0 x≤0 y≥0

顶点坐标 (0,0) (0,0) (0,0)

对称轴 y=0 y=0 x=0

y F o x y
F o y o F x

x

y≤0

(0,0)

x=0

例 1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点 M( 2,?2 2 ) , 求它的标准方程,并用描点法画出图形. 解:因为抛物线关于x轴对称, y 它的顶点在原点, 并且过M( 2,?2 2 ) o 所以可设它的标准方程 为y2=2px(p>0)
M

x

y 因为点M在抛物线上,

所以

(?2 2 ) ? 2 p ? 2
2

o
M

x

即: p=2.

因此所求抛物线的方程为 y2=4x.

练习1 求适合下列条件的抛物线方程:

(1) 顶点在原点,关于x 轴对称,并且经过 2 16 点M(5,-4) ; y ? x
5

(2) 顶点在原点,焦点是F(0,5) ; x ? 20 y
2

(3) 顶点在原点,准线是 x=4;

y ? ?16 x
2

(4) 焦点是F(0,-8),准线是 y=8. x ? ?32 y
2

先定型,再定量

例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的 焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段 AB的长. y 解法一: 由已知得抛物线的焦点为(1,0) 所以直线AB的方程为y=x -1 联立方程组得 ? y ? 4 x ① ? ? y ? x ?1 ②
2

A

o
B

F

x

y

②代入①得

(x-1)2=4x
o
B F

A

整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 将x1 , x2代入y=x-1得AB坐标为 A(3 ? 2
2,2 ? 2 2 )

x

B (3 ? 2

2,2 ? 2 2 )

由两点间距离公式得:AB=8 .

解法二:如图设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B到准
线的距离分别为dA,dB, 由抛物线的定义 可知 |AF|=dA=x1+1, |BF|=dB=x2+1, y 于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 由已知得抛物线的焦点为(1,0) 所以直线AB的方程为
A’

dA
F B

A

o
B’

y=x -1 ①

dB

x

y
将①代入方程y2=4x,得 (x-1)2=4x 整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 于是 |AB|=x1+x2+2=8 所以线段的长是8. 试比较两种 解法 o
B’ B F A’ A

x

已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1) 练习2
作斜率为1直线交抛物线于A、B两点,

试求弦AB的中点M。
依照上题的思路:xA+xB=4 所以xM=2 将xM=2代入 y=x-1得yM=1 所以M为(2,1)

y M B o l l A x

复位 相离 相切 相交

l

如何从式子中解得直线与圆的关系?
把直线方程代入圆的方程 得到一元二次方程 ? > 0, 相 交 计 算 判 别 式 ? = 0, 相 切 ? < 0, 相 离

练习3 1、求直线 y = x -1与抛物线 y2 =4x 的位置关系。

相交

注:得到一元二次方程,需计算判别式。 2、求直线 y = 6与抛物线 y2 =4x 的位置关系。

相交

注:得到一元一次方程,得到一个交点。

例 3 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l 过定点P(-2,1),斜率为k。当k为何值时, 直线l与抛物线:只有一个公共点;有两 个公共点;没有公共点。 y 解:由题意, P 直线l的方程为 o x y=kx+2k+1 y=kx+(2k+1) 由方程组 (?) 2=4x y

可得 ky2-4y+4(2k+1)=0

(П) y=1 y

(1)当k=0时,由方程(П),得 1 把y=1代入y2=4x , 得 x ? 4 这时,直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 , 1 ) (2)当k≠0时,方程(П)的

P o

x

判别式为△=-16(2k2+k-1)

下面分三种情况讨论。 ① 由△ =0,即2k2+k-1=0 解得k=-1或k=1/2 于是,当k=-1或k=1/2时,

方程(П)只有一个解,
从而方程组(?)只有一个解,

这时,直线l与抛物线只有一个公共点

②由△>0,即 2k2 + k -1<0
解得 -1<k<1/2

于是,当-1<k<1/2 ,且k≠0时,
方程(П)有2个解

从而方程组(?)有2个解.
这时,直线l与抛物线有2个公共点.

③由△<0,即 2k2+k-1>0

解得

k<-1或k>1/2

于是,当k<-1或k>1/2时,

方程(П) 没有实数解,
从而方程组(?) 没有解. 这时,直线l与抛物线没有公共点.

综上可得:

当k=-1或k=1/2或k=0时,
直线l与抛物线只有一个公共点 当-1<k<1/2 ,且k≠0时

直线l与抛物线有2个公共点.
当k<-1或k>1/2时 直线l与抛物线没有公共点.

y
复位

B o
l l

相离

M x
A C l

相切

相交1 相交2

l

思考

P点位置不同,直线与抛物线 的位置关系怎样?
y y

P
o x o

P

x

把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 得到一元二次方程

直线与抛物线 相交(一个交点)

计算判别式
△> 0 ,相交 △= 0 ,相切

此方法适用于 其他各种曲线

△< 0 ,相离

练习4 一顶点在原点,焦点在x轴上的抛 物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为 3 5 , 求抛物线的方程。

解 : 设抛物线方程为 ? mx(m ? 0)与 y
2

直线2 x ? y ? 4 ? 0联立消去y得 2 4x ? (16 ? m) x ? 16 ? 0
由弦长公式 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 3 5

(1 ? k )[(x1 ? x2 ) ? 4x1x2 ] ? 45
2 2

16 ? m 2 16 (1 ? 2 )[( ) ? 4 ? ] ? 45 4 4
2

即m ? 32m ?144 ? 0.
2

m ? 4或m ? ?36
? 所求的抛物线方程为 : y 2 ? 4 x或y 2 ? ?36x

小 结:
抛物线的简单几何性质 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系的判断方法

动画 圆锥曲线的得来


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